Жемчужина Эйлера

Глава 7 Жемчужина Эйлера

14 ноября 1750 года газеты должны были бы поместить на первую полосу заголовки «Математик открывает ребро многогранника!».

В тот день Эйлер написал из Берлина письмо своему другу Христиану Гольдбаху, специалисту по теории чисел из Санкт-Петербурга. В предложении, где, на первый взгляд, не было никакой интересной математики, Эйлер описывал «сочленения, по которым соединяются две грани, которые, за неимением общепринятого термина, я буду называть “ребрами”»⁵⁶. В действительности это не слишком содержательное определение было первым важным камнем, заложенным в основание того, что впоследствии стало величественной теорией.

Одним из блестящих дарований Эйлера была способность консолидировать изолированные математические результаты и выстраивать теоретическую конструкцию, в которой для всего было свое место. В 1750 году он вознамерился проделать это с многогранниками. Он приступил к тому, что, как он надеялся, станет исследованием оснований теории многогранников, или, как он называл ее, стереометрии.

К тому времени теории многогранников было уже с лишком две тысячи лет, но она оставалась чисто геометрической. Математики занимались исключительно метрическими свойствами многогранников, т. е. такими, которые можно было измерить. Их интересовало нахождение длин сторон и диагоналей, вычисление площади граней, измерение плоских углов и определение объема.

Первый же шаг Эйлера шел вразрез с этой метрической традицией. Он искал способ сгруппировать, или классифицировать, все многогранники по числу их признаков. Ведь именно так мы классифицируем многоугольники: многоугольники с тремя сторонами называются треугольниками, с четырьмя сторонами — четырехугольниками и т. д.

Очень быстро выясняется, что классифицировать многогранники подобным образом трудно. Очевидного признака — числа граней — недостаточно, чтобы отличить данный многогранник от всех остальных. Как видно по рис. 7.1, многогранники с одинаковым числом граней могут быть совершенно непохожи.

Рис. 7.1. Три различных многогранника с восемью гранями

Первой блестящей идеей Эйлера было то, что поверхность любого многогранника состоит из 0-, 1- и 2-мерных компонент, а именно вершин (или телесных углов, как он их называл), ребер и граней, и что эти признаки можно подсчитать. Именно эти три величины стали стандартными характеристиками всех топологических поверхностей. Эйлер писал:

Невозможно переоценить важность этого осознания. Как ни странно, пока Эйлер не придумал имя, никто явно не упоминал ребра многогранника. Эйлер, писавший по-латыни, употребил слово acies, означающее «ребро». На «вульгарной латыни» acies использовалось для обозначения острой кромки оружия, луча света или армии, построившейся для битвы. Поименование этого очевидного признака может показаться тривиальным делом, но это не так. В этом заключалось осознание того ключевого факта, что одномерное ребро многогранника — существенное понятие.

Для граней многогранника Эйлер использовал устоявшийся термин hedra, который, как мы уже говорили, переводится как «грань» или «основание». Вершины многогранника Эйлер называл angulus solidus, или телесный угол. До того как Эйлер стал писать о многогранниках, телесным углом называлась трехмерная область, ограниченная гранями, сходящимися в одной точке. Телесный угол куба отличается от телесного угла тетраэдра; они различаются геометрией ограничиваемой ими области. Из приведенного выше описания — согласно которому Эйлер ассоциировал телесный угол с точкой — мы видим, что он рассматривал телесные углы как нульмерные сущности. Говоря о телесном угле, он имел в виду его острие, а не трехмерную область, ограниченную его гранями. Это тонкое различие, но понимание того, что телесные углы можно рассматривать как точки, имело большое значение для его теоремы. Тем не менее Эйлер упустил возможность дать им новое название. Вершина многогранника отличается от телесного угла, исходящего из нее. В 1794 году Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) очень ясно высказался по этому поводу:

После того как великий Эйлер сосредоточился на этих трех ключевых признаках — вершинах, ребрах и гранях — и начал выписывать их для различных семейств многогранников, он, вероятно, довольно быстро заметил связь между ними. Можно представить себе удивление Эйлера, когда он открыл, что для любого многогранника имеет место соотношение

V — E + F = 2.

Рис. 7.2. Марка ГДР с изображением Эйлера и его формулы

Конечно же, он был поражен, как этого никто не заметил раньше. Блестящие математики Древней Греции и Возрождения посвятили бесчисленные часы исследованию всех мыслимых аспектов многогранников. Как они могли пройти мимо этого элементарного соотношения?

Простой ответ — легкомысленное замечание, что история математики изобилует очевидными теоремами, которые годами оставались незамеченными. Однако есть и более проницательное соображение — математики прошлого не рассматривали многогранник с этой точки зрения. Предшественников Эйлера интересовали в первую очередь метрические свойства, поэтому они и просмотрели эту фундаментальную взаимозависимость. Им не только не приходило в голову подсчитывать признаки многогранника, они даже не знали, что считать.

