Жемчужина Эйлера

Глава 5 Евклид и его «Начала»

Когда мы думаем о греческой геометрии, на ум сразу приходит Евклид и его шедевр, «Начала». В древности Евклида часто называли просто «Геометр». Очень жаль, что нам так мало известно о его жизни. Мы не знаем, ни где он родился, ни даже более-менее точную дату рождения или смерти. Авторы большинства книг по истории математики не рискуют высказывать догадки о точных датах и пишут лишь, что он жил приблизительно в 300 году до н. э.

Рис. 5.1. Евклид глазами художника

Евклид изучал математику и познакомился с великими работами Теэтета и других платоников в Академии Платона в Афинах. Впоследствии он перебрался в Александрию. Это было то время, когда создавались величайшая библиотека и музей. Там Евклид основал поразительно успешную и авторитетную школу математики.

Евклид написал несколько книг, но нетленной славой обязан одной из них. Приблизительно в 300 году до н. э. из-под его пера вышел труд всей его жизни: «Начала». Эта книга была написана как учебник элементарной геометрии, теории чисел и геометрической алгебры. Неизвестно, внес ли Евклид свой вклад в математику; почти все результаты, излагаемые в «Началах», были ранее доказаны другими людьми. Прокл писал, что Евклид «собрал многое за Евдоксом, усовершенствовал многое за Теэтетом, а помимо этого привёл к неопровержимости те доказательства, которые раньше доказывались менее строго»³⁹.

«Началам» много не хватает с методической точки зрения: математика не помещена в исторический контекст, отсутствуют побудительные мотивы, не приведены приложения. Но способ изложения и логический подход к материалу неизмеримо превосходят все, что было сделано до того. Евклид начал с пяти «очевидных» допущений и на основе этих простых постулатов выстроил величественную теорию геометрию. Прокл превозносил «Начала» в таких словах:

Такое логическое обращение с материалом стало воплощением мечты Пифагора, жившего несколькими столетиями раньше. Влияние «Начал» на последующих ученых было очень велико. Опираясь на очевидные фундаментальные истины, человек попытался вывести все законы науки. Этот идеалистический подход к науке оказался чрезмерно упрощенным; лишь немногие законы науки близки к пяти постулатам Евклида. Тем не менее дедуктивный подход Евклида к математике и науке важен и по сей день.

«Начала» — самая ранняя из созданных греками крупных математических работ, дошедшая до нас. Она многократно переписывалась вручную, пока в 1482 году в Венеции не вышла первая печатная версия. С тех пор она переиздавалась примерно тысячу раз.

Большая часть тринадцатой, последней, книги «Начал» посвящена платоновым телам. Некоторые историки считают, что остальные двенадцать книг были написаны только для приготовления читателя к последней книге. Как мы уже говорили, доказательства, приведенные в книге XIII, скорее всего, принадлежат не Евклиду, а Теэтету. Некоторые ученые полагают, что Евклид воспроизвел работу Теэтета вообще без правки⁴¹.

Самый важный вклад книги XIII — доказательство того, что существует пять и только пять платоновых тел. Сначала Евклид показывает, что имеется по крайней мере пять платоновых тел — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. Затем он доказывает, что их не может быть больше пяти. Для решения первой задачи Евклид описывает точный порядок построения каждого из пяти платоновых тел, т. е. строит их внутри сферы. Мы не будем здесь повторять построения Евклида, но представим его доказательство отсутствия других правильных тел. А впоследствии дадим другое доказательство этой теоремы, основанное на формуле Эйлера.

В своем доказательстве Евклид пользуется одним свойством плоских углов. Плоским называется угол грани многогранника (в кубе имеется 24 плоских угла, равных 90°). В книге XI Евклид доказал, что сумма плоских углов при любой вершине выпуклого многогранника меньше 360°. Мы опускаем доказательство, но из рисунка легко видеть, почему это утверждение верно. если взять грани, сходящиеся в любой вершине выпуклого многогранника, и развернуть их на плоскость (для этого нужно произвести разрез вдоль одного ребра), то окажется, что грани не перекрываются и никакие два ребра не пересекаются (рис. 5.2). Это возможно, только если сумма плоских углов строго меньше 360°.

Рис. 5.2. Развертки выпуклых многогранников (слева и в центре) и для сравнения развертка невыпуклого многогранника (справа)

Теперь рассмотрим правильный многогранник. Каждая его грань — правильный n-угольник, а в каждой вершине сходятся m ребер. Поскольку каждая грань должна иметь по меньшей мере три стороны, то n ≥ 3, а поскольку в каждой вершине сходится не менее трех ребер, то m ≥ 3. Все углы каждой грани равны, обозначим их общую величину θ. В каждой вершине сходится m граней, и каждая привносит плоский угол θ. Из теоремы Евклида следует, что mθ должно быть меньше 360°. При каких m и n это возможно?

При n = 3 грани — равносторонние треугольники, так что θ = 60° (внутренний угол правильного n-угольника равен 180°(n-2)/n). Мы знаем, что mθ < 360°, поэтому m(60°) < 360°, или m < 6. Следовательно, m может быть равно только 3, 4, 5 (см. рис. 5.3). Этим значениям m соответствует тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

Рис. 5.3. Пять возможных вершин платоновых тел в развернутом и объемном виде

При n = 4 грани — квадраты, так что θ = 90°. Отсюда следует, что m(90°) < 360° или m < 4. Стало быть, единственная возможность m = 3, и мы получаем куб.

