Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 20 Сложение и вычитание дробей

В дробях нет ничего особенного или сложного. Мы имеем дело с ними постоянно. Сообщая кому-нибудь время, вы, скорее всего, используете дроби (половина шестого, четверть седьмого, без четверти два и т. д.). Когда съедаете четверть цыпленка или беседуете с друзьями о футболе или баскетболе (половина тайма, вторая половина и т. д.), вы также пользуетесь дробями.

Мы даже складываем и вычитаем дроби, часто не отдавая себе в этом отчета. Мы знаем, что две четверти равны половине. Половина тайма в баскетболе бывает в конце второй четверти.

Вычисляя, сколько будет половина от числа 6, вы на самом деле выполняете операции с дробями.

В настоящей главе мы узнаем, как без труда складывать и вычитать дроби.

Вот, к примеру, дробь:

Верхнее число в дроби называется числителем, а нижнее — знаменателем.

Нижнее число — знаменатель — указывает, на сколько частей разделено целое. Например, футбольный матч разделен на две половины, или на два тайма.

Верхнее число — числитель — указывает, сколько таких частей взято. Можно говорить, к примеру, о трех четвертях торта или об одной из восьми равных долей, на которые разделена пицца.

1/2 — это еще один способ сказать: «Единица, деленная на два». 6/3 означает 6, деленное на 3, и это один из способов, которым можно записать число 2.

Нам часто приходится складывать, вычитать, перемножать и делить части чего-либо. Это другой способ сказать, что мы часто складываем, вычитаем, перемножаем и делим дроби.

Ниже пойдет речь о том, как складывать и вычитать дроби.

Сложение дробей не представляет труда. Чтобы сложить 1/4 и 2/3, мы перемножаем числители и знаменатели накрест, а затем перемножаем между собой знаменатели. А именно:

Перемножаем накрест:

1 х 3 = 3

4 х 2 = 8

Складываем два результата, чтобы найти числитель искомой дроби.

3 + 8 = 11

Для получения знаменателя искомой дроби находим произведение знаменателей: 4 х 3 = 12.

Ответ: 11/12. Легко, не так ли?

Возьмем другой пример:

2/3 + 1/5 =

Умножаем накрест:

Сложим результаты, чтобы получить числитель искомой дроби.

10 + 3 = 13

Перемножим знаменатели для получения знаменателя искомой дроби.

3 х 5 = 15

Полностью решение выглядит следующим образом:

Другой пример:

Перемножаем накрест:

2 х 6 = 12

3 х 1 = 3

Сумма произведений дает нам числитель искомой дроби. Теперь найдем произведение знаменателей:

Это знаменатель дроби, получаемой в ответе.

Остался еще один шаг до полного решения задачи. Можно ли упростить полученный ответ?

Если числитель и знаменатель четные, мы можем сократить их на 2, что упростит ответ. Например, 4/8 — можно упростить до 2/4 и еще далее до 2.

В полученном выше ответе (15/18) элементы дроби не являются четными, однако и 15, и 18 без остатка делятся на 3 (15: 3 = 5, 18: 3 = 6).

Окончательным ответом является 5/6.

Всякий раз, когда вы проводите вычисления с дробями, следует добиваться самого простого ответа, какой только можно получить. Посмотрите, не делятся ли как числитель, так и знаменатель на 2, 3, 5 или любое другое число. Если делятся, то их следует разделить на это число, стремясь получить ответ, который далее уже нельзя сократить.

Например, 21/28 можно сократить до 3/4 (и 21, и 28 делятся 28 4 на 7).

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 1/4 + 1/3 = __; б) 2/5 + 1/4 = __; в) 3/4 + 1/5 = __; г) 1/4 + 3/5 = __

Ответы:

а) 7/12; б) 13/20; в) 19/20; г) 17/20

Имеется способ упростить вычисления с дробями. Если в числителе обеих дробей стоит 1, мы складываем знаменатели, получая в результате числитель искомой дроби (верхнее число), и перемножаем знаменатели, получая знаменатель искомой дроби (нижнее число).

Рассмотрим это на примере:

Данный способ позволяет находить сумму и разность дробей без отыскания наименьшего общего знаменателя и часто позволяет «увидеть» ответ с одного взгляда.

Иными словами, вы должны быть в состоянии сразу «увидеть», что:

1/3 + 1/4 = 7/12

и что:

1/3 — 1/4 = 1/12

Если хотите сложить три дроби, сначала найдите сумму первых двух, а затем сложите полученную сумму и третью дробь.

Например:

1/3 + 1/2 + 2/5 =

Сначала:

1/3 + 1/2 = (3 + 2)/(3 х 2) = 5/6

Затем:

5/6 + 2/5 = (25 + 12)/(6 х 5) = 37/30

Числитель полученной дроби (37) больше знаменателя, поэтому вычитаем 30 из 37 (или делим 37 на 30), чтобы получить окончательный ответ:

1⁷/₃₀

37 при делении на 30 дает 1 с остатком 7.

Аналогичный метод используется для вычисления разности:

2/3 — 1/4 = (8 — 3)/12 = 5/12

Снова перемножаем накрест, получая 2 х 4 = 8 и 1 х 3 = 3, которые в сумме дают число числителя искомой дроби. Затем перемножаем знаменатели, чтобы получить знаменатель искомой дроби.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 1/2 — 1/3 = __; б) 3/4 — 1/7 = __; в) 2–3 — 2/7 = __; г) 4/5 — 2/7 = __

Вычисления не представляют труда, когда знаешь, как обращаться с дробями.

а) 1/6; б) 17/28; в) 8/21; г) 16/35