Знание-сила, 2005 № 03 (933)

Простой подход к простым числам

Дж. Де Кирики. "Двое", 1926 г.

Математики в волненье. За один лишь месяц в теории простых чисел произошли два крупных события. В области, которая долго считалась исследованной до основанья, найдены новые, доселе неизвестные закономерности. Даже популярные газеты, обычно далекие от всяких чисел, не только простых, сочли своим долгом известить господ читателей о пикантной новинке. Чем мы хуже?

Итак, простые числа. Они известны давно, с тех пор как пытливый взгляд древнегреческого человека обратил внимание на то, что некоторые члены бесконечного числового ряда упорно отказываются признавать родство со всеми собратьями по ряду и не желают на них делиться. Ни за что. Ни на кого. Скажем, 2. Или 3. Или 5. Или 7. Делятся, как закоренелые эгоисты, только на себя. Ну, еще, строго говоря, на единицу, но единица не в счет, какое же это деление на единицу! Курам на смех. На единицу любой второгодник разделит.

Со времен древних греков простые числа привлекали внимание многих других пытливых людей, вроде Ферма, Римана, Харди и Эрдети. Все они пытались найти законы, управляющие появлением простых чисел в числовом ряду каких-нибудь формул, по которым можно было бы предсказать, в каком порядке эти числа следуют друг за другом. Риман даже завешал потомкам недоказанную гипотезу из области, связанной с простыми числами, почти такую же важную, как знаменитая теорема Ферма, о которой уже написаны целые книги и даже один художественный роман. Роман о любви. Любви ктеореме. Гипотеза Римана пока не удостоилась романа, зато она удостоилась того, что один американский институт в 2001 году назначил премию в 1 миллион долларов США за доказательство этой гипотезы. Но претенденты пока что-то задерживаются. Крепкий орешек эта гипотеза Римана. И вообще простые числа. Не так-то они просты.

И вдруг в марте нынешнего года на математическую сцену выходят два совершенно посторонних человека, какие-то физики из Бостонского университета, международная группа в составе Кумара (наверное, индус), Иванова (если не еврей, то скорее всего русский) и с ними Стенли (явно англосакс), и объявляют, что они обнаружили некую закономерность. Нет, они не могут сказать, когда, где и какое простое число появится в числовом ряду, но у них есть другое интересное сообщение: простые числа распределены в этом ряду, видимо, не вполне случайно.

Ученые давно уже приметили странные курьезы в последовательности простых чисел. Например, среди них, особенно среди маленьких, есть близкие пары: 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Их так и называют — "близнецы". Знакомое название. А еще в этой последовательности обнаруживаются "сгущения", когда простые числа вдруг идут чуть ли не одно за другим: 101. 103. 107, 109, 113. Увлекательные фокусы, не правда ли? Так и хочется самому тряхнуть школьной стариной, взять карандашик и заняться. А что? Это же так просто. Сиди, находи простые числа, смотри, иши закономерности. Тоже можешь попасть в знаменитости на час, как вот Иванов сотоварищи. Эти трое (Кумар у Иванова аспирант) изучали ритм биений сердца и решили попробовать новый вид статистической обработки данных клинических экспериментов. А в статистике, надо вам сказать, широко пользуются сейчас простыми числами, именно там, где нужен набор совершенно случайных, ну, абсолютно, надежно, наверняка случайных чисел. Что же может быть в этом плане надежней чисел простых? Они даже за миллион долларов США не открывают никаких своих закономерностей. Нету, и все.

И вот Прадип Кумар берется за поставленную руководителем задачу и первым делом вычисляет, какие интервалы разделяют последовательные простые числа. Первыми в этой последовательности выступают 2, 3, 5, 7, 11 и 13 (кстати, самое большое из известных ныне простых чисел насчитывает более 4 миллионов цифр). Интервалы между ними составляют, соответственно, 1, 2, 2, 4 и 2. Тоже особого порядка не видно. Тогда Кумар вычисляет инкременты этих интервалов. Инкременты — это, попросту говоря, прирашения интервалов. Интервал 2 больше интервала I на +1, следующий интервал, опять 2, больше предыдущего (тоже 2) на 0. Затем идет интервал 4, который больше интервала 2 сразу на +2. А заканчивается этот маленький подсчет интервалом 2, который больше предыдущего (4) на-2.

Последовательность инкрементов получилась такая: +1, 0, +2 и —2. Кумар, разумеется, не ограничился этим жалким списком, а продолжал свои вычисления, пользуясь при этом не карандашом, а компьютером, и, наверно, благодаря этому заметил в ряду инкрементов определенную закономерность, которую его руководитель, Иванов, выразил следующими ясными русскими словами (в переводе с английского): "Положительные значения инкрементов почти всякий раз сопровождаются аналогичными отрицательными". Это значит, если в ряду инкрементов появляется +2, то следом появится -2.

Но этого мало. Выявилось кое-что еще. Заметим, что все инкременты, кроме самого первого, это четные числа. Так вот оказалось, что те из них, которые делятся на 3, появляются в списке инкрементов статистически реже, чем все прочие. Это соответствует недавно сделанному наблюдению, что те величины интервалов, которые кратны 6, встречаются реже всех остальных.

К сожалению, все эти открытия бостонских кардиофизиков являются чисто эмпирическими, так сказать, наблюдениями из загадочной жизни простых чисел. Поэтому на научную строгость и доказательности они претендовать не могут. Но, тем не менее, математики возбудились: что бы это значило? И нельзя ли это применить? Например, в биологии, когда хищник и жертва — животные с разными по длительности жизненными циклами, то численность их популяций описывается, как давно уже выяснено, простыми числами — не пригодится ли там наблюдение Иванова — Кумара — Стенли?

Но не успели они прийти к согласию на сей счет, как грянула новая новость. Как вы сами понимаете, тоже из мира простых чисел. На сей раз героями оказались натуральные математики, хотя тоже из разных стран, — Дан Голлстон, сами понимаете, из Калифорнии и Кес Йилдирим из Стамбула (Турция). Эти двое не только обнаружили, но и строго математически доказали, что хотя простые числа и претендуют на случайность (и вполне законно, как на нынешний день, претендуют), но в этой их случайности есть свои элементы порядка. А именно: явления, которые мы выше назвали "близнецами" и "сгущениями" в последовательности простых чисел, продолжаются вдоль числового ряда сколь угодно далеко, а не офаничиваются только его началом.

Математиков это взволновало. Игры числового ряда снова вызвали в их собственных рядах возбуждение, граничащее с благоговением. Особенно восхитил их даже не сам результат, сколько новый метод, который разработали для его получения авторы. Это крупнейший шаг в теории простых чисел за последние полвека, захлебываются они в восторге, с помощью этого метода можно будет теперь изучить, как распределяются в числовом ряду аномально большие интервалы между последовательными простыми числами. И многое еще, о чем пока говорить рано, чтоб не сглазить.

Ладно. Не будем говорить. Тем более что мы не очень и знаем. В этой теории простых чисел сам черт ногу сломит. Одно точно: странная эта область, дикая какая-то и суровая. Но и увлекательная именно этим своим диким, суровым и не даюшимся в руки своеволием. Так и хочется тоже взять в руки карандашик...