Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 12 Деление в столбик по множителям

Если вам надо разделить 368 долларов на 16 человек, то вы разделите 368 на 16, чтобы узнать, сколько должен получить каждый.

Если вы не знаете всех вариантов умножения на 16, есть простой способ решить эту задачу. 16 — это 2 на 8, а также 4 на 4. Простой способ деления на 16 состоит в том, чтобы использовать его множители. Можно разделить сначала на 4, а потом полученный результат разделить опять на 4. Это то же самое, что делить на 16, потому что 4 х 4 = 16.

Можно было бы записать решение задачи следующим образом:

Как и в случае с делением на однозначное число, решение можно записать и по-другому:

Деление на такие числа, как 14 и 16, достаточно легко выполнять в уме. Не представляет труда разделить число пополам, прежде чем делить на больший множитель. Если вам надо разделить 368 на 16 в уме, вы могли бы сказать про себя: «Половина от тридцати шести — восемнадцать, половина от восьми — четыре». Вы получили 184. Теперь 118 вы делите уже меньшее число на 8 (которое осталось от 16 после того, как мы разделили на 2).

18 при делении на 8 дает 2 с остатком 2. Этот остаток (из разряда десятков) переносим в разряд единиц (цифра 4), получая 24. 24 при делении на 8 дает 3 без остатка. Таким образом, ответ равен 23 без остатка. Все это легко вычисляется в уме.

Общее правило деления по множителям состоит в том, чтобы сначала делить на меньшее число, а потом на большее.

Идея в том, что в итоге вы делите меньшее число на больший множитель.

Например, если вам надо разделить 3444 на 21, то вы сначала делите на 3, а потом на 7. К моменту, когда надо будет делить на 7, исходное число успеет уменьшиться в несколько раз.

3444: 3 = 1148

1148: 7 = 164

Делить 1148 на 7 легче, чем 3444 на 7.

Чтобы разделить на двузначное число, которое оканчивается на 5, удвойте оба числа и используйте деление по множителям.

Например:

1085: 35 =

Удвоим оба числа. 2 на 1000 равно 2000, 2 на 85 равно 170.

1085 х 2 = 2170

35 х 2 = 70

Теперь задача выглядит так:

2170: 70 =

Чтобы разделить на 70, делим сначала на 10, а потом на 7 (по множителям).

2170: 10 = 217

217: 7 = 31

Вычисление очень простое. 21 при делении на 7 дает 3 (3 х 7 = 21), а 7 делится на 7 один раз без остатка. Теперь мы можем записать ответ для нашего исходного примера:

1085: 35 = 31 ОТВЕТ

Попробуем решить другой пример:

512: 35 =

500 при умножении на 2 дает 1000. 12, умноженное на 2, равно 24. Таким образом, 512, умноженное на 2, дает 1024. 35, увеличенное вдвое, дает 70.

Теперь задача выглядит так:

1024: 70 =

Разделим сначала на 10, а потом на 7:

1024: 10 = 102,4

102,4: 7 =

10 при делении на 7 дает 1. 1 — это первая цифра ответа. Прибавляем остаток 3 (из разряда десятков) к цифре 2, что дает нам 32.

32: 7 = 4 r4

Мы получили в ответе 14 с остатком 4. Приписываем 4 к следующей цифре (после запятой), что дает нам 44.

44: 7 = 6 r2

Окончательный ответ: 14,62. Это ответ к нашей исходной задаче:

512: 35 = 14,62

Можно делить числа с помощью множителей до любого количества знаков после запятой.

Припишите столько нулей после запятой, сколько требуется для ответа, и добавьте еще один. Это позволит гарантировать, что последняя цифра после запятой будет получена с требуемой точностью.

К примеру, если надо разделить 736 на 21 и при этом ответ должен быть получен с точностью до двух знаков после запятой, к делимому надо приписать три нуля после запятой.

Таким образом, вы делили бы 736,000 на 21. Итак:

Далее объясняется, как округлять три знака после запятой до двух.

Чтобы округлить дробь до двух знаков после запятой, рассмотрим третью цифру после запятой. Если она меньше 5, тогда вторую цифру оставляем как есть и просто удаляем третью. А если же она равна или больше 5, следует вторую цифру увеличить на 1, а третью удалить.

В предыдущем примере третьей цифрой после запятой является 7. 7 больше, чем 5, поэтому округляем ответ путем увеличения на 1 второй цифры после запятой (4), получив 5.

Таким образом, ответом с точностью до двух знаков после запятой является 35,05.

Ответом с точностью до семи знаков будет 35,0476190. Потом знаки повторяются, так что до 13 знаков после запятой ответ выглядит так:

35,0476190476190

Чтобы округлить до 12 десятичных знаков, рассмотрим тринадцатую цифру, которая равна нулю (меньше 5), поэтому 9 оставляем без изменения:

35,047619047619

Двенадцатая цифра равна 9 (больше 5), поэтому при округлении до одиннадцатого знака цифра 1 переходит в 2:

35,04761904762

При округлении до десятого знака замечаем, что одиннадцатая цифра равна 2 (меньше 5), поэтому оставляем 6 без изменения:

35,0476190476

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно. Вычисления выполняйте до двух знаков после запятой:

а) 4356: 42 = __; б) 2355: 35 = __; в) 4173: 27 = __; г) 8317: 36 = __

Ответы:

а) 103,71; б) 67,29; в) 154,56; г) 231,03

Иногда при делении нам хотелось бы знать остаток, а не цифры после запятой. Как нам узнать остаток, когда мы делим по множителям?

Правило звучит так:

Умножьте первый делитель на второй остаток и прибавьте первый остаток.

Для вышеприведенного примера мы поступили бы следующим образом:

Начнем с того, что перемножим числа в нижнем левом и верхнем правом «углах»:

3 х 0 = 0

Теперь прибавим первый остаток (1). Искомый остаток равен 1, или 1/21.

Еще один пример:

2327: 35 =

Берем 7 и 5 в качестве множителей числа 35.

Чтобы найти окончательный остаток, перемножаем «угловые» числа (3 х 5 = 15). Теперь прибавим другой остаток (2):

15 + 2 = 17

Получаем в ответе 66 с остатком 17.

Решите следующие примеры самостоятельно и вычислите остаток.

а) 4335: 36 = __; б) 2710: 24 = __

Ответы:

а) 120 r15; б) 112 r22

Деление столбиком по множителям позволяет выполнять немало вычислений в уме, за которые иной человек не рискнул бы и взяться. Я постоянно все результаты вычисляю в уме прямо по ходу соревнований и потому знаю положение в турнирной таблице до того, как объявляют данные. Кроме того, математические вычисления — это прекрасная зарядка для ума.