Жемчужина Эйлера

Эпилог Вопрос на миллион долларов

В XX веке топология стала одним из столпов математики, заняв место рядом с алгеброй и анализом. Многие математики, не считающие себя топологами, используют топологию в повседневной работе. Это неизбежно. Сегодня аспиранты математических специальностей первого года обучения обязаны пройти годичный курс топологии.

Один из способов измерить важность области науки — посмотреть, какие награды вручаются за достижения в этой области. Нобелевских премий по математике не существует, но есть эквивалент — филдсовская премия. Филдсовскую премию вручают раз в четыре года, начиная с 1936 года (за исключением Второй мировой войны). На каждой церемонии медали вручаются не более чем четырем математикам не старше сорока лет, внесшим выдающийся вклад в математику. Из сорока восьми лауреатов примерно треть была отмечена за работы по топологии, а еще большее число — за вклад в смежные области.

В связи с одной конкретной топологической проблемой было вручено целых три филдсовских премии. Это одна из самых знаменитых нерешенных задач XX века — настолько важная и трудная, что математику, решившему ее, обещана награда 1 миллион долларов. Называется эта проблема гипотезой Пуанкаре.

Теорема классификации поверхностей — одна из самых элегантных теорем во всей математике. Она утверждает, что любая поверхность однозначно определяется ориентируемостью, эйлеровой характеристикой и числом компонент края. Понятно, что было бы хорошо иметь подобную теорему для многообразий любой размерности, но это чрезвычайно сложная задача. Ясно, что если такая классификация и существует, то приведенного выше перечня недостаточно, поскольку характеристика Эйлера-Пуанкаре любого замкнутого многообразия нечетной размерности рана нулю (см. главу 23).

Пуанкаре мечтал о классификации многомерных многообразий, но даже в трехмерном случае эта задача не поддалась его усилиям. Гипотеза Пуанкаре стала только первым шагом в процессе этой классификации.

Простейшим замкнутым n-мерным многообразием является n-мерная сфера Sⁿ. Пуанкаре искал простой критерий, который позволил бы узнать, гомеоморфно ли данное n-мерное многообразие в сфере Sⁿ. В 1900 г. он думал, что нашел такой критерий. Он доказал²¹⁵, что любое n-мерное многообразие, гомологичное Sⁿ, должно быть гомеоморфно Sⁿ. Гомология n-мерной сферы особенно проста. Ее числа Бетти равны 1 для размерностей 0 и n, 0 для всех остальных размерностей, и зацепления нет.

Через четыре года он понял, что доказательство содержало ошибку²¹⁶. И не только нашел собственную ошибку, но и обнаружил замечательный контпример к своему же утверждению. Он построил патологическое 3-мерное многообразие, имеющее такую же гомологию, как S³, но не гомеоформное S³. Для этого он склеил противоположные грани сплошного додекаэдра, повернув каждую на 36° по часовой стрелке.

Интересное и неожиданное свойство додекаэдрического пространства Пункаре состоит в том, что хотя его первое число Бетти равно 0, оно не является односвязным. То есть любой цикл гомологичен нулю, но существуют циклы, которые нельзя стянуть в точку. На рис. 23.3 мы видели пример нетривиального гомологичного нулю цикла на двойном торе, но в додекаэдрическом пространстве всякий цикл, который нельзя стянуть в точку, гомологичен нулю.

Из этого экзотического примера Пуанкаре сделал вывод, что одной гомологии недостаточно, чтобы охарактеризовать не только Sⁿ, но даже S³. Поэтому он отложил в сторону вопрос в n-мерном случае и сосредоточился на 3-мерных многообразиях. Он подозревал, что если все циклы на 3-мерном многообразии топологически тривиальны, то многообразие должно быть геомеоморфно S³. Это и стало содержанием знаменитой ныне гипотезы Пуанкаре²¹⁷.

На самом деле в статье Пуанкаре это утверждение выдвигалось не в виде гипотезы, а в виде вопроса. Он не сформулировал своего мнения о том, каким будет ответ. Доказательство этой теоремы, конечно, несопоставимо с классификацией всех трехмерных многообразий, но стало бы важным первым шагом.

Знатные вызовы всем по вкусу, а уж гипотеза Пуанкаре — всем вызовам вызов. Она вошла в короткий список задач — вместе с теоремой о четырех красках, великой теоремой Ферма и гипотезой Римана, — получивших мистический статус. Как и остальные проблемы из этого списка, гипотеза Пуанкаре целиком захватывала тех, кто над ней работал. Несть числа молодым математикам, вступившим в эту схватку. Как писал один журналист, «математики говорят о гипотезе Пуанкаре, как Ахав толковал о Белом ките»²¹⁸. Начиная с 1904 года многие заявляли, будто нашли доказательство. Но до недавнего времени все доказательства содержали дефекты — иногда тонкие ошибки, укрывшиеся в сотнях страниц глубокой математики.