При n = 5 грани — правильные пятиугольники и θ = 108°. Следовательно, m(108°) < 360°, или m < 10/3. Это значит, что m = 3, и мы получаем додекаэдр.

При n = 6 грани — правильные шестиугольники и θ = 120°. Но неравенство m(120°) < 360° означает, что m < 3, что невозможно. Поэтому правильного многогранника с шестиугольными гранями не существует. Точно так же обстоит дело при n > 6. Следовательно, никаких других платоновых тел нет.

Рис. 5.4. Это невыпуклое платоново тело?

При внимательном изучении доказательства выясняется, что Евклид упустил из виду некоторые тонкие детали. В частности, он не исключил возможности существования двух различных многогранников, составленных из правильных n-угольников и таких, что в каждой вершине сходится m граней. Например, быть может, существует многогранник, отличный от икосаэдра, образованный равносторонними треугольниками, сходящимися по пять в каждой вершине. Евклид неявно предполагал, что такое невозможно. Евклид оказался прав в предположении выпуклости, но без него это уже не так. На рис. 5.4 мы видим невыпуклый многогранник с такими же свойствами, как у икосаэдра, — он состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся по пять в каждой вершине. Единственное отличие в том, что одна вершина вдавлена внутрь, так что многогранник невыпуклый.

Такие пары многогранников, как икосаэдр и невыпуклый икосаэдр, показанный на рис. 5.4, называются стереоизомерами (термин заимствован из химии). Они составлены из одного и того же набора граней, соединенных вдоль одних и тех же ребер.

И еще остается вопрос об изгибаемости многогранников. Представим себе, что многогранник изготовлен из жестких металлических граней с шарнирными ребрами. По меньшей мере, к Эйлеру восходит гипотеза о том, что такой многогранник не может изгибаться, пусть даже все ребра шарнирные. Его форму нельзя изменить растяжением или сжатием. В 1766-м Эйлер писал, что «замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется»⁴². Доказать эту гипотезу важно, потому что если хотя бы один из правильных многогранников изгибаемый, то мы имели бы целое семейство стереоизомеров, а значит, бесконечное число немного различающихся правильных многогранников. Это стало бы приговором доказательству Евклида.

Как выясняется, Евклид был прав, но строгое доказательство было дано лишь спустя две тысячи лет плодовитым французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789–1857). В 1811 году Коши доказал, что любые два выпуклых стереоизомера должны быть одинаковы⁴³. Иными словами, зная все грани выпуклого многогранника и то, какие грани соседствуют друг с другом, мы знаем точную геометрию многогранника. Из этой знаменитой теоремы, в частности, следует, что пять платоновых тел — действительно единственные правильные многогранники. Из нее же следует, что любой выпуклый шарнирный многогранник не изгибается. Этот последний факт известен под названием теоремы о жесткости выпуклых многогранников. Интересно, что предположение о жесткости не выполняется для невыпуклых шарнирных многогранников, и этот факт был установлен только в 1877 году. Американский математик Роберт Коннелли построил первый пример изгибаемого невыпуклого многогранника⁴⁴.

Последний значительный вклад греков в теорию правильных тел связан с именем Архимеда из Сиракуз. Архимед ввел понятие полуправильных тел. Полуправильное тело, как и правильное, — это выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, но эти многоугольники необязательно должны быть одного типа. Кроме того, требуется, чтобы все грани с одинаковым числом сторон были конгруэнтны, а все вершины идентичны (т. е. порядок следования граней, сходящихся в каждой вершине, одинаков, и любую вершину можно повернуть так, что она совпадет с любой другой вершиной, при этом многогранник перейдет в себя). На рис. 5.5 показаны три полуправильных многогранника. Работа Архимеда утрачена, но из следующего отрывка Паппа (ок. 290–350 н. э.) мы знаем, что Архимед нашел тринадцать полуправильных тел:

Рис. 5.5. Три полуправильных многогранника Архимеда

Весь набор из тринадцати многогранников был заново открыт в 1619 году Кеплером, который не знал о работе Архимеда. Как Теэтет доказал, что пять платоновых тел — единственные правильные многогранники, так Кеплер доказал, что существует всего тринадцать полуправильных многогранников. Следует отметить, что существует бесконечно много многогранников, называемых призмами и антипризмами, которые удовлетворяют условиям полуправильности, но исторически не считаются полуправильными телами. В настоящее время полуправильные многогранники называются архимедовыми телами.

После упадка греческой цивилизации центр математической жизни переместился в Персию (современный Ирак[5]). Под покровительством монарха арабские математики перевели многие классические греческие трактаты, в т. ч. работы Евклида, Архимеда, Аполлония, Диофанта, Паппа и Птолемея. Но они были больше, чем хранителями греческих текстов. Они создали алгебру и внесли большой вклад в теорию чисел, системы счисления и тригонометрию. Арабский период доминирования в математике продолжался приблизительно до XV столетия.

Арабские математики развили геометрию, но практически ничего не добавили к теории многогранников. Математике пришлось ждать, когда Европа выйдет из периода Средневековья, — лишь тогда интерес к многогранникам пробудился с новой силой.

Приложения к главе

38. Russell (1967), 37–38.

39. Quoted in Bulmer-Thomas (1976).

40. Там же.

41. van der Waerden (1954), 173.

42. Euler (1862).

43. Cauchy (1813a).

44. Connelly (1977).

45. Quoted in Bulmer-Thomas (1967), 195.