Жемчужина Эйлера

Глава 22 Путешествие в n измерениях

До сих пор все наши топологические объекты были кривыми или поверхностями — локально одномерными или двумерными объектами, расположенными в 2-, 3- или 4-мерном пространстве. Поверхности опологическим обобщением многогранника, а формула Эйлера для многогранников была элегантно обобщена на эйлерову характеристику поверхностей. Теперь естественно спросить, что можно сказать о многомерных топологических фигурах. Что это такое и существует ли для них понятие эйлеровой характеристики?

В главе 23 мы увидим, что Пуанкаре определил эйлерову характеристику в многомерных топологических пространствах и доказал, что это топологический инвариант. Но прежде чем обсуждать результаты Пуанкаре, следует поговорить о понятии размерности и некоторых ранних попытках обобщить эйлерову характеристику.

Все мы знакомы с 0-, 1-, 2- и 3-мерным пространством. В трехмерном пространстве мы живем. Деревья, дома, люди, собаки — все это трехмерные объекты. В трехмерном пространстве встречаются двумерные объекты, например классная доска, лист бумаги или телеэкран. Струна, гимнастическое бревно, телефонный шнур — одномерные объекты. Точка в конце предложения нульмерна.

Принято ассоциировать размерность с геометрическими фигурами: точками, прямыми и плоскостями. Но, как мы видели в предыдущих главах, нам необходимо определение размерности, не столь жесткое, как в геометрии. Перспективнее говорить о размерности в терминах степеней свободы: размерность — это число независимых направлений, в которых может перемещаться объект.

Рассмотрим стаю птиц на рис. 22.1. У каждой птицы имеются ограничения на перемещение — у них разное число степеней свободы. Птица, сидящая на телеграфном столбе, вообще никуда не может лететь. Она находится в нульмерном пространстве. Птица на проводе может двигаться вбок. У нее одна степень свободы, т. е. она обитает в 1-мерном пространстве. Птица, находящаяся на земле, живет в 2-мерном пространстве, а летящая птица — в 3-мерном. Заметим, что ни слова не было сказано о прямых и плоскостях, только о степенях свободы. Провисший провод, безусловно, не является прямой линией, а на земле есть ухабы и колдобины.

Рис. 22.1. Птицы в 0-, 1-, 2- и 3-мерном пространстве

Поскольку мы живем в 3-мерном мире, нам легко воспринять идею размерности 0, 1, 2 и 3. Четыре и более измерений выходят за пределы нашего чувственного опыта. Изучая скрещенные колпаки, бутылку Клейна и проективную плоскость, мы осознали необходимость четвертого измерения. И хотя вообразить переход в четвертое измерение нелегко, представить сами эти 4-мерные поверхности не составляет особого труда, ведь они по большей части трехмерные. Топологические объекты, которые требуют большего, чем короткий «объезд» через четвертое измерение, — совсем другая история.

Часто доводится слышать, что четвертое измерение — это время. Такая точка зрения была введена в обиход Жозефом-Луи Лагранжем примерно в 1788 году¹⁹⁶. Время — величина, с которой мы все знакомы, и она могла бы помочь воспринять 4-мерное пространство. Но тут есть один подвох. Нельзя игнорировать «стрелу времени». У трех знакомых нам физических измерений нет направления. Частицы могут двигаться взад-вперед по прямой, не нарушая законов физики. Однако та же самая частица не может двигаться назад во времени. По сравнению с тремя другими измерениями у времени определенно есть принципиальное отличие. В общем случае мы не хотим, чтобы наше четвертое измерение обладало таким ограничительным свойством.

На практике многомерные пространства возникают естественно. Для расчета движения космического челнока нужно шесть измерений — три для определения положения в пространстве и три для скорости. Чтобы задать положения и скорости Солнца, Земли и Луны, нужно восемнадцать измерений. Экономисты при построении финансовой модели, экологи при изучении популяций и физики в квантовой теории оперируют очень большим количеством переменных (каждая из которых является измерением). С математической точки зрения, измерений может быть сколько угодно.