В конце концов, гипотеза была обобщена на n-мерные многообразия — любое n-мерное многообразие, в достаточной степени похожее на n-мерную сферу, должно быть гомеоморфно Sⁿ. Может показаться, что это обобщение до нелепости амбициозно. Как можно доказать его для n = 100, если мы даже для n = 3 не можем этого сделать? Если я лежа не могу выжать 80 килограммов, то с чего я вообразил, будто смогу поднять 225? Но, как ни странно это звучит, для больших n гипотеза проще! Часто бывает, что топология в пространствах малой размерности сложнее, чем в случае большой размерности. Грубо говоря, чем больше измерений, тем больше свободы двигать предметы, избегая столкновений.

Горячий молодой тополог Стивен Смейл (родился в 1930 г.) из Калифорнийского университета в Беркли дал первое доказательство обобщенной гипотезы Пуанкаре. В 1960 году он подтвердил гипотезу для важного класса гладких многообразий размерности n ≥ 5²¹⁹.

Смейл — колоритная личность. Он открыто выступал против войны во Вьетнаме и является страстным поборником свободы слова. Его протесты, в т. ч. критика американской внешней политики во время посещения Москвы, стали причиной судебного иска со стороны Комиссии по расследованию антиамериканской деятельности. Позже он оказался в затруднительном положении во время шестимесячного пребывания в Бразилии, оплаченного Национальным научным фондом. Советник президента Джонсона по науке писал: «Эта беспечность заставляет математиков всерьез считать, что обычный налогоплательщик должен верить, будто за создание математики на пляжах Рио-де-Жанейро следует платить из общественных фондов»²²⁰.

Поводом для этого высказывания послужили ставшие знаменитыми слова Смейла: «Самая лучшая моя работа была проделана на пляжах Рио-де-Жанейро»²²¹. Находясь в Бразилии, Смейл не только доказал многомерную гипотезу Пуанкаре, но и открыл подкову Смейла, пример хаотической динамической системы.

Не прошло и двух лет, как результат Смейла для n ≥ 5 был обобщен на многообразия без предположения гладкости²²². Казалось, что победа не за горами. Но тут прогресс застопорился. Случай n = 4 пал только в 1982 году — его доказал тридцатитрехлетний Майкл Фридман из Калифорнийского университета в Сан-Диего²²³. Затем снова наступила пауза. Каждая новая размерность давалась труднее предыдущих. Оригинальная гипотеза для размерности 3 оставалась неприступной. Появлялись и исчезали все новые неправильные доказательства. Казалось, проблема неразрешима.

В 1998 году Смейл опубликовал список из восемнадцати самых важных нерешенных математических задач²²⁴ (Давид Гильберт сделал то же самое веком раньше). Классическая гипотеза Пуанкаре в этот список вошла.

В тот же год Институт математики Клэя объявил о награде в 1 миллион долларов за решение любой из семи самых трудных, на его взгляд, нерешенных задач в математике. Гипотеза Пуанкаре вошла и в этот элитный список. Для получения награды математик должен представить доказательство теоремы, которое выдержит придирчивую проверку математическим сообществом в течение двух лет после опубликования.

В 1982 году Билл Тёрстон анонсировал план полной классификации геометрии всех трехмерных многообразий. Он предположил, что любое трехмерное многообразие можно разрезать на области, каждое из которых будет обладать одной из восьми геометрических структур²²⁵. Это предположение получило название «гипотеза геометризации Тёрстона». С помощью этих восьми стандартных элементов можно было бы понять геометрию и топологию любого трехмерного многообразия. В частности, отсюда следовало бы, что единственным односвязным замкнутым трехмерным многообразием является трехмерная сфера. Это доказывало бы гипотезу Пуанкаре.

В том же году Ричард Гамильтон, математик из Корнеллского университета, приступил к реализации программы, которая, по его мнению, должна была доказать гипотезу геометризации Тёрстона²²⁶. Он хотел взять произвольное трехмерное многообразие и, надувая его, как воздушный шарик, непрерывно деформировать в форму, которая, как он надеялся, будет точно отвечать модели Тёрстона. На пути к этой цели он добился значительного прогресса. Большинство специалистов полагало, что его техника должна сработать, но ни Гамильтон, ни кто-либо еще не смогли избавиться или еще как-то решить проблему сингулярностей — участков многообразия, которые не только не становились лучше при надувании, но даже превращались в нечто худшее.

В 2002 году скромный российский математик Григорий Перельман (Гриша) (родился в 1966 г.) из Математического института им. Стеклова поразил математическое сообщество, опубликовав в интернете первую из трех коротких, но чрезвычайно насыщенных статей. В этих статьях общим объемом всего 68 страниц автор утверждал, что довел до конца исследовательскую программу Гамильтона, которой исполнилось уже двадцать лет²²⁷. В них показано, что некоторые сингулярности вообще никогда не возникают, а другие при должной аккуратности можно устранить. В совокупности статьи содержали доказательство гипотезы геометризации и, как следствие, классической гипотезы Пуанкаре.

