Жемчужина Эйлера

Глава 4 Пифагорейское братство и атомистическая теория Платона

Ранняя история греческой математики настолько изобилует апокрифами, спекуляциями, противоречивыми свидетельствами, рассказами из вторых рук и в достаточной мере поддающимися проверке фактами, что сама по себе является удивительной загадкой. Существует очень мало дошедших до нас трудов греческих математиков, и скудость информации сильно затрудняет реконструкцию исторической истины. Оригинальные источники были доступны в течение нескольких веков после их создания, но почти все оказались уничтожены или утеряны в Средние века. Многое из того, что мы знаем, взято не из первичных, а из вторичных источников, написанных сотни лет спустя.

Мало что можно уверенно сказать о Пифагоре (ок. 560–480 до н. э.) и группе его последователей, пифагорейцев. Как писал философ У. Бэркерт, «так и хочется сказать, что нет ни одной непротиворечивой детали, касающейся жизни Пифагора»³⁰. Мы полагаем, что пифагорейцы первыми стали изучать правильные тела. Считается, что Пифагор знал о кубе и тетраэдре, но ученые уже давно спорят о том, были ли ему также известны икосаэдр и октаэдр. Одному из его последователей приписывают честь открытия додекаэдра, и, как мы увидим, это открытие, возможно, стало причиной его смерти.

Пифагор родился на греческом острове Самос, расположенном в Эгейском море. Согласно некоторым сведениям, в молодости он совершил путешествие в Египет и Вавилон, где изучал математику и религию. Впоследствии он поселился в греческом городе Кротон, ныне это юг Италии.

Рис. 4.1. Пифагор глазами художника

Сейчас Пифагор ассоциируется со знаменитой геометрической теоремой, носящей его имя[3], но в свое время он был известен как мистик и пророк. В Кротоне он стал духовным лидером тайного общества, основанного на философской религии. То было время, когда религия играла важную роль во многих культурах (Пифагор был современником Конфуция, Будды и Лао-цзы). Пифагорейское братство успешно просуществовало в Италии почти двести лет после смерти основателя, а его доктрины продолжали изучать вплоть до VI века н. э. Со временем легенда о божественной сущности Пифагора была подкреплена рассказами о совершенных им чудесах.

Пифагорейское братство во многих отношениях отличалось от других культов того времени. Членов отбирали очень тщательно — они проходили обряды инициации и ритуального очищения и давали клятву хранить тайну. Их жизнь подчинялась строгим, иногда странным правилам. По преданию, они были вегетарианцами, но не могли есть бобы, запрещено было помешивать огонь ножом, нельзя было носить кольца, требовалось касаться земли во время грозы.

Пифагорейцы верили в переселение душ — что души умерших вселяются в животных и проходят бесконечный цикл реинкарнации, то повышаясь в ранге до человека, то опускаясь до животного. единственный способ вырваться из этого цикла — очищение тела и разума. Как и во многих культах, очищение тела достигалось скромной жизнью, трезвостью и самоограничением.

Отличительной особенностью пифагорейцев были средства очищения разума. Чистота достигалась не медитацией, а изучением математики и наук. Провозглашалось, что окончательное воссоединение с божеством воспоследует из постижения порядка Вселенной, а ключом к постижению Вселенной является постижение математики. Пифагор говорил: «Красота — в познании совершенства чисел души»³¹. Эта вера очень лаконично выражена в девизе Пифагора «всё есть число».

Пифагорейцы верили, что Бог упорядочил Вселенную с помощью чисел и что любое число можно выразить в виде отношения двух целых чисел (любое число можно записать в виде дроби). Если использовать современную терминологию, то пифагорейцы верили, что все числа рациональные.

Музыка и астрономия тоже играли важную роль у пифагорейцев. Они открыли, что музыкальные интервалы можно выразить в виде отношений, и сделали вывод, что самые гармоничные звуки получаются из самых красивых комбинаций чисел. Они полагали, что музыкальными отношениями можно объяснить астрономические явления, например расстояния между планетами, порядок планет и периоды их обращения. А также что движение семи известных планет (в число которых включали Землю, Луну и Солнце), подобно колебаниям семи струн, создает гармонию. Некоторые говорили, что Пифагор слышал эту «музыку сфер».

Пифагорейцы вели общинный образ жизни: они вместе ели, выполняли физические упражнения и занимались науками. Такой образ жизни в сочетании с традицией устной передачи знаний, окружавшей их тайной и обожанием Пифагора не позволяет сказать, какой вклад в математику внесли конкретные пифагорейцы. Поскольку математика считалась частью их религии, а Пифагор был духовным лидером, все математические результаты, полученные его последователями, были «словом мастера» и приписывались ему.

По преданию, один из пифагорейцев, Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), нарушил традицию анонимности, за что был сурово наказан. По одной легенде, его утопили в море, а по другой он был изгнан из братства пифагорейцев и ему был воздвигнут надгробный камень как символ отвержения. По поводу того, чем именно Гиппас заслужил столь суровую кару, тоже есть две легенды (возможно, обе истинны).