Каким бы ни был источник многомерного пространства, в нашем обсуждении предполагается, что все измерения физические, не отличающиеся от привычных трех измерений. Мы не утверждаем, что существует больше трех физических измерений. Может, да, а может, и нет (физики, занимающиеся теорией струн, считают, что измерений по меньшей мере десять). С точки зрения математики, это несущественно.

n-мерное евклидово пространство обозначается ℝⁿ. ℝ¹ — множество вещественных чисел — та самая числовая прямая, которую мы изучали в школе. Каждую точку на прямой можно представить одним значением x. ℝ² — бесконечная плоскость. На ней определены координатные оси x и y, с помощью которых можно представить любую точку упорядоченной парой (x, y). Трехмерное евклидово пространство обозначается ℝ³, каждая точка в нем представляется упорядоченной тройкой (x, y, z). Чисто математически обобщить эти понятия на n-мерное евклидово пространство тривиально. Каждую точку в ℝⁿ можно единственным способом описать упорядоченным кортежем длины n — (x₁, x₂…, x_n). Мы можем работать с такими многомерными пространствами вне зависимости от того, существуют они физически или нет.

Мы много времени посвятили изучению поверхностей. При описании поверхностей мы считали, что они локально двумерные. Муравей, обитающий на поверхности, имеет две степени свободы. Ту же идею можно обобщить на многомерные пространства. n-мерным многообразием называется топологический объект, который локально выглядит как n-мерное евклидово пространство. У обитателей такого многообразия имеется n степеней свободы. Как и поверхности, многообразия характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Они могут иметь дырки и другие нетривиальные топологические особенности. Но вне зависимости от глобальных характеристик вблизи все n-мерные многообразия похожи на ℝⁿ.

Подобно поверхностям, n-мерные многообразия могут быть ориентируемыми и неориентируемыми. Самый простой способ проверки на ориентируемость дает критерий Дика (глава 16). Пусть имеется два одинаковых набора осей координат на неориентируемом n-мерном многообразии. Тогда можно переместить один набор осей вдоль многообразия таким образом, что когда он вернется в исходную точку, все оси не удастся совместить. Например, в случае 3-мерного многообразия, если совместить оси x и y, оси z будут направлены в разные стороны (см. рис. 22.2).

Рис. 22.2. Оси координат на неориентируемом 3-мерном многообразии

Многообразия любой размерности могут иметь края, и край n-мерного многообразия является многообразием на единицу меньшей размерности. Край 1-мерного многообразия — 0-мерное многообразие (две точки), край 2-мерного многообразия (поверхности) — 1-мерное многообразие (одна или несколько окружностей), а край 3-мерного многообразия (тела) — поверхность. Например, краем сплошного тора является обычный (полый) тор. Краем сплошного шара является сфера, и вообще n-мерный шар Вⁿявляется n-мерным многообразием, а его краем — (n — 1) — мерная сфера S^n-1 (определения Sⁿ и Вⁿ см. в главе 19.)

История многообразий восходит к Риману и его изучению многозначных комплексных функций и ассоциированных с ними римановых поверхностей. Но только на рубеже XX столетия Пуанкаре показал, что многообразие — важный объект исследования и предложил несколько способов его описания. Пожалуй, простейший из них — выразить многообразие в виде подмножества ℝⁿ с помощью одного или нескольких уравнений. Например, уравнение х² + у² +z² = 1 определяет сферу, а (3- √ X² + у²)² + z² = 1 — тор. Оба многообразия находятся в R³.

Иногда Пуанкаре представлял многообразие n-мерным многогранником, который называл симплициальным комплексом. В симплициальном комплексе обобщением вершины, ребра и грани является симплекс. Можно предполагать, что все симплексы — это треугольники или многомерные аналоги треугольников. На рис. 22.3 показано, что k-симплекс — это k-мерная фигура, определяемая k + 1 точками. 0-симплекс — это точка, 1-симплекс — отрезок прямой, 2-симплекс — треугольник, 3-симплекс — треугольная пирамида и т. д. Предполагается, что два соседних симплициальных комплекса граничат по симплексу меньшей размерности. (Заметим, что как многогранники Гесселя [глава 15] не были поверхностями, так не каждый симплициальный комплекс является многообразием.)

