Большая Советская Энциклопедия (КО)

Коши - Адамара теорема

Коши' — Адама'ра теоре'ма, теорема теории аналитических функций, позволяющая судить о сходимости степенного ряда

a₀ +a₁ (z—z₀ )+...+a_n (z—z₀ ) ⁿ +... ,

где a₀ , a₁ ,..., a_n — фиксированные комплексные числа, a z — комплексное переменное. К.—А. т. гласит: если верхний предел

,

то при r = ¥ ряд абсолютно сходится во всей плоскости; при r = 0 ряд сходится только в точке z = z₀ и расходится при z ¹ z_o ; наконец, в случае, когда 0 < r < ¥ ряд абсолютно сходится в круге |z—z₀ | < r и расходится вне этого круга. Эта теорема была установлена О. Коши (1821) и вновь доказана Ж. Адамаром (1888), указавшим на её важные приложения.