Большая Советская Энциклопедия (КО)

Конечных разностей исчисление

Коне'чных ра'зностей исчисле'ние, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления , где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y₁ = f (x₁ ), y₂ = f (x₂ ),..., y_k = f (x_k ),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x₀ ,..., x_k ,,... (x_k = х₀ + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Dy_k º Df (x_k ) = f (x_k+1 ) - f (x_k )

(разности 1-го порядка),

D² y_k º D² f (x_k ) = Df (x_k+1 )- Df (x_k ) = f (x_k+2 )-2f (x_k+1 ) + f (x_k )

(разности 2-го порядка),

Dⁿ y_k º Dⁿ f (x_k ) = D^n-1 f (x_k+1 ) - D^n-1 f (x_k )

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности «назад» Dⁿ y_к определяются равенствами

Dⁿ y_к = Dⁿ y_{к + n} .

При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями dⁿ y , которые вычисляются при нечётном n в точках х = x_i +¹ l₂ h, а при чётном n в точках х = x_i по формулам

df (x_i + ¹ /₂ h) º dy_i+1/2 = f (x_i+1 ) - f (x_i ),

d² f (x_i ) º d² y_i = dy_i+1/2 ,

d^2m-1 f (x_i + ¹ /₂ h) º d^{2т— 1yi} _+1/2 = d^{2т— 2yi} ₊₁ -d^{2т— 2yi} ,

d^2m f (x_i ) º d^2т у_i = d^{2т— 1yi} _+1/2 - d^{2т— 1yi} _-1/2

Они дополняются средними арифметическими

,

,

где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

Центральные разности dⁿ y связаны с конечными разностями Dⁿ y соотношениями

d^2т у_i = D^2т у_i-m ,

d^{2т+ 1yi} _+1/2 = D^2m+1 y_i-m

Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x_k+1 - x_k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

.

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dⁿ y_k = f ⁽ⁿ⁾ (), где x_k ££x_k+n . Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),..., Dⁿ f (x)] = 0 (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n- го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x₁ ),..., f (x_n ) ] = 0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a₁ f (x+n-1) +... + a_n f (x) = 0,

где a₁ ,..., a_n — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l₁ , l₂ ,... l_n его характеристического уравнения

lⁿ + a₁ l^n-1 +...+a_n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С₁ l₁ ^х + C₂ l₂ ^x +... + C_n l_n ^x ,

где C₁ , C₂ ,..., C_n — произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l₁ , l₂ ,..., l_n нет равных).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

Под редакцией Н. С. Бахвалова.