Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 17 Приближенное значение квадратного корня

При возведении числа в квадрат мы умножаем его на самого себя. Например, 4 в квадрате равно 16, поскольку 4, умноженное на 4, дает 16.

Нахождение квадратного корня — это процесс, обратный возведению в квадрат. Чтобы найти квадратный корень из числа 16, необходимо определить число, которое, будучи умноженным на самого себя, даст в результате 16. Ответом, разумеется, является 4. Подобным образом квадратным корнем из 25 является 5, поскольку 5 на 5 будет 25.

Каким будет квадратный корень из 64? Ответом служит 8, поскольку 8 х 8 = 64.

А как насчет квадратного корня из 56? Здесь задача потруднее, поскольку целого числа в качестве квадратного корня из 56 не существует. 7 на 7 дает 49, которое меньше, чем 56, а 8 на 8 будет 64, которое больше, чем 56. Ответ, таким образом, находится где-то между 7 и 8. Оценку величины квадратного корня мы проводим следующим образом. Выбираем то число, чей квадрат чуть меньше числа, с которым мы работаем — в данном случае 56, — и делим второе на первое.

В рассматриваемом случае берем 7, чей квадрат (49) чуть меньше 56. 8, к примеру, не годится на данную роль, поскольку его квадрат (64) больше, чем 56.

Теперь делим 56 на 7 и получаем в ответе 8.

Берем среднее между 7 и 8. Таким средним является 7,5. (Один из способов нахождения среднего для нескольких чисел состоит в том, чтобы разделить сумму этих чисел на их количество.) Данный ответ несколько превышает требуемый, что можно проверить несложным вычислением (7,5 х 7,5 = 56,25). Округление до 7,48 дает более высокую точность.

Рассматриваемый ответ (7,48) является точным до двух знаков после запятой. Наш первый ответ (7,5) является точным до одного знака после запятой. Очень часто такой точности вполне достаточно.

Для обозначения квадратного корня используют символ J~. Его ставят перед числом, из которого желают извлечь квадратный корень. У16 = 4 означает, что квадратный корень из 16 равен 4.

Рассмотрим пример:

√70 =

Прежде всего попытаемся угадать ближайшее число, являющееся округлением искомого корня.

√70 ~= 8 (8 х 8 = 64)

Разделим исходное число на полученное приближенное целое значение.

70: 8 = 8,75

Теперь разделим пополам разницу между первой оценкой (в данном случае числом 8) и результатом деления числа на его первую оценку, то есть 8,75. Разница равна:

8,75 — 8 = 0,75

Разделив пополам эту разницу, получим:

0,75: 2 = 0,375

И наконец, прибавим полученный результат к первоначальной оценке (8):

8 + 0,375 = 8,375

Полученный таким образом ответ всегда будет слегка больше требуемого, поэтому округлим его в сторону уменьшения. В данном случае возьмем в качестве требуемого округления 8,37. Данный ответ вычислен с ошибкой в пределах 0,2 процента.

Попробуем решить еще один пример. Как бы мы вычисляли квадратный корень из 29?

√29 =

Выбираем 5 в качестве первой оценки (5 х 5 = 25). Делим 29 на 5, с тем чтобы получить более точное приближенное значение.

29 делится на 5 пять раз с остатком 4. 40 (остаток 4, умноженный на 10) делится на 5 восемь раз без остатка. Получаем в результате деления 5,8.

29: 5 = 5,8

Разность между 5 и 5,8 равна 0,8. Половина от 0,8 равна 0,4. Прибавим это к 5 — нашей первой оценке искомого квадратного корня — и получим более точную оценку: 5,4.

Ответом является 5,385, однако 5,4 предоставляет точность до одного знака после запятой. Мы имеем ошибку величиной примерно в 0,2 процента. Такая точность является достаточной в большинстве случаев.

Попробуем решить еще один пример:

√3125 =

Разобьем число на пары цифр, начиная с крайней правой:

В данном примере в ответе будет двузначное число, не принимая в расчет цифры после запятой.

Если пара цифр является неполной, то есть когда цифр перед запятой, например, пять и у нас имеется две пары и одна (крайняя левая) цифра, эта единичная цифра приравнивается к паре.

Чтобы вычислить первую цифру в ответе, оценим квадратный корень из числа, образованного из первой пары цифр. Первым приближением квадратного корня из 31 служит 5 (5 х 5 = 25). Последующими цифрами в первом приближении квадратного корня у нас всегда будут нули. Так как в ответе нужна еще одна цифра, мы добавляем к 5 один нуль и получим 50 в качестве первого приближения корня.

Чтобы разделить на 50, делим сначала на 10, а потом на 5:

3125: 10 = 312,5

Теперь делим на 5 и получаем 62,5.

Найдем разницу и разделим ее пополам:

62,5 — 50 = 12,5

12,5: 2 = 6,25

Округляем в меньшую сторону до целого числа и прибавляем к первой оценке:

50 + 6 = 56

√3125 = 56 ОТВЕТ

Воспользовавшись калькулятором, получим:

√3125 = 55,9

Ответ, который мы получили расчетом, вычислен с ошибкой, не превышающей 0,2 процента. Если бы мы не округляли 6,25 до 6, ошибка все равно не превышала бы 1 процент.