Работа Эйлера по формуле для многогранников отмечена тремя важными документами. Первым было уведомление Гольдбаха о ее открытии в 1750 году. Он писал:

Эйлер использовал буквы H, A и S для обозначения числа граней (hedra), ребер (acies) и вершин (angulus solidus). После переименования и переупорядочения членов получаем знакомую формулу:

В это письмо Эйлер включил, без доказательства, еще десять наблюдений, касающихся многогранников. В конце письма он выделил в качестве самых важных приведенную выше формулу для многогранников и еще одну, которую мы обсудим в главе 20. И разочарованно признался, что обе формулы «настолько трудны, что я еще не смог найти им удовлетворительное доказательство»⁶⁰.

В 1750 и 1751 годах Эйлер написал две статьи о своей формуле для многогранников. Из-за задержек в журнальных публикациях они появились в печатном виде только в 1758 году. В первой статье, «Elementa doctrinae solidorum»⁶¹ (Элементы доктрины сплошных тел), он начал изучение стереометрии. На первых тридцати страницах Эйлер делает общие замечания о многогранниках. Затем он приступает к обсуждению связи между числом вершин, ребер и граней. Он доказывает несколько теорем о связи между V, E и F и устанавливает справедливость формулы V — E + F = 2 в нескольких частных случаях. Но доказательства того, что она верна для всех многогранников, он еще не дал. Не видя пока выхода из тупика, он пишет: «Я не смог найти твердого доказательства этой теоремы»⁶².

В следующем году он опубликовал вторую статью «Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita»⁶³(Доказательство некоторых важных свойств тел, ограниченных плоскими гранями). В ней он наконец дал доказательство своей формулы для многогранников. Несмотря на то что формула Эйлера — одна из самых известных в математике, его доказательство практически неизвестно нынешним математикам. Тому есть несколько причин. Как мы увидим, доказательство Эйлера не удовлетворяет современным стандартам строгости. Кроме того, после 1751 года было дано много доказательств формулы Эйлера, более простых и прозрачных, чем найденное самим Эйлером. И тем не менее доказательство Эйлера весьма изобретательно, и в нем не используются метрические свойства многогранников. Первое по-настоящему строгое доказательство дал Лежандр в 1794 году, через сорок лет после Эйлера⁶⁴. В этом удивительном доказательстве, которое мы приведем в главе 10, Лежандр воспользовался геометрическими свойствами сферы.

Доказательство Эйлера стало предтечей современных комбинаторных доказательств. Он воспользовался методом рассечения, чтобы, взяв сложный многогранник, быть может, с большим числом вершин, свести его к более простому путем применения систематической процедуры. Эйлер предлагает удалять вершины многогранника по одной, пока не останется всего четыре, образующие треугольную пирамиду. Следя за числом вершин, ребер и граней на каждом этапе и используя известные свойства треугольной пирамиды, он смог прийти к выводу, что V — E + F = 2 для исходного многогранника.

Прежде чем переходить непосредственно к доказательству Эйлера, рассмотрим пример. Взгляните на декомпозицию куба на рис. 7.3. На каждом этапе мы удаляем одну вершину куба, отрезая от него треугольные пирамиды, и продолжаем это делать, пока не останется одна треугольная пирамида. Поскольку куб — сравнительно простой многогранник, для удаления вершины достаточно отрезать одну пирамиду. Но в общем случае для этого, возможно, придется отрезать несколько пирамид. В табл. 7.1 показано количество вершин, ребер и граней на каждом этапе декомпозиции.

Рис. 7.3. Удаление вершин куба с целью получения тетраэдра

Таблица 7.1. Преобразование куба в тетраэдр путем удаления вершин по одной

Можно было бы рассчитывать, что при уменьшении числа вершин число граней и ребер уменьшается, следуя какой-то предсказуемой закономерности. Но, как показывает таблица, в этой последовательности нет очевидного порядка. В нашем примере число граней сначала увеличивается и только потом начинает уменьшаться — в исходном многограннике было шесть граней, а после отрезания вершин их становится семь, затем снова семь, потом шесть и, наконец, четыре. Этот путь ведет в тупик. Ключом к доказательству Эйлера является проницательное наблюдение, что разность между числом ребер и числом граней уменьшается на единицу после удаления каждой вершины (это видно из последнего столбца таблицы). Как мы увидим, в этом вся соль доказательства Эйлера.

