Знание-сила, 2005 № 03 (933)

Новый облик нелинейной динамики

Материал печатается в рампах сотрудничества с Российским фондом фундаментальных исследований.

В рассказе "И грянул гром" Рэй Бредбери (кстати — 1963 год!), но сути, сформулировал идею динамического хаоса. Чтобы не нарушить сложную ткань связей и не изменить будущее, следовало двигаться по специальным тропам. Однако это условие было нарушено...

Отклонения от исходной траектории, вызванные раздавленной бабочкой, стремительно нарастали. Математики называют это свойство чувствительностью к начальным данным.

В том же 63-м году мысль о принципиальной ограниченности нашей способности предсказывать (иди, как сейчас говорят, о существовании горизонта прогноза, или пределов предсказуемости) даже в мире, который идеально описывается классической механикой, высказал лауреат Нобелевской премии Р. Фейнман.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял — и тоже в 1963-м! — американский метеоролог Э. Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов — достоверному среднесрочному (на две-три недели вперед) прогнозу погоды? Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату.

С точки зрения математики, можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства — его размерность или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Например, как на рис. I, где размерность фазового пространства всего 3. Для таких клубков было придумано красивое название -"странный аттрактор" (далее z).

Важный элемент мозаики — появившийся в 80-е годы междисциплинарный подход: нелинейная динамика. Динамический хаос стал одним из китов, на котором она стоит.

80-е годы — эпоха безудержного оптимизма и эйфории. Представления о динамическом хаосе позволили в ряде случаев диагностировать серьезные заболевания по данным об электрической активности сердца с помощью довольно простых компьютерных программ. Экономические прогнозы, опирающиеся на представления о хаосе и странных аттракторах, стали отраслью индустрии.

Блестящим успехом стало открытие сценариев перехода от порядка к хаосу. Они не зависят от того, открываем ли мы кран, глядя, как плавный упорядоченный поток превращается в хаотический, турбулентный, или доливаем раствор в пробирку, где идет хаотическая химическая реакция. За многообразием обнаружилось внутреннее единство. Казалось, еще немного и — откроются двери в сказку...

Но этого не произошло. Прекрасный прини не примчался к Золушке. Герда не нашла Кая. Рыцарь не победил дракона.

Эта глава нелинейной динамики закончилась. Надо перевернуть страницу, подумать и начать писать дальше.

Игру в бисер тоже не забудут, но исчезнет она безвозвратно, и те, кому случится потом изучать ее историю, ее возникновение, расцвет и конец, будут вздыхать и завидовать нам.

Г. Гесс. "Игра в бисер"

Оказавшись в тупике и разыскивая путь, естественно взглянуть на весь ландшафт сверху. Итак, спросим себя: что в XX веке общество ждало от фундаментальной науки, от "игроков в бисер"? Какие задачи оно ставило перед исследователями? По-видимому, главных задач — сверхзадач — было три.

Первая — создание меча и, соответственно, шита. Для этого доказывались теоремы, строились изящные теории, проводились расчеты и ставились опыты. Однако, вероятно, эта сверхзадача в большой степени исчерпана.

Вторая задача — создание новых товаров. Но и здесь стал виден край. Можно поставить на полку в универсаме десять сортов пива, можно тысячу, а миллион уже нет. Ресурсов не хватит. Поэтому все чаще речь идет не о новых товарах и технологиях, а о том, чтобы делать то же самое быстрее и дешевле. Это уже не сверхзадача.

Третья проблема — построение научной картины мира. Тут дела обстоят совсем не благополучно. Античная наука имела дело не только с теоремами и доказательствами, но и со смыслами и ценностями. XX век разделил исследователей на две категории. Одних он превратил в ремесленников, которые могут многое сделать, не очень задумываясь над вопросом, следует ли этим заниматься. Других — в специалистов по общим истинам, не различающих тех частностей, к которым эти истины относятся. Пропасть между двумя культурами — естественнонаучной и гуманитарной, о которой с тревогой говорил 40 лет назад писатель и физик Ч. Сноу, — так и нс удалось преодолеть.

Быть может, сбывается мрачное пророчество одного из отцов квантовой механики Е. Вигнера о том, что наука имела начало и будет иметь конец? Причем достаточно скорый.