Математическое сообщество было настроено скептически — такие заявления звучали и раньше, а в статьях было очень мало деталей, — но и с осторожным оптимизмом. Перельман был уважаемым математиком и следовал широко признанному плану Гамильтона.

В рассуждениях Перельмана многое осталось недосказанным. Даже лучшие специалисты по геометрии и топологии испытывали трудности при проверке правильности доказательства. Три независимые группы математиков под микроскопом изучили его аргументы, восполнив недостающие детали²²⁸. Средняя длина анализа составила свыше трехсот страниц. Никаких серьезных ошибок не было найдено.

К концу 2006 года сложилось общее мнение, что доказательство Перельмана правильно. В тот год журнал «Science» назвал доказательство Перельмана «прорывом года»²²⁹. Как Смейл и Фридман до него, сорокалетний Перельман был номинирован на филдсовскую премию за вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре (Тёрстон тоже получил филдсовскую премию за работу, которая косвенно привела к окончательному доказательству). Начался обратный отсчет времени в гонке за приз в миллион долларов (некоторые полагают, что награду вручат Перельману и Гамильтону вместе).

Возможно, покорена одна из высочайших математических вершин, подобная великой теореме Ферма, доказанной десятью годами ранее. Флаг водружен. Кто-то, возможно, посчитает, что это достижение звучит как похоронный звон по целой отрасли математики. Разумеется, это не так. С этой вершины математикам открывается ошеломляющее зрелище еще неизведанных пиков, ждущих своих покорителей. Как и в случае великой теоремы Ферма, не так важен сам результат, как огромный пласт математических методов, созданных в попытках доказать его.

Великая математика порождает еще более великую. Решение Эйлером задачи о кёнигсбергских мостах и данное им доказательство формулы для многогранников положило начало целой череде открытий во многих областях красивейшей математики и привело к созданию топологии. Гипотеза Пуанкаре — лишь одна из остановок в этом волнующем путешествии. Топология по-прежнему живее всех живых и активно развивается.

У этой удивительной истории странное и печальное послесловие, связанное с тем, какое влияние оказало доказательство на жизнь Перельмана. Начиналось все хорошо. В апреле 2003 года он отправился в краткий тур с целью разъяснения своей работы. На его лекциях присутствовали Эндрю Уайлс, Джон Форбс Нэш младший (герой голливудского фильма-биографии «Игры разума»), Джон Конвей и другие хорошо известные математики. Но после возвращения в Россию придирчивость математического сообщества и поползновения других математиков, желавших примазаться к его успеху, начали испытывать его терпение²³⁰.

Перельман, который и раньше вел затворнический образ жизни, стал еще более замкнутым. Он хотел, чтобы его работа говорила сама за себя, и не желал принимать участия в процессе проверки. В конце концов, разочарование математическим сообществом окончательно возобладало, он уволился из академического института, перестал отвечать на письма и, судя по всему, полностью порвал с математикой. Беспрецедентным поступком, шокировавшим все научное сообщество, стал его отказ принять филдсовскую премию.

В конце лета 2006 года безработный Перельман жил вместе с матерью на ее нищенскую пенсию в маленькой квартирке в Санкт-Петербурге. Когда его спросили, примет ли он денежную сумму от Института математики Клэя, он ответил: «Я не буду решать, принять ли награду, до тех пор пока ее не предложат»²³¹.

Многих шокировало то, что Перельман отказался от филдсовской премии и, возможно, откажется от денежной награды. Но для него самого решение задачи стало высшей наградой, а слава и деньги были не столь существенны. Он сказал: «если доказательство правильно, то никакого признания не нужно»²³². Любой ученый поймет чистую любовь Перельмана к предмету своих исследований и глубочайшее удовлетворение от прорывного открытия. Невозможно вообразить, что из-за повышенного внимания к личности потускнеет блеск самого достижения.

Конечно, такая же неподдельная любовь к математике заставляла Пифагора, Кеплера, Эйлера, Римана, Гаусса, Пуанкаре и других проводить бессчетные часы в погоне за совершенной теоремой и безупречным доказательством. Мы можем только догадываться о восторге Перельмана, осознавшего, что он доказал гипотезу Пуанкаре, или о бурной радости Эйлера, увидевшего, что V — E + F = 2.

Как красноречиво писал Пуанкаре: «Ученый изучает природу не потому, что полезно; он изучает ее, потому что это доставляет ему удовольствие, потому что она прекрасна. Если бы природа не была прекрасной, она не стоила бы того труда, который тратится на ее познание, и жизнь не стоила бы того труда, чтобы ее прожить»²³³.