По одной легенде, Гиппас открыл додекаэдр и показал, как вписать его в сферу, но не упомянул при этом Пифагора. Это открытие, вероятно, имело особое значение для пифагорейцев, потому что гранями додекаэдра являются пятиугольники. Они выбрали пентаграмму, или пятиугольную звезду (рис. 4.2), которая у греков символизировала здоровье, в качестве особого символа, отличавшего членов братства. Пентаграмма строится путем соединения вершин правильного пятиугольника, при этом внутри него образуется меньший правильный пятиугольник.

По второй легенде, Гиппас доказал, что не всякое число рационально, но не сохранил это открытие в тайне. Историки расходятся в вопросе о том, какое именно иррациональное число открыл Гиппас. Это могло быть √2, т. е. длина диагонали квадрата со стороной единичной длины, или (√5 + 1)/2, которое часто называют золотым сечением, или просто обозначают буквой ϕ. Открытие Гиппасом иррациональности золотого сечения — заманчивая теория, потому что ϕ равно длине стороны пентаграммы, вписанной в пятиугольник со стороной единичной длины (рис. 4.3). Тот факт, что все числа рациональны, — один из столпов пифагорейской системы верований. Существование иррационального числа подрывало основы. Легко представить себе, сколь силен был гнев, обращенный против Гиппаса. По иронии судьбы, именно доказательство существования иррациональных чисел стало одним из самых значительных и долговечных вкладов пифагорейцев в математику.

Рис. 4.2. Пентаграмма, символ пифагорейской школы, вписанная в правильный пятиугольник

Рис. 4.3. Диагонали иррациональной длины, √2 и ϕ = (√5 + 1)/2

Вне зависимости от того, Гиппас ли открыл додекаэдр или кто-то из его собратьев, пифагорейцы, похоже, знали по меньшей мере о трех правильных телах: тетраэдре, кубе и додекаэдре. Не ясно, было ли им известно об октаэдре и икосаэдре, или честь открытия этих многогранников принадлежит Теэтету Афинскому (ок. 417–369 до н. э.). Даже ранние свидетельства противоречивы. Прокл (410–485), ученый, живший в V веке, утверждает, что пифагорейцы знали об октаэдре и икосаэдре, тогда как в недатированной схолии «Начал» Евклида мы читаем, что «три из упомянутых выше пяти тел, а именно куб, пирамида и додекаэдр, открыты пифагорейцами, а октаэдр и икосаэдр — Теэтетом»³². В наши дни многие ученые поддерживают теорию Уильяма Уотерхауса о более позднем открытии октаэдра, что, по всей видимости, исключает пифагорейцев из числа потенциальных авторов.

Теэтет не так широко известен, как другие греческие математики, но он, безусловно, является героем нашей истории. Почти наверняка он доказал, что существует пять и только пять правильных многогранников. Большая часть сведений о Теэтете известна нам из сочинений его друга, влиятельного философа и учителя, Платона (427–347 до н. э.). Платон написал два диалога с участием Теэтета: «Софист» и «Теэтет».

Рис. 4.4. Платон глазами художника

Теэтет родился во время Пелопонесских войн. Он геройски погиб в битве 369 года до н. э. между Афинами и Коринфом. Математику он изучал под руководством Феодора (465–398 до н. э.) и по любым меркам был весьма одаренным математиком. Платон ставит Теэтета на одну из высших ступеней, отдавая первенство лишь своему учителю Сократу (470–399 до н. э.). В диалоге «Теэтет» Феодор говорит о юном Теэтете: «Этот же подходит к учению и любому исследованию легко, плавно и верно, так спокойно, словно бесшумно вытекающее масло, — и я удивляюсь, как в таком возрасте можно этого достичь»³³.

В то время открытие иррациональных чисел было еще довольно свежим событием, а об их свойствах было известно немногое. Теэтет внес важный вклад в классификацию и организацию иррациональных чисел. Позже эта классификация составит большую часть десятой книги «Начал» Евклида.

Несмотря на споры о том, кто был первооткрывателем пяти правильных тел, нет почти никаких сомнений в том, что именно Теэтет первым подверг их всестороннему и строгому изучению. Благодаря Теэтету были выполнены все три этапа разработки теории, которые мы обсуждали в главе 3. Во-первых, все пять тел были известны, и Теэтет смог построить их геометрически. Во-вторых, он осознал общую черту всех пяти тел — их правильность. И наконец, он доказал, что эти тела — единственные правильные многогранники. Доказательства и построения Теэтета приведены в XIII книге евклидовых «Начал». Вообще, многие историки полагают, что вся математика в книгах X и XIII «Начал» — результат работ Теэтета.