Поэтому, чтобы сохранить Игру, игрокам в бисер, вероятно, надо спуститься в мир и посмотреть на те задачи. которые волнуют простых смертных. Посмотрим на них и мы, обращая внимание на роль, предназначенную на этих подмостках Хаосу.

В качестве первой сверхзадачи можно назвать альтернативную, или теоретическую историю. В России сейчас меняется не политическая траектория, не лидеры и партии. Меняется не социальная траектория, в результате чего громадные слои населения становятся "ничем". Речь идет о большем. Об изменении исторической траектории. И поскольку выбирать приходится между плохим и очень плохим, важно представлять, что нас ждет в одном, в другом, в третьем случае.

Естественные науки не имеют техники для такого анализа. Гуманитарные же науки имеют слишком много подходов, прекрасно согласующихся с тем, что пишут в газетных передовицах, и тем, что нужно для ближайших выборов. А опираться, как говорил Наполеон, можно только на то, что оказывает сопротивление.

Поэтому речь идет о разработке междисциплинарного подхода, позволяющего анализировать альтернативные исторические траектории и долговременные последствия принимаемых решений. Роль динамического хаоса и компьютерных технологий здесь принципиальна. В нынешнем быстро меняющемся мире горизонт прогноза резко сократился. В мире стало много "быстрых денег", которые могут быть вложены в проекты, дающие немедленную прибыль, и мало "медленных". Но. с другой стороны, большой корабль безопасно может совершать только достаточно медленные повороты. Эволюция имеет много преимуществ перед революцией. Поэтому грядущие перемены следует предупреждать и готовиться к ним. Компьютерные технологии позволили создать огромные базы данных. Осталось понять, что с большинством из них делать. Важно, чтобы они "сыграли" не только в сиюминутных компьютерных делах, но и в той крупной игре, в которую сейчас вовлечена наша цивилизация.

Другую сверхзадачу часто называют нейронаукой. Человек оказался совсем не тем, кем представлялся Просветителям. Они полагали, что знание позволит действовать разумно. Однако, увы...

Рис. 1

Такая картина; полученная на компьютере, убедила Э. Лоренца, что он открыл новое явленье - динамический хаос

Но человек оказался загадкой не только в социальном, но и в техническом смысле. Скорость передачи информации в нашей нервной системе в миллион раз ниже, чем в персональном компьютере. Время срабатывания нервной клетки — нейрона — также в миллион раз превышает время такта персоналки. Очевидно, что при анализе работы мозга речь должна идти о других принципах, отличных от простейших компьютерных парадигм.

Важно отдавать себе отчет, что мы в этой области пока не умеем отвечать на простейшие вопросы. Где и как организовано хранение информации? Каковы алгоритмы, по которым мы ее редактируем и забываем? Почему младенец без труда отличает кошку от собаки, в то время как для компьютера это пока непосильная задача?

Нейронаука ищет ответы на эти вопросы на стыке вычислительной техники, когнитивной психологии, нейробиологии, нелинейной динамики. Роль хаоса здесь представляется очень важной. Головной мозг, как и многие другие системы организма, работает в хаотическом режиме. Недавно появившаяся теория управления хаосом говорит, что это дает нам множество интересных возможностей. Но это лишь тусклый отблеск тех успехов, которые понадобятся в будущем.

Третья сверхзадача для науки ХХI века пока не имеет короткого и красивого названия.

Условно говоря, это теория риска и безопасности. В полный рост проблема встала лет 15 назад, хотя ее появление предсказывал еще в 60-х годах С. Лем в книге "Сумма технологии".

Посмотрим на достигнутое со скромностью и смирением, как советовал Фома Аквинский. Наши технологические успехи действительно весьма скромны. Трехкратное повышение урожайности зерновых в этом веке было оплачено увеличением потребления энергии в 100 раз на каждую тонну зерна. Все опаснее становится обслуживающая нас инфраструктура. Произошли катастрофы на атомных станциях, надежность которых еще недавно оценивали как одну аварию в миллион лет. Число аварий на магистральных трубопроводах в России растет примерно в полтора раза каждые два года.

Б. Гейтс назвал глобальную систему телекоммуникаций "информационной нервной системой". Без нее сейчас немыслимо существование фондовых рынков. Но у этой системы есть свои болезни. В России это особенно понятно, поскольку в последнее время большинство наших сограждан стали как минимум втрое беднее. Мы живем в посткатастрофическом мире.