Рис. 22.3. 0-, 1-, 2- и 3-симплексы

Пуанкаре предложил еще один способ описания многообразий — обобщение построения поверхностей Клейном. Как Клейн строил поверхности, склеивая стороны многоугольников, так Пуанкаре создавал n-мерные многообразия, склеивая грани n-мерных многогранников. Чтобы получить тор, нужно склеить противоположные грани квадрата без перекручивания. Аналогично, чтобы построить 3-мерный тор, нужно попарно склеить противоположные грани куба без перекручивания (см. рис. 22.4). 3-мерный тор — пример замкнутого ориентируемого 3-мерного многообразия.

Рис. 22.4. После склеивания соответственных граней получается тор

В абстрактном определении многообразия не говорится, где это многообразие «живет». Мы смогли определить бутылку Клейна и понять ее свойства, не зная, что она не может существовать в ℝ³. Спрашивается: если дано n-мерное многообразие общего вида, всегда ли можно поместить его в евклидово пространство ℝ^m, так чтобы избежать самопересечений? Если да, то насколько большим должно быть m? Хасслер Уитни доказал, что любое n-мерное многообразие можно разместить в некотором евклидовом пространстве размерности не больше 2n. Этот результат называется теоремой Уитни о вложении.

В главе 17 мы рассматривали теорему классификации для поверхностей. Каждая поверхность является либо сферой с ручками, либо сферой со скрещенными колпаками. Имеет смысл задаться вопросом, можно ли классифицировать n-мерные многообразия для n > 2. Оказывается, что это очень трудная задача. В главе 17 мы утверждали, что размерность n-мерного многообразия — топологический инвариант, т. е. 5-мерное многообразие не может быть гомеоморфно 7-мерному. Даже этот результат обосновать было нелегко. Только в 1911 году Брауэр доказал теорему об инвариантности размерности¹⁹⁷, которая утверждает, что ℝⁿ” негомеоморфно ℝ^m при m ≠ n. Позже мы обсудим одну из самых знаменитых задач классификации, за решение которой была назначена награда в миллион долларов.

Важность задач классификации не следует недооценивать. Один из главных открытых вопросов — какова форма Вселенной? Всем, кроме специалистов по теории струн, представляется, что мы живем в трехмерной Вселенной — гигантском 3-мерном многообразии (предположительно без края!). Каковы свойства этого многообразия? Конечен ли его диаметр, или оно простирается бесконечно? Верно ли, что оно топологически эквивалентно ℝ³, или же оно имеет нетривиальные топологические свойства? И еще более странный вопрос — ориентируемо ли оно? Может ли случиться, что космонавт-правша улетит далеко от Земли и вернется левшой?

Теперь, когда мы ввели понятие многообразия для любой размерности, естественно возникает вопрос, применима ли к ним формула Эйлера. Для ответа на него нам придется вернуться к многогранникам. Коши первым увидел нечто подобное обобщению формулы Эйлера на более высокие размерности¹⁹⁸. В той же статье, где он доказал формулу Эйлера путем проецирования многогранника на плоскость, был сформулирован и доказан многомерный ее аналог в одном частном случае. Коши доказал, что если пометить вершины, ребра и грани внутрь выпуклого многогранника, разбив его тем самым на S выпуклых многогранников, и обозначить V, E, F соответственно полное число вершин, ребер и граней (включая и внутренние), то

V — E + F — S = 1.