Вначале мы имеем многогранник с V вершинами, E ребрами и F гранями. Наша первая задача — удалить вершину многогранника, чтобы в новом многограннике вершин было меньше, чем в исходном. После этого мы должны посчитать число граней и ребер в получившемся многограннике. Пусть O — вершина, подлежащая удалению, и предположим, что в ней сходится n граней (и, следовательно, n ребер). Эйлер увидел, что O можно удалить, отрезав n — 2 треугольных пирамид с вершиной O. Например, вершина в многограннике на рис. 7.4 образована схождением 5 граней, и для ее удаления нужно отрезать 3 пирамиды.

Рис. 7.4. Удаление вершины O путем отрезания пирамид

Мы хотели знать, сколько граней и ребер в уменьшенном многограннике. На примере куба мы видели, что простого ответа на этот вопрос нет. Необходимо рассмотреть три случая. Сначала рассмотрим самый простой: предположим, что все грани, сходящиеся в O, треугольные. Отрезав O, мы удалим эти n граней, но под n — 2 отрезанными пирамидами обнаружим n — 2 новых треугольных граней. В предположении, что все новые треугольные грани лежат в разных плоскостях, число граней нового многогранника будет равно

F — n + (n — 2) = F — 2,

где F — исходное число граней.

По ходу дела мы удаляем также n ребер, сходящихся в вершине O, но добавляем n — 3 ребра, разделяющих n — 2 новые треугольные грани. Таким образом, число ребер в новом многограннике равно

E — n + (n — 3) = E — 3,

где E — исходное число ребер.

Снова взглянем на рис. 7.4. Мы начали с многогранника, имеющего 11 граней и 20 ребер. После отрезания трех пирамид получился многогранник с 11 — 2 = 9 гранями и 20 — 3 = 17 ребрами.

В приведенном рассуждении мы сделали два предположения о декомпозиции многогранника. Первое — что все грани, сходящиеся в вершине O, треугольные, второе — что новые треугольные грани многогранника не компланарны. Теперь следует рассмотреть, что будет, если одно или оба предположения не выполняются.

Предположим, что одна из граней, сходящихся в O, не треугольная (например, закрашенная грань на рис. 7.5). Тогда при отрезании пирамиды, одна из граней которой лежит в плоскости этой грани, эта грань не убирается из многогранника полностью. Кроме того, добавляется новое ребро там, где эта грань разрезана на две части. Таким образом, число граней и ребер в новом многограннике на единицу больше, чем предполагалось ранее. В этом примере мы начали с многогранника, имеющего 12 граней и 23 ребра. После отрезания пирамид получается многогранник с 12 — 2 + 1 = 11 гранями и 23 — 3 + 1 = 21 ребром. В общем случае, если исходный многогранник имеет s нетреугольных граней, сходящихся в O, то количество граней и ребер будет на s больше, чем ожидалось. Поэтому число граней равно F — 2 + s, а число ребер равно E — 3 + s.

С другой стороны, предположим, что две из новых треугольных граней расположены рядом и лежат в одной плоскости (например, закрашенные грани на рис. 7.6). Тогда они привнесут в результирующий многогранник не две разные грани, а одну четырехугольную грань. Таким образом, получится на одну грань меньше, чем предполагалось. Поскольку между этими гранями нет ребра, ребер тоже будет на одно меньше. В примере на рис. 7.6 мы начали с многогранника, имеющего 11 граней и 20 ребер. После отрезания пирамид стало 11 — 2–1 = 8 граней и 20 — 3–1 = 16 ребер. если такое происходит t раз, то граней и ребер будет на t меньше, чем ожидалось. Поэтому в результирующем многограннике число граней будет равно F — 2 + s — t, а число ребер — E — 3 + s — t.

Рис. 7.5. Нетреугольная грань привносит одну новую грань и одно новое ребро в новый многогранник

Рис. 7.6. Две компланарные грани уменьшают число граней и ребер на 1

Эти сложные на вид формулы описывают число граней и ребер после удаления одной вершины. Сама мысль о том, чтобы следить за этими числами после удаления нескольких вершин, приводит в ужас. Однако важное наблюдение, сделанное Эйлером, избавляет нас от этой необходимости. если взять разность между числом ребер и граней нового многогранника, то получим

(E — 3 + s — t) — (F — 2 + s — t) = E — F — 1.

Иными словами, разность между числом ребер и числом граней ровно на единицу меньше той, что была до удаления вершины. После удаления n вершин разность между числом ребер и числом граней будет равна E — F — n.

Теперь мы можем закончить доказательство Эйлера. Мы начали с многогранника, имеющего V вершин, E ребер и F граней. Предположим, что мы удаляем вершины по одной, всего n штук, пока не останется четыре вершины. Тогда V — n = 4, или n = V — 4. единственный многогранник с четырьмя вершинами — треугольная пирамида (у которой четыре грани и шесть ребер). Для треугольной пирамиды разность между числом ребер и числом граней равна 6–4 = 2, но из предыдущего обсуждения мы знаем, что она также равна E — F — n. Таким образом, имеем равенства

E — F — n = 2

и

n = V — 4.