Приведенные вычисления можно легко выполнить в уме. Вместе с тем большинство людей не умеют вычислять квадратные корни даже на бумаге.

Решим следующую задачу в уме.

Чему равен квадратный корень из 500 (√500)?

Прежде всего разобьем число на пары цифр. Сколько пар у нас получается? Две (одна неполная). Поэтому в ответе будут две цифры.

Какая первая пара цифр? Речь идет всего об одной цифре: 5. Каков квадратный корень из 5? Берем 2, поскольку 2 х 2 = 4.

В качестве второй цифры берем 0. Наше первое приближение равно 20.

Теперь необходимо разделить 500 на 20. Как нам это сделать? Сначала разделим 500 на 10, а потом на 2.

500: 10 = 50

50: 2 = 25

Делим пополам сумму 25 и 20 — получаем 22,5. Округляем в меньшую сторону до 22,4.

Калькулятор дает ответ 22,36.

Наше приближение 22,5 дает ошибку в размере примерно 0,5 процента. Приближение после округления, равное 22,4, соответствует ошибке величиной в 0,2 процента.

Это очень хороший результат для вычисления в уме, особенно если мы примем во внимание, что единственный способ, известный большинству людей для вычисления квадратного корня, — это калькулятор. Вычисление квадратных корней в уме, вне всякого сомнения, обеспечит вам репутацию математически одаренной личности.

Попробуем решить еще один пример:

√93560

Разобьем цифры на пары:

Первая пара является неполной — цифра 9. Квадратный корень из 9 равен 3 (3 х 3 = 9). Пар цифр всего три, поэтому приписываем к 3 два нуля, получая таким образом три цифры, сколько и должно быть в ответе. Наша первая оценка равна 300.

Чтобы разделить на 300, сначала делим на 100, а потом на 3. (Чтобы разделить на 100, переместите десятичную запятую влево на две позиции.)

93560: 100 = 935,60

311,86 — 300 = 11,86

11,86: 2 = 5,93, округляем до 5,9

300 + 5,9 = 305,9

Калькулятор дает ответ 305,8758. Ошибка нашей оценки составляет 0,0079 процента.

Решим с моей помощью еще один пример:

√38472148 =

Это выглядит очень внушительной задачей. Если бы мы решали этот пример в голове, можно было бы предварительно округлить число в меньшую сторону. Однако об этом после.

Для начала разобьем число на пары цифр:

Имеем четыре пары цифр, поэтому и в ответе будет четыре цифры.

Первая пара дает число 38. Оцениваем квадратный корень из 38 как 6, поскольку 6 х 6 = 36. Остальные позиции заполняем нулями. Наша оценка равна 6000.

Делим 38472148 на оценку. Сначала делим на 1000, а потом на 6:

38472148: 1000 = 38472,148

Поскольку мы вычисляем всего лишь приближенное значение, то можем отбросить знаки после запятой. Теперь разделим 38472 на 6:

38472: 6 = 6412

Делим пополам разницу между 6000 и 6412. Она равна 412, а ее половина — 206. (Половина от 400 равна 200, и половина от 12 равна 6.)

Прибавим 206 к нашей первой оценке и получим 6206. Округляем в меньшую сторону и получаем:

6200 ОТВЕТ

Фактический ответ, полученный с помощью калькулятора, равен 6202,59. Для практических нужд наше приближенное значение можно считать достаточно точным. Если же мы все-таки желаем получить точный ответ, тогда метод, который я представлю вашему вниманию в следующей главе, является самым простым из всех известных мне.

Пока же решите нижеприведенные примеры самостоятельно. Попробуйте решить некоторые из них в уме.

a) √1723 = __; б) √2600 = __; в) √80 = __; г) √42 = __; д) √5132 = __; е) √950 = __; ж) √2916 = __; з) √1225 = __

Ответы:

а) 41,5; б) 50,99; в) 8,94; г) 6,48; д) 71,64; е) 30,82; ж) 54; з) 35

Чем точнее мы подбираем приближение для квадратного корня, тем точнее будет окончательный ответ. Поэтому нам необходимо подбирать число в качестве приближения как можно ближе к истинному значению квадратного корня.

В примерах, которые мы только что разобрали, числа были чуть больше квадрата числа, выбранного нами в качестве первого приближения. Так, в одном из примеров для самостоятельного решения 2600 являлось чуть больше 50 в квадрате (2500), и мы использовали 50 в качестве первой оценки.

Ниже рассматривается случай, когда исходное число чуть меньше квадрата числа — первого приближения. Для получения более точного ответа, вместо того чтобы выбирать в качестве первого приближения число с квадратом, меньшим исходного числа, можно выбирать число, у которого квадрат больше исходного числа (при условии, конечно, что это приведет нас к более точному ответу).