Для иллюстрации теоремы Коши рассмотрим разбиения октаэдра и куба на рис. 22.5. Новая грань внутри октаэдра разбивает его на два многогранника, поэтому S = 2. Имеется 6 вершин, 12 ребер и 9 граней. В полном соответствии с утверждением Коши, 6 — 12 + 9–2 = 1. Аналогично в кубе, разбитом на 3 многогранника, имеется 12 вершин, 22 ребра и 14 граней, и 12–22 + 14 — 3 = 1.

В 1852 году Людвиг Шлефли открыл вариант формулы Эйлера, справедливый для выпуклых многогранников любой размерности, но эта работа была опубликована только в 1901 году, когда его результаты уже были заново открыты другими¹⁹⁹. Пусть P — n-мерный многогранник, имеющий b₀ вершин, b₁ ребер, b₂ граней и вообще b_k граней размерности k. Шлефли представлял себе эти многогранники как полые оболочки, ограниченные (n–1) — мерными гранями, это означает, что b_n = 0. Определим эйлерову характеристику как знакопеременную сумму числа граней разных размерностей: χ(P) = b₀ — b₁ + b₂ —… ± b_n–1. Шлефли заметил, что χ(Р) = 0, когда n нечетно, и χ(P) = 2, когда n четно.

Рис. 22.5. Разбиение октаэдра и куба

Рассмотрим результаты Коши и Шлефли с точки зрения современной топологии. Прежде всего оба ограничивались только выпуклыми многогранниками, не имеющими ни дыр, ни туннелей. Топологически полый п-мерный многогранник Шлефли гомеоморфен (n — 1) — мерной единичной сфере, S^n-1. Таким образом, теорема Шлефли показывает, что χ(Sⁿ) = 0 при нечетном n и χ(Sⁿ) = 2 при четном n. С другой стороны, Коши предполагал, что выпуклый многогранник сплошной, т. е. топологически эквивалентный трехмерному шару B³. Коши доказал, что χ(B³) = 1, а мы теперь знаем, что χ(Bⁿ) = 1 для всех n. Чтобы убедиться в этом, создадим Вⁿ, «заполнив» многогранник Шлефли одной n-мерной гранью. Тогда χ(Bⁿ) = χ(S^n-1) + (–1)ⁿ. Для четных n χ(Bⁿ) = 0 + 1 = 1, а для нечетных n χ(Bⁿ) = 2–1 = 1.

Следующее обобщение на многомерный случай было предложено Листингом. Мы уже несколько раз с ним встречались. Он внес вклад в теорию графов (глава 11), первым из математиков стал изучать узлы (глава 18), открыл ленту Мёбиуса раньше самого Мёбиуса и даже придумал термин «топология» (глава 16). Фактически он первым подошел к формуле Эйлера с чисто топологической точки зрения и стал первым математиком, думавшим как тополог. Можно было бы назвать его одним из гигантов топологии. Но в действительности его мало кто знал во время жизни, да и после смерти он долго оставался незаметной фигурой. Даже теперь в «Словаре научных биографий», восемнадцатитомном собрании кратких биографий наиболее значительных ученых и математиков за всю историю человечества, нет статьи о Листинге.

Рис. 22.6. Иоганн Листинг

Не понятно, почему он так и не занял достойного места в истории. У него прекрасный академический послужной список. Он защитил докторскую диссертацию под руководством Гаусса и оставался в ближнем кругу своего учителя до самой его смерти (Листинг присутствовал на похоронах). В течение восьми лет он жил по соседству с Риманом. (Удивительно, что нет никаких свидетельств совместной работы или даже значимых бесед между ними, хотя у них так много общего. Высказывалось предположение, что Листинг, возможно, опасался заразиться туберкулезом, терзавшим семью Римана²⁰⁰.) Листинг внес важный вклад и в другие области науки, например оптику глаза. Помимо топологии, он ввел в оборот еще несколько терминов, сохранившихся до наших дней, например «микрон» — миллионная доля метра.