Ну и что? Казалось бы, это техническая, в лучшем случае прикладная задача. Но это не так. На Физтехе первокурсникам объясняют, что все проблемы делятся на научные и технические. Технические заведомо имеют решение. Дело только в том, сколько оно стоит, кем и как оно будет получено. А научные проблемы могут как иметь решение, так и не иметь. Так вот будущее нашей технологической цивилизации стало научной проблемой. Мы вступили в далекую закритическую область параметров, где еще никогда не бывали.

Да, человек смертен, но это было бы еще полбеды. Плохо то, что он иногда внезапно смертен, вот в чем фокус!

М.А. Булгаков. "Мастер и Маргарита"

Лет 30 назад Фейнмана спросили: "Если бы завтра все живущие ныне физики погибли и от всех них в будущее можно было бы передать только одну фразу, что бы вы сказали?" Ответ был таков: "Весь мир состоит из атомов и пустоты. Остальное они додумают".

Если бы такой же вопрос сейчас был задан всем ученым, а не только физикам, вероятно, фраза оказалась бы иной: "Научитесь управлять рисками". Управление рисками—одна из важнейших технологий нашей цивилизации. Это магистральный путь прогресса — менять одни угрозы и опасности на другие. Например, опасность голодать и мерзнуть — на риск пожинать плоды заражения воды, земли, воздуха, связанные с работой тепловых или атомных станций. Возможность знать и видеть происходящее за тысячи километров, о чем не раз мечтали в сказках, оказалась связана с жизнью посреди информационного шума, среди рекламно-информационной свалки, океана лжи, слухов, домыслов.

Не надо думать, что здесь можно только плыть по течению, что "иного не дано", как еще недавно твердили нам политики. Иное дано. Швеция приняла решение отказаться от атомной энергетики как от слишком опасной технологии. В то же время во Франции, где более 70% электроэнергии производится на АЭС, многие рассматривают форсированное развитие этой отрасли как важнейший способ сохранения окружающей среды. Ставки в этой игре весьма высоки, и свобода маневра достаточно велика.

Глубокая связь между идеями нелинейной динамики и управлением рисками стала ясна недавно. Осознать ее помогла парадоксальная статистика аварий. Вспомним "Титаник", "Челленджер", Чернобыль, Тримайл, Бхопал... Каждая из этих крупнейших катастроф XX века связана с длинной цепью причинно-следственных связей с "неблагоприятным стечением многих маловероятных случайных обстоятельств", как часто пишут в актах государственных комиссий. И в самом деле, вздумай злоумышленник специально сделать что-то подобное, ему пришлось бы трудно. При знакомстве с бедствиями не оставляет чувство, что нам просто очень не везет.

Что же является математическим образом этого "невезения"? Выше уже звучало слово "случайность". "Король математиков", как его называли современники, К. [аусс установил, что сумма независимых, одинаково распределенных случайных величин подчиняется вполне определенному закону (рис. 2). Видно, что кривая быстро спадает, большие отклонения в соответствии с этим законом очень редки. Настолько, что ими можно пренебречь.

Простой пример: по этому закону распределен рост людей. Не знаю, как читателю, а мне трехметровых гигантов встречать не приходилось. Поэтому вероятностью такой встречи я с легким сердцем пренебрегаю.

Но есть и другой класс законов, которые называют степенными (пунктирная кривая на том же рисунке). Здесь "хвост" убывает гораздо медленнее, поэтому такие законы часто называют "распределениями с тяжелыми хвостами", и большими отклонениями тут пренебречь нельзя. Если бы по такому закону был распределен рост, то это был бы уже мир восточных сказок с 30-метровыми джиннами, ифритами, дэвами, которые вполне могли встретиться в жизни простых смертных.

Рис. 2

Классическим, привычным является гауссово распределение

Именно в мире восточных сказок мы обычно и оказываемся, сталкиваясь с бедствиями, катастрофами, авариями. Такова статистика землетрясений, наводнений, ураганов, инцидентов с хранением ядерного оружия, биржевых крахов, ущерба от утечки конфиденциальной информации, многих других невзгод. И защищаться от них нужно совсем иначе, чем от обычных "гауссовых аварий". При "степенных бедствиях" надо рассчитывать на худшее. Думая о землетрясениях, нужно не надеяться на авось, а вести сейсмостойкое строительство.