Подставляя второе равенство в первое и изменяя порядок членов, получаем V — E + F = 2, что и требовалось доказать.

В самом начале мы сказали, что доказательство Эйлера не вполне строгое и что он упустил из виду некоторые тонкости. На самом деле мы видим, что Эйлер очень внимательно следил за числом граней и ребер при удалении вершины. Однако к процессу удаления вершин он отнесся легкомысленно и не дал детальных инструкций, как следует отрезать пирамиды. Вместо этого он обошелся несколькими расплывчатыми примерами. Эйлер правильно утверждал, что может существовать несколько способов удалить данную вершину путем отрезания пирамид, но не предупредил, что одни способы декомпозиции приемлемы, а других следует избегать. У читателя создается неверное впечатление, что все способы декомпозиции равнозначны. В действительности некоторые ведут к неприятностям.

Первая подстерегающая нас ловушка заключается в том, что в процессе декомпозиции мы можем случайно получить невыпуклый многогранник. Эйлер привел пример, в котором удаляемая вершина O соседствует с четырьмя вершинами A, B, C, D (см. рис. 7.7). Он писал:

Рис. 7.7. Удаление вершины многогранника (слева) может привести как к выпуклому (в центре), так и к невыпуклому (справа) многограннику

Это правда, но если четыре соседние вершины не компланарны, то один из получающихся многогранников обязательно будет выпуклым, а другой — невыпуклым. Для многогранника на рис. 7.7 отрезание пирамид OABD и OBCD приводит к невыпуклому многограннику.

Эйлер ни разу не упомянул о выпуклости в своей статье. Он неявно предполагал, что все многогранники выпуклые. Если внимательно рассмотреть его алгоритм, то мы увидим, что важно, чтобы многогранник оставался выпуклым после отрезания вершины. Возникновение невыпуклого многогранника может привести к неприятности, потому что техника Эйлера неприменима к удалению вершины, находящейся в точке невыпуклости. Но и это еще не самое страшное.

Как указал математик Анри Лебег (1875–1941), мало того что результирующий многогранник может оказаться невыпуклым, он может вообще не быть многогранником⁶⁶! На рис. 7.8 показана вершина, в которой сходятся четыре грани. Один из двух способов ее отрезания работает правильно, тогда как другой приводит к фигуре, которая является не многогранником, а объектом, состоящим из двух многогранников, соединенных по одному ребру. Хуже того, этот немногогранник не удовлетворяет формуле Эйлера (V = 6, E = 11, F = 8, так что V — E + F = 3, а не 2). Похоже, этот пример указывает на серьезный дефект в доказательстве Эйлера. На рис. 7.9 показано, что, применяя метод рассечения Эйлера, мы можем получить и другие вырожденные многогранники. Одна декомпозиция дает два многогранника, соединенных в вершине, другая — несвязный многогранник. И в обоих случаях формула Эйлера не выполняется.

Рис. 7.8. Метод Эйлера, примененный к многограннику слева, может дать вырожденный (в центре) или невырожденный (справа) многогранник

Но, как выясняется, доказательство Эйлера можно спасти. Нужно лишь действовать более аккуратно⁶⁷. Во всех приведенных выше примерах доказательство портил неправильный выбор в процессе декомпозиции, но в каждом случае существовала приемлемая декомпозиция. Можно доказать, что, придерживаясь четкой стратегии, а не делая выбор произвольно, мы всегда сможем удалить вершину так, что результирующий объект гарантированно будет выпуклым многогранником, и тогда доказательство будет спасено. После этих исправлений мы наконец можем утверждать, что формула Эйлера имеет место для всех выпуклых многогранников.

Рис. 7.9. Другие проблемы, свойственные методу Эйлера

С тех пор как Эйлер представил свое доказательство, появилось много других, как правило, более простых. Некоторые из них мы рассмотрим далее в этой книге.

Тонкая проблема выпуклости стала настоящим вызовом для математиков. Последовало несколько десятилетий интересных исследований, поскольку математики хотели точно выяснить, какими свойствами должен обладать многогранник, чтобы для него удовлетворялась формула Эйлера. Мы увидим, что они рассматривали невыпуклые многогранники, многогранники с дырками и другие, еще более патологические примеры. Это направление исследований оказалось чрезвычайно плодотворным.

Много лет потребовалось математикам, чтобы понять важность того, что Эйлеру было очевидно, — что это теорема о размерности и правилах построения математических объектов. Формула Эйлера и ее обобщения стали краеугольным камнем топологии.

Вероятно, Эйлер в полной мере не осознавал важность своей теоремы. Он никогда не возвращался к проблеме классификации многогранников и ничего