Быть может, неизвестностью он обязан личным качествам. Будучи общительным и добрым человеком, он страдал маниакально-депрессивным психозом, постоянно испытывал финансовые затруднения из-за больших долгов, а его жена часто вступала в конфликт с законом. Быть может, из-за своего беспокойного духа он на несколько лет отдалялся от математики и принимал неудачные карьерные решения, а быть может, все объясняется отказом играть в политические игры в академии. Возможно, проблема — в его способе изложение математики. В его работах всегда очень много внимания уделяется деталям, за которыми трудно разглядеть важные и глубокие открытия.

Он написал две монографии по топологии, одну в 1847, другую в 1861 году²⁰¹. Первая, уже упоминавшаяся «Топология», состояла в основном из его размышлений на топологические темы. Вторая, с длинным названием «Der Census räumllcher Complexe oder Verallgemelnerung des Euler'-schen Satzes von den Polyedern» («Исследование пространственных комплексов, или Обобщение теоремы Эйлера на многогранники»), содержала его обобщения формулы Эйлера на невыпуклые трехмерные тела. В 1884 году П. Г. Тэйт сетовал, что труды Листинга по топологии не были извлечены из незаслуженной безвестности и не опубликованы на английском, особенно когда так много работ, по сравнению с ними никчемных или, по крайней мере, не столь полезных, удостоилось этой чести²⁰².

В «Исследовании» Листинг отказался от взгляда на многогранники как на жесткие фигуры, а подверг проблему топологическому рассмотрению. Листинг подсчитывал количество вершин, ребер, граней и (трехмерных) пространственных граней, но допускал, что эти характеристики могут иметь нетривиальную топологию, или (в его терминологии) циклозис. Например, он считал окружность ребром, а сферу гранью, но при подсчете модифицировал итог, принимая во внимание их топологию. цилиндр он считал гранью, но, поскольку тот содержит нетривиальную петлю, вычитал единицу. Таким образом, если A, B, C, D — соответственно число вершин, ребер, граней и пространственных граней, очищенных от циклозиса, то A — B + C — D = 0.

Чтобы дать представление о том, как устроено разбиение Листинга, применим его к сплошному тору — это разбиение показано на рис. 22.7. В нем нет вершин, одно круговое ребро, две грани (в форме цилиндра и в форме диска) и две пространственные грани (внутренность цилиндра и окружающее пространство, которое он тоже учитывал в подсчете). Поскольку в этом разбиении нет вершин, A = 0. Ребро одно, но оно содержит замкнутую петлю, так что B = 1–1 = 0. Грани две, но поскольку цилиндрическая грань содержит замкнутую петлю вдоль окружности, то C уменьшается на единицу. Таким образом, C = 2–1 = 1. Наконец, пространственных грани две, но поскольку внешнее пространство содержит нетривиальную петлю, имеем D = 2–1 = 1. В полном согласии с формулой Листинга: A — B + C — D = 0–0 + 1–1 = 0.

Рис. 22.7. Разбиение сплошного тора

Подход Листинга к задаче был удивительно остроумным и проницательным. Это была первая попытка рассмотреть трехмерную формулу Эйлера с чисто топологической точки зрения. Однако она была далека от совершенства. Уж как минимум способ вычисления A, B, C и D был путаным. Листинг отказался от изящной простоты вершин, ребер и граней Эйлера. Вместо этого мы должны понимать топологию каждого элемента разбиения Листинга.

Следующий крупный вклад в теорию n-мерной топологии был сделан Риманом и итальянским математиком Энрико Бетти (1823–1892). Чтобы понять, в чем он состоял, нам придется вернуться к изучению поверхностей, предпринятому Риманом.

В своей докторской диссертации 1851 года Риман представил топологический инвариант — число дырок в ориентируемой поверхности. Он назвал его числом связности поверхности²⁰³. Поверхность (с краем или без края) имеет число связности n, или является n-связной[15], если n — наибольшее число разрезов, при котором поверхность еще не распадается на части[16]. Если поверхность имеет край, то разрезы должны начинаться и заканчиваться на крае. Если же у поверхности нет края, то первый разрез должен начинаться и заканчиваться в одной и той же точке (после чего у поверхности появится край).