Чтобы представить масштаб редких катастрофических событий, достаточно напомнить несколько эпизодов из истории XX века. При наводнении 1931 года на реке Янцзы в Китае погибли 1,3 миллиона человек, при Тянь-Шаньском землетрясении в 1976 году — около 650 тысяч, при наводнении в Бангладеш в 1970 — более 500 тысяч, а без крова остались 28 миллионов человек.

Откуда же берутся степенные законы и грозный мир восточных сказок? Американские исследователи П. Бак, Ц. Танг и К. Вайзенфельд в 1978 году высказали простую гипотезу: случайные воздействия на взаимодействующие динамические системы могут привести к лавине, то есть позволить одним костяшкам домино повалить другие.

Опасность в том, что динамические закономерности осложняются привносимой извне случайностью. Как сейчас говорят, эти явления происходят "на кромке хаоса". Это и стало основой теории самоорганизованной критичности — новой звезды нелинейной динамики. Среди ее приложений — описание поведения фондовых рынков, биологической эволюции, землетрясений, движения по автобанам, трафика сообщений через компьютерные сети и многое другое.

Теория управления рисками поставила перед специалистами по хаосу, компьютерному моделированию, работе с большими массивами данных еще одну интересную задачу. Условно ее можно назвать анализом длинных причинно-следственных связей.

Все помнят историю с фреонами. Отказаться от них решили в Монреале в 1992 году. И обойтись это должно более чем в 12 миллиардов американских долларов. За незнание длинных причинно-следственных связей приходится платить очень дорого.

А есть и другие, гораздо более опасные связи. Мы оперируем сейчас такими временными и пространственными масштабами, с которыми никогда не имели дела раньше. Нужна техника, более того — даже индустрия компьютерного анализа, на выходе которого должно быть предупреждение о будущих угрозах. Чтобы дальше царствовать спокойно, нужен золотой петушок.

Рис.З

Сравните две кривые.

Сверху - зависимость логарифма индекса Доу-Джонса от времени перед Великой депрессией 1929 г. Внизу - зависимость концентрации ионов хлора в родниках перед землетрясением е Кобе в 1995 г.

И еще, пожалуй, одна картинка, показывающая, что самые разные катастрофические события могут развиваться по одним законам, — а это загадка и надежда на разгадку. Речь идет о сложно организованных иерархических системах.

На рис. 3 сверху по оси ординат отложен логарифм индекса Доу- Джонса, одного из главных индикаторов состояния экономики, по оси абсцисс — время вверху. Здесь показан период перед Великой депрессией 1929 года. Внизу — концентрация ионов хлора в родниках в период, предшествующий землетрясению в Кобе. Обе кривые очень похожи, обе описываются с высокой точностью одной формулой. И, видимо, за этим сходством кроется аналогия между механизмами обоих явлений, возможность перенести методы прогноза из одной области в другую. Возможно, это ключ к разгадке.

И еще одна задача. Допустим, мы живем в 1927 году и знаем, что ждет американцев через два года. Как уберечь людей от беды? Это проблема социума, направляемого развития, воздействия на общественное сознание.

Работа с информацией, основанная на компьютерных технологиях, глобальные телекоммуникации — сегодня главные козыри при управлении риском. Во-первых, потому, что каждая катастрофа должна учить. В XX веке у каждой катастрофы были "предтечи" — аварии того же типа, но меньшего масштаба. И чтобы предупредить "премьеру", надо на основе скромной "репетиции" менять нормы, планы, правила игры в социуме и техносфере. Лучше вложить тысячу в прогноз и предупреждение аварии, чем миллион в ликвидацию ее последствий. Во-вторых, информация и прогноз позволяют спасать тысячи жизней, сокращая время реагирования на события. В-третьих...

Впрочем, здесь надо остановиться. Работы, ведущиеся сейчас в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН и в ряде академических институтов по инициативе Министерства по чрезвычайным ситуациям, показали, что здесь есть огромное поле деятельности, на котором Хаос занимает ключевое положение.

Природа, нем она ни будь,

Но черт ее соавтор —

Вот в нем суть.

И.В. Гёте. "Фауст"

Вернемся к динамическому хаосу. Спросим; если предсказывать даже с помощью современных компьютерных технологий так непросто, то как же нам удается ориентироваться в нашем сложном и быстро меняющемся мире? Как удается разумно действовать, несмотря на свой весьма скромный горизонт прогноза?

