Капля

Элементарная теория разрушения водяного пузыря

В книжке о капле вполне уместен рассказ о водяном пузы­ре, поскольку пузырь может возникнуть из падающих на воду капель, а лопнув, обращается снова в капли.

Прежде чем рассказывать о фактах, попытаемся постро­ить элементарную теорию разрушения пузыря, возник­шего во время дождя на поверхности реки или с по­мощью соломинки выдутого из мыльной пены. Все знают, что, если пузырь проколоть иголкой, он исчезнет. Проще всего этот процесс описать следующим образом. В том месте, где пузырь проколот иглой, возникает отверстие. Вдоль контура этого отверстия пленка закруглится, и вследствие этого возникнет лапласовская сила, которая будет увеличивать отверстие, заставляя вещество пленки двигаться прочь от центра отверстия. Масса той части пленки, которая ранее была на месте расширяющегося отверстия, свернется в валик, обрамляющий контур от­верстия и движущийся от его центра. Со временем масса этого валика будет увеличиваться, и, если не произойдет ничего иного, «сопутствующего», через некоторое время τ все тело пленки (пузыря) свернется в одну каплю радиусом r . Нужно найти формулы, которые определяют τ и r.

Введем следующие обозначения: R — радиус пузыря, h — толщина пленки, ρ — плотность жидкости.

Радиус конечной капли легко определить, исходя из сле­дующего очевидного условия — объем жидкости в капле и в пленке пузыря одинаков:

4πR²h = ⁴/₃πr³

Из этого условия следует:

r = (3R²h)^1/3

Одна формула найдена.

Прежде чем вычислить величину τ, найдем скорость, с которой движется валик от точки прокола к точке, диа­метрально противоположной которой и возникнет капля. Для упрощения расчета предположим, что пленка плоская. Учет ее изогнутости усложнил бы расчет и лишь немного уточнил результат. Исчезновение части пленки приво­дит к освобождению поверхностной энергии, кото­рая, будем считать, превращается в кинетическую энергию движущегося валика. К тому моменту, когда образуется отверстие, радиус которого R₁,масса вали­ка будет равна т = πR₁²hρ.

Равенство кинетической энер­гии валика и освободившейся поверхностной энергии озна­чает, что ¹/₂mυ² =¹/₂π

R₁²hρυ² = 2πR₁²α

Из записанного равенства следует выражение, определяющее скорость дви­жения валика: υ = (4α / hρ)^1/2

Очень интересный результат.

Оказалось, что, хотя со временем масса валика и уве­личивается, движется он с постоянной скоростью, так как все величины, определяющие υ,— константы. Причи­на ясна: с ростом отверстия масса валика растет, но при этом увеличивается и количество выделяющейся поверх­ностной энергии. И та и другая величины с ростом R₁растут по одинаковому закону ≈ R₁².

Если валик совершает равномерное движение, то время, необходимое для его перемещения от места прокола до диа­метрально противоположной точки, где валик сольется в каплю (а это и есть время взрыва), τ ≈ πR/υ .

Таким об­разом:

τ ≈ πR(hρ/4α)^1/2

Итак, элементарная теория построена, найдены формулы, определяющие r и τ. Из этой теории следует, например, что если водяной пузырь имеет радиус R = 1 см, а пленка, которая его образует, имеет толщину h= 10 мк = 10^-3 см, то через τ ≈ 5^.10^-3сек после момента прокола пузырь должен превратиться в каплю, радиус которой должен быть около 1 мм.

Теперь о фактах. Известны два великолепных опыта, с результатами которых можно сопоставить предсказания элементарной теории. Один из этих опытов был постав­лен американским ученым В. Ф. Ранцем, другой ленин­градским физиком М. О. Корнфельдом.

Ранц проверял, действи­тельно ли при разрушении жидкой пленки образуется валик, который движется с по­стоянной скоростью. На жест­кий обод он натягивал тон­кую водяную пленку, прока­лывал ее и с помощью чувст­вительной методики следил за тем, как со временем меня­ется радиус отверстия.

Судьба пузыря на соломинке, проби­того металлическим стерженьком

Он убедился, что валик действи­тельно образуется, радиус отверстия меняется с постоянной скоростью, определил эту скорость и, зная толщину пленки, вычислил поверхно­стное натяжение жидкости по формуле

α = hρυ²/4 ,

которая представляет собой записан­ную иным образом формулу для скорости движения вали­ка. Концы с концами сошлись, величина поверхностного на­тяжения оказалась разум­ной. Результат этого опыта подтверждает одну из основ­ных идей элементарной тео­рии взрыва пузыря, но окон­чательным подтверждением служить не может, так как измерения проводились с пленкой, а не с пузырем и образования конечной капли Ранд не наблюдал.

М. О. Корнфельд количественных измерений не произ­водил, но зато тщательно проследил за тем, что происхо­дит с пузырем от момента прокола до его полного исчезно­вения. С помощью специального приспособления он про­бивал пленку пузыря и, воспользовавшись техникой фотографирования в импульсном режиме, получил фотогра­фии разрушающегося пузыря на всех стадиях его исчезно­вения. Оказалось, что вначале все происходит в согласии с предположениями, которые положены в основу элемен­тарной теории: отверстие расширяется, и вдоль его конту­ра образуется валик. Однако вскоре где-то на полпути возникают «сопутствующие» процессы, не учтенные теори­ей. От валика отделяются водяные стерженьки, которые, как и полагается стерженькам, распадаются на отдельные капли. Оказывается, что предполагающаяся теорией одна крупная капля не возникает, а возникает их множество. Создается впечатление взрыва, порождающего множество капель-осколков. Фотографии Корнфельда (см. предыдущий рис.) это великолепно иллюстрируют.

Хочется обратить внимание еще на одно «сопутствующее» явление, которое отлично иллюстрируется фотографиями и качественно объясняется полученными ранее формула­ми. Толщина пленки висящего на соломинке мыльного пузыря вследствие стекания жидкости под влиянием силы тяжести внизу больше, чем вверху. Так как скорость

движения велика

υ≈ 1 / h^1/2

то в нижней части валик движется медленнее, чем в верхней. Это приводит к повороту отверстия в проколотом пузыре. Поворот плоскости, в ко­торой расположен валик, относительно соломинки отчет­ливо виден на фотографиях.

В появлении большого количества капель при разру­шении пузыря можно убедиться средствами более доступ­ными, чем те, которые использовал Корнфельд. Можно по­ступить, например, так. Стоя в реке по грудь в воде, быст­рым движением рассечь воду рукой. Вскоре на поверхно­сти воды возникнет много пузырей. Если приблизить к ним руку, она покроется множеством маленьких капель — их число значительно больше, чем число пузырей, которые лопнули под ладонью.

Явление оказалось богаче пашей фантазии. После опы­тов Корнфельда есть основание для построения более точ­ной и строгой теории.