Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 13 Стандартное деление столбиком

Когда мы имеем дело с делением на простые числа, то не можем использовать множители, чтобы преобразовать задачу в простое деление на однозначное число. (Простыми являются те числа, у которых нет множителей, например 29.)

Однако мы по-прежнему можем использовать множители при решении таких задач. Речь идет об оценке приближенного значения по ходу решения. Вместо 29, например, мы делим на 30 (сначала на 10, а потом на 3), чтобы узнать целую часть при делении на 29. Например:

24560: 29 =

29 |24560

Нельзя разделить 24 на 29, поэтому добавляем следующую цифру (5). Сколько раз 29 содержится в 245? В этом месте многие жалуются, что сделать это трудно.

Есть простой способ. 29 — это почти 30, поэтому можно сделать оценку путем деления на 30. Чтобы разделить на 30, сначала делим на 10 (что очень легко), а потом на 3 (тоже легко).

После деления 245 на 10 (24,5) просто отбросим последнюю цифру результата и забудем на время об остатке. Задача сейчас состоит в том, чтобы разделить 24 на 3, что не составляет труда. 3 на 8 равно 24. 8 — это первая цифра ответа. Записываем ее над цифрой 5, поскольку сначала речь шла о делении 245 на 29.

Теперь умножим наш ответ (8) на 29, чтобы узнать остаток. Простой способ умножения 29 на 8 состоит в том, чтобы умножить 30 на 8 и вычесть 8 (30 х 8 = 240, 240 — 8 = 232).

8 х 29 = 232

Вычтя 232 из 245, получаем остаток: 13. Теперь решение выглядит так:

Теперь сносим следующую цифру в числе, которое мы делим (делимое). Речь идет о цифре 6. Сносим ее к остатку 13 и получаем 136. Помечаем 6 сверху крестиком «х», чтобы помнить о том, что мы эту цифру использовали.

Делим 136 на 29. Как и раньше, делим сначала на 10, а потом на 3. 136 после деления на 10 дает 13 (остаток отбрасываем), а 13, деленное на 3, дает 4, если не учитывать остаток (4 х 3 = 12). Следующая цифра ответа равна 4. 4 на 29 дает 116. Вычтем 116 из 136 и получим 20.

Снесем 0, получив 200. Делим 200 на 30 (10 х 3):

200: 10 = 20

20: 3 = 6

Это последняя цифра ответа.

6 х 29 = 174

Вычтем 174 из 200 и получим остаток: 26. Полностью решенная задача выглядит так:

Общее правило для стандартного деления столбиком таково:

• При делении на 31 округляйте до 30 и делите на 3 и 10.

• При делении на 87 округляйте до 90 и делите на 9 и 10.

• При делении на 321 округляйте до 300 и делите на 3 и 100.

• При делении на 487 округляйте до 500 и делите на 5 и 100.

• При делении на 6142 округляйте до 6000 и делите на 6 и 1000.

Действуя таким образом, вы сможете быстро прикинуть, какова величина искомой целой части, и вносить в ход решения требуемые коррективы.

Попробуем решить еще один пример:

13570: 317 =

Записываем задачу как обычно:

Округляем 317 до 300, и используемыми множителями будут 3 и 100.

Нельзя разделить 1 или 13 на 300. Также нельзя разделить 135 на 300, но зато 1357 можно. Сколько раз 300 содержится в 1375?

Чтобы разделить на 300, сначала разделим 1357 на 100, а потом на 3.

Деля 1357 на 100, необходимо просто переместить десятичную запятую на две позиции влево или, что еще проще, отбросить две последние цифры. Осталось разделить 13 на 3.

Ответом, разумеется, будет 4 с остатком 1. Нас не волнует остаток на данном этапе, поэтому требуемый ответ — 4. Записываем 4 в качестве первой цифры ответа исходной задачи.

Цифру 4 в исходной задаче следует поместить над цифрой 7, поскольку на самом деле мы только что делили 1357 на 317.

Теперь умножим 317 на 4, чтобы узнать остаток от деления.

317 х 4 = 1268

Запишем 1268 под 1357 и вычтем одно из другого.

1357 – 1268 = 89

Наши вычисления на данный момент выглядят следующим образом:

Теперь снесем следующую цифру делимого — 0. Число, с которым мы работаем теперь, — 890. Нам необходимо разделить 890 на 317. Деление на 100 дает 8. Деление затем на 3 дает 2. Запишем эту цифру над цифрой 0.

Умножаем 317 на 2, чтобы узнать остаток.

2 х 317 = 634

890 – 634 = 256

256 — это наш остаток.

В окончательном виде решение выглядит так:

Если мы хотим выразить ответ в виде десятичной дроби, можно продолжить деление. Общее правило при делении состоит в том, чтобы приписывать делимому на один нуль больше после запятой, чем требуется десятичных знаков в ответе.

Если мы хотим получить ответ с точностью до одного знака после запятой, разделим 13570,00 на 317 и выполним округление.

В данном случае, даже если мы попытаемся продолжить до следующего знака после запятой, то сразу же заметим, что после снесения еще одного нуля и выполнения следующего шага (240: 317) мы получим в ответе число меньше 1, то есть 0 и еще что-то. Это даст нам 42,8, что вполне удовлетворяет точности, которая требуется от ответа.

При делении на 317 самое большое число, на которое мы по-настоящему делили, равнялось 3. Благодаря этому вычисления оказались несложными.

В этой связи вполне справедливым кажется утверждение, что деление даже на достаточно большие числа в столбик — это несложная операция.

Какие числа вы использовали бы в качестве множителей при делении на следующие числа?

а) 78; б) 289; в) 723; г) 401

На вашем месте в качестве множителей я бы использовал:

а) 8 х 10 (80); б) 3 х 100 (300); в) 7 х 100 (700); г) 4 х 100 (400)

А какое приближенное число вы использовали бы в случае деления на 347? 347 ближе к 300, чем к 400, однако ни то, ни другое число не кажется подходящим выбором. Более простым подходом было бы удвоить и делитель, и делимое.

Например, чтобы разделить 33480 на 347, удвоим оба числа, что никак не повлияет на результат. Удвоив 33480, получим 66960; удвоив же 347, получим 694.

Теперь задача выглядит так: 66960 разделить на 694. Используем 700 в качестве приближенного числа. Легко оценить целую часть ответа в исходной задаче, разделив сначала 67000 на 700.

Разделив 67000 на 100, получаем 670. Затем, разделив 670 на 7, получаем 9 с остатком 4. Деление 40 (67000— 66960) на 7 дает без малого 6. Наше приближенное значение ответа составляет 96.

Решив исходный пример, получаем в ответе 96,48.

Однажды, участвуя в правительственной программе по повышению эффективности преподавания математики в школе, я заявил, что учу своих учеников тому, как использовать множители при делении на простые числа. Одному учителю показалось, что такого не может быть, и он попросил меня показать, как мне это удается.

Я показал учителям этой школы методы, изложенные в настоящей главе. Преподаватель, который усомнился в моей правоте, в конце презентации сказал: «Знаете, я всегда именно так и выполнял деление, но мне и в голову не приходило учить этому своих учеников».