Сталкиваясь с различными задачами моделирования — от процессов лазерной термохимии и солнечного динамо до процессов исторических, — могу утверждать, что всех их объединяет необходимость находить параметры порядка в поведении сложных систем и составлять прогнозы.

Именно такой "тяжелой" системе и методам ее анализа и был посвящен грант РФФИ 97-01-00396, которым мне довелось руководить. Эта система описывает так называемую жесткую турбулентность — явление, при котором на хаотическом фоне иногда возникают гигантские всплески. Почему? Можно ли объяснить это на пальцах? Можно ли предвидеть "катастрофу"?

Принципиально важен вопрос; можно ли это явление, описываемое весьма сложной системой уравнений для бесконечного числа степеней свободы, смоделировать предельно просто? Если да, можно надеяться, что удастся удачно упростить и в других случаях. Если нет.., надо думать дальше.

Благодаря настойчивости и изобретательности С. В. Ершова и А. Б. Потапова был получен положительный ответ. Жесткую турбулентность удалось описать настолько просто, что численный анализ упрощенной системы сейчас можно поручить физтеху-второкурснику.

Однако вернемся к общему вопросу — как все же удается что-то предсказывать, несмотря на небольшой горизонт прогноза? Попытки получить на него ответ, а с ним и алгоритмы прогноза, предпринимаются в создаваемой сейчас теории русел и джокеров.

Одним из ее авторов по праву может считаться известный финансист Дж. Сорос. В своей "Алхимии финансов" он выдвинул идею "информационной", или "рефлексивной" экономики. В соответствии с ней такие переменные, как "уровень доверия", "ожидаемые прибыли" и многие другие, характеризующие нашу "виртуальную реальность", играют ключевую роль в современной экономике. Другими словами, в фазовом пространстве многих объектов, с которыми мы имеем дело в жизни, есть места, называемые областями джокеров, в которых случайность, не играющая никакой роли в другой ситуации, может оказаться решающей и не только повлиять на судьбу системы, но и скачком перевести ее в другую точку фазового пространства. Правило, по которому совершается этот скачок, и называется джокером. Название пришло из карточной игры. Джокер — карта, которой можно присвоить значение любой карты по желанию играющего. Понятно, что это резко увеличивает число вариантов и степень неопределенности.

Рис. 4

Лекальные скорости разбегания (сходимости) для аттрактора Лоренца

С помощью представлений о джокерах можно говорить и о старых знакомых — динамических системах. Иллюстрацию этого придумал сотрудник нашего института И. В. Фельдштейн (рис. 4).

Речь опять идет о системе Лоренца. Скорость, с которой траектории разбегаются, лежит в области выше нулевого уровня, а скорость, соответствующая схождению, — в области ниже нулевого уровня. Видно, что область разбегания, которой естественно сопоставить джокер, довольно мала.

Но если нам не везет с прогнозами в области джокера, то где-то должно и везти. Подумаем: что значит "везет с прогнозом"? Это значит, что поведение системы с устраивающей нас точностью определяется лишь несколькими переменными, а обо всем остальном в первом приближении можно забыть. Кроме того, здесь должна быть возможность предсказывать на довольно большой срок. Такие области в фазовом пространстве и были названы руслами.

Вероятно, способность эффективно выделять русла, учиться не только методом проб и ошибок, совершенствуя свою предсказывающую систему и здравый смысл, и дала человеку решающее преимущество в ходе эволюции.

Но тут возникают вопросы: где начинается и где кончается русло? Какова структура нашего незнания? Как от одного информационного поля и одних представлений, адекватных этому руслу, переходить к другим, когда это русло кончилось? Знакомясь с разными экономическими, психологическими, биологическими теориями, трудно отделаться от ощущения, что, сами того не осознавая, их создатели имеют дело с разными реальностями, с разными руслами.

На одной конференции по искусственному интеллекту была дана такая формулировка. Простые задачи — это те, которые легко решить или доказать, что они неразрешимы, остальные задачи — сложные. Развитие представлений о хаосе и их применение в разных областях показывают, что нам повезло. Конструирование будущего, осмысление новой реальности, сущности человека, алгоритмов развития и управления — все это оказалось сложной задачей.