Быстрая математика: секреты устного счета

Приложение Д Выбрасывание девяток: секрет метода

Чем объяснить способ выбрасывания девяток? Почему цифры числа дают в сумме остаток от деления на 9?

А секрет вот в чем.

9 равно 10 минус 1. Для каждой десятки, содержащейся в числе, вы получаете одну девятку и остаток 1. Если число содержит два десятка (20), получаем две девятки и остаток

2. 30 дает три девятки и остаток 3.

Рассмотрим число 32: оно состоит из 30, то есть трех десятков, и 2, то есть двух единиц. Находя остаток от деления на 9, в случае 30 получаем три девятки и остаток 3. Две единицы в числе 32 сами являются остатком от деления на 9, поскольку 2 на 9 разделить нельзя. Переносим остаток 3 от 30 и прибавляем его к остатку 2.

3 + 2 = 5

Таким образом, 5 является остатком от деления 32 на 9.

Для каждой сотни в числе мы получаем десять девяток и остаток 10. Он также делится на 9 и дает остаток 1. В результате для каждой сотни имеем остаток 1. Если взять число 300, остатком от деления его на 9 будет 3.

Иначе посмотреть на данное свойство можно таким образом:

1 х 9 = 9 (10 — 1)

11 х 9 = 99 (100 — 1)

111 х 9 = 999 (1000 — 1)

1111 х 9 = 9999 (10000 — 1)

Иными словами, каждая единица в любом разряде числа соответствует одной единице остатка.

Например, в числе 32145 цифра 3 обозначает десятки тысяч — для каждого десятка тысяч будет иметься остаток, равный 1. В данном случае суммарный остаток будет 3. Цифра 2 обозначает тысячи. Для каждой тысячи остаток будет равен 1. То же самое можно сказать и о сотнях, и о десятках. Цифра единиц сама является остатком, если только она не равна 9. В последнем случае мы просто выбрасываем цифру 9.

Таким замечательным свойством обладает число 9. Его можно с успехом применять для проверки ответов и делимости на 9. Помимо того что оно помогает в делении на 9, данное свойство позволяет лучше понять суть деления как операции над числами.