Например:

√2400 =

Разобьем число на пары цифр:

Выбираем в качестве приближения квадратного корня из 24 число 5, поскольку 24 ближе к квадрату 5 (25), чем к квадрату 4 (16). Таким образом, нашим первым приближением квадратного корня из 2400 является 50.

Теперь делим 2400 на 50. Чтобы разделить на 50, делим сначала на 100, а потом удваиваем полученный ответ (50 = 100: 2).

2400: 100 = 24

24 х 2 = 48

Разделим пополам разницу между 48 и 50.

50 – 48 = 2

2: 2 = 1

Прибавление 1 к 48 дает наш ответ: 49.

Калькулятор дает следующее значение искомого корня: 48,98979. Наша ошибка составила примерно 0,02 процента.

Разберем еще один пример:

√6300 =

Разобьем попарно цифры:

Наше приближение для первой пары цифр равняется 8, поскольку 63 гораздо ближе к 8 в квадрате (64), чем к 7 в квадрате (49). Итак, наше первое приближение для корня из числа 6300 равно 80.

Делим сначала на 10, потом на 8:

6300: 10 = 630

630: 8 = 78,75

Теперь найдем среднее между 78,75 и 80. Можно вычесть 78,75 из 80, взять половину ответа и вычесть ее из 80.

Есть хорошая новость: имеется более короткий путь!

Речь идет о нахождении среднего значения для двух чисел.

Чтобы найти такое среднее для 78,75 и 80, сложим их (158,75) и разделим сумму пополам.

Короткий способ состоит в следующем. Мы знаем, что ответ является «семьюдесятью с чем-то», поэтому 7 — это первая цифра ответа. Теперь припишите 1 слева от 8,75 (получая 18,75) и делите пополам. Никаких операций сложения и вычитания больше не потребуется.

Половина от 18 — это 9. Припишите 9 справа к 7 и получите 79. Половина от 75 — это 35,5. Ответом, таким образом, является 79,375. Округляем в меньшую сторону и получаем 79,37.

Фактическим ответом является 79,3725, и это означает, что наша ошибка составила 0,003 процента. Если бы мы использовали в качестве первой оценки число 70, нашим ответом являлось бы 80.

Чем обусловлен этот короткий способ? Чтобы найти среднее для двух чисел (78,75 и 80), мы должны сложить их и взять половину от суммы:

78.75 + 80 = 158,75

158,75: 2 = 79,375

Разделив 15 на 2, мы получаем в ответе 7 и переносим остаток 1 к цифре 8, получая 18. В рассмотренном коротком способе мы просто опустили эту часть вычислений.

Если мы хотим вычислять с большей точностью, можно повторить процедуру, используя полученный ответ в качестве второй оценки.

Для демонстрации метода возьмем самый первый пример, приведенный в этой главе:

√56 =

Нашим первым приближением является 7 (7 х 7 = 49).

56: 7 = 8

8 – 7 = 1 (разница)

1: 2 = 0,5

7 + 0,5 = 7,5

Теперь повторим процесс. Разделим 56 на 7,5. Данная операция не составляет труда. Это то же самое, что 112: 15 или 224: 30. Если мы удваиваем и делимое, и делитель, результат деления не изменяется.

224 легко делится на 30. Делим сначала на 10 (22,4), а потом на 3.

224: 30 = 7,4667

Можно использовать наш короткий способ для нахождения среднего значения. Мы знаем, что первой частью ответа является 7,4. Приписываем остаток 1 спереди к 667 и получаем 1667. Делим это число на 2:

1667: 2 = 833,5

Приписываем 833 к 7,4 справа, получая ответ: 7,4833. Все цифры данного ответа соответствуют точному значению квадратного корня из 56.

Вообще, всякий раз повторяя данный процесс, мы удваиваем количество точных цифр в ответе.

Разберем еще один пример.

Одним из упражнений на вычисления в уме в этой главе была задача на извлечение квадратного корня из 500. Продолжим вычислять в уме, но попробуем при этом увеличить точность ответа.

Ранее мы посчитали, что:

√500 = 22,5

Вместо того чтобы делить 500 на 20, теперь будем делить его на 22,5. Трудно ли это? Нет, если мы сначала дважды удвоим оба наших числа.

Удвоение 500 и 22,5 дает 1000 и 45. Повторное удвоение дает 2000 и 90.

Делим 2000 на 90, чтобы получить более точное приближение искомого корня. Чтобы разделить 2000 на 90, делим сначала на 10, а потом на 9.

2000: 10 = 200

200: 9 = 22,22

Теперь найдем среднее для 22,22 и 22,5.

22 перед десятичной запятой, очевидно, останется без изменения. Чтобы узнать, что будет с цифрами после запятой, найдем среднее для 50 и 22.

22 + 50 = 72

72: 2 = 36

Прибавим 0,36 к 22 и получим ответ, в котором все цифры соответствуют цифрам в точном значении корня.

22 + 0,36 = 22,36 ОТВЕТ

После некоторой практики все рассмотренные вычисления могут выполняться в уме. Так что тренируйтесь!