На рис. 22.8 показано три поверхности с краем: цилиндр, диск с тремя дырками и лента Мёбиуса. Пунктирными линиями представлены разрезы. Для цилиндра и диска с дырками число связности равно 1 и 3 соответственно. Работа Римана по числам связности предшествует открытию неориентируемых поверхностей Мёбиусом, но числа связности для неориентируемых поверхностей вычисляются точно таким же образом. В частности, лента Мёбиуса 1-связная.

Рис. 22.8. Разрезы для определения чисел связности различных поверхностей

Простейшей замкнутой поверхностью является сфера. Любой разрез вдоль замкнутой кривой разбивает сферу на две части. Поэтому сфера 0-связная. Если разрезать тор вдоль трубки, то получится цилиндр. После второго разреза параллельно оси цилиндра получится прямоугольник. Следовательно, число связности тора равно 2. Аналогично можно вычислить числа связности других поверхностей. Двойной тор 4-связен, проективная плоскость 1-связна, а бутылка Клейна 2-связна.

Может показаться, что число связности — новый важный топологический инвариант, но на самом деле это замаскированная эйлерова характеристика. Проницательный читатель, наверное, уже подметил связь между числом связности и родом ориентируемой замкнутой поверхности. И Риман тоже обратил на это внимание — число связности в два раза больше рода. Если известна одна из трех величин — род, эйлерова характеристика или число связности, — то можно вычислить и остальные две.

Давайте уточним связь между числом связности и эйлеровой характеристикой. Представим себе, что до фактического разрезания мы нарисовали линии разрезов на n-связной поверхности S. Это дает очень простое разбиение поверхности. Для простоты предположим, что все разрезы начинаются и заканчиваются в одной и той же точке, так что V = 1. После разрезания останется одна грань, так что F = 1. Кроме того, каждая линия разреза является ребром, так что E = n. В результате получаем следующее простое соотношение между числом связности и эйлеровой характеристикой:

χ(S) = 1 — n + 1 = 2 — n.

К концу жизни здоровье Римана начало ухудшаться. Между 1862 годом и смертью, последовавшей в 1866 году, он несколько раз ездил в Италию на лечение. В одну из поездок он навестил своего знакомого Бетти, с которым встречался в Гёттингене в 1858 году. Бетти был профессором в Пизанском университете. Он также преподавал в высшей школе, был членом парламента и сенатором. Он был известным математиком и одаренным преподавателем и сыграл важную роль в возрождении математики в Италии после ее объединения.

Будучи в Италии, Риман беседовал с Бетти о том, как обобщить числа связности на многообразия более высокой размерности. Трудно сказать, кто из них какой вклад внес в теорию. В 1871 году именно Бетти опубликовал эти обобщения, но из писем и заметок видно, что Риман многое знал о них еще в 1852 году.

Идея обобщения заключается в том, чтобы по аналогии с тем, как Риман подсчитывал 1-мерные разрезы поверхности, подсчитать для n-мерного многообразия максимальное число m-мерных многообразий (подчиняющихся некоторым сложным условиям) для каждого m ≤ n. Это даст числа связности b_m для всех m от 0 до n. В этих обозначениях b₁ является римановым числом связности.

Рис. 22.9. Энрико Бетти

Бетти доказал, что b_m — топологические инварианты многообразия. Однако работать с n-мерными многообразиями трудно, и позже выяснилось, что в определениях и рассуждениях Бетти имелись тонкие ошибки. Тем не менее работа Бетти стала исключительно важным шагом на пути к пониманию топологии n-мерных многообразий.

Исправить ошибки Бетти вознамерился Анри Пуанкаре. Он сделал это — и гораздо больше.

Приложения к главе

196. Scholz (1999).

197. Brouwer (1911).

198. Cauchy (1813a).

199. Schlafli (1901).

200. Breitenberger (1999).

201. Listing (1847), Listing (1861–1862).

202. Tait (1884).

203. Riemann (1851).