В наши дни Платон больше известен как философ и писатель, но одним из его важнейших вкладов в науку стало создание школы, Академии. Академия открылась в пригороде Афин приблизительно в 288 году до н. э. через десять лет после казни Сократа. ее целью стала подготовка молодых людей к общественной жизни путем изучения наук и в особенности математики. Платон верил, что, изучая математику, мы учимся отделять свой разум от чувств и пристрастий. Академия существовала свыше 900 лет. Ее основание было названо «в некоторых отношениях самым памятным событием в истории западноевропейской науки»³⁴.

О математических достижениях Платона ничего неизвестно, но он сыграл важную роль в популяризации этого предмета. Он был влюблен в математику и ставил математиков очень высоко. Математика была основой учебного курса в Академии. Это с очевидностью следует из надписи над входом в нее: «Негеометр да не войдет». Поскольку многие математики обучались и воспитывались в Академии, Платона называют не делателем математики, а «делателем математиков»³⁵.

Будучи главой Академии, Платон поручал конкретное преподавание другим людям. Одним из них был Теэтет, и есть предположение, что он преподавал в Академии на протяжении пятнадцати лет³⁶.

Именно от Теэтета Платон узнал о пяти правильных телах. Платон оценил их важность для математики и красоту. Как и многие более поздние мыслители, он полагал, что у такой великолепной совокупности пяти объектов должно быть некое космическое значение. Платон был знаком с представлением о Вселенной, выдвинутым Эмпедоклом (ок. 492–432 до н. э.), который утверждал, что вся материя создана из четырех первичных элементов: земли, воздуха, огня и воды. Эти четыре элемента играют важную роль в диалоге Платона «Тимей» — рассказе о вымышленном споре между Сократом, Гермократом, Критием и Тимеем. В длинном монологе пифагорейца Тимея Локрийского Платон изложил хорошо проработанную атомистическую модель, в которой каждый из четырех элементов, которые Платон называл телами, или корпускулами, ассоциируется с одним из правильных многогранников:

Из этих положений Тимей делает вывод, что огню соответствует тетраэдр, воздуху — октаэдр, а воде — икосаэдр. Пятому правильному телу, додекаэдру, не может соответствовать ни один элемент. Тимей заключает, что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»³⁷.

Далее Тимей описывает взаимодействия элементов. Взаимодействия основаны на разрезании и раздроблении: более острые элементы склонны к разрезанию, а менее острые — к раздроблению. Мы описали бы это как химические реакции между огнем, воздухом и водой (но не землей, потому что у нее квадратные грани). Элементы разрушаются, и треугольные грани изменяют форму, создавая другие элементы. Например, один элемент воды (состоящий из 20 равносторонних треугольников) можно разложить на части и образовать из них три элемента огня (3 4 = 12 треугольников) и один элемент воздуха (8 треугольников). Тимей замечает, что наличие разных видов материи можно объяснить неодинаковостью размеров элементов. Он также не оставляет без внимания явление фазового перехода: плавление и отвердевание. Например, он говорит, что металл — это плавкая вода (в отличие от жидкой воды), составленная из крупных и однородных икосаэдров, благодаря которым она кажется твердой. В результате вторжения острых тетраэдров икосаэдры разделяются, металл расплавляется и приобретает способность течь, как жидкость.

Веру в то, что земля, воздух, огонь и вода — четыре первичных элемента, принял и развил Аристотель (384–322 до н. э.), ученик Платона. Именно Аристотель уравнял пятый элемент с эфиром, или квинтэссенцией, и утверждал, что это тот материал, из которого сделаны небесные тела.

Древнегреческая атомистическая модель оказалась настолько влиятельной, что оставалась общепринятой до рождения современной химии спустя два тысячелетия. Только после того как ирландский ученый Роберт Бойль (1627–1691) опубликовал в 1661 году книгу «Скептический химик», эта модель начала трещать по швам.

Теперь греческая теория химии осталась далеким воспоминанием, но ее наследие все еще с нами. Мы все еще говорим о «exposed to the elements»[4], когда выходим на улицу, где дует ветер (воздух) или идет дождь (вода). Первичные элементы явно и неявно встречаются во многих литературных произведениях, предметах искусства, мистических верованиях, играх в стиле фэнтези и т. д. Некоторые даже заходят настолько далеко, что сопоставляют с элементами добившиеся успеха четверки людей (огонь: Джон Леннон, вода: Пол Маккартни, воздух: Джордж Харрисон, земля: Ринго Стар). Со времен платоновой интерпретации правильных тел в «Тимее» пять правильных многогранников называются платоновыми телами.

Приложения к главе

29. Simmons (1992), 20.

30. Burkert (1972), 109.

31. Quoted in van der Waerden (1954), 94.

32. Quoted in Euclid (1926) vol. 3, 438.

33. Quoted in van der Waerden (1954), 165.

34. Taylor (1929), 5.

35. Boyer and Merzbach (1991), 84.

36. Allan (1975).

37. Plato (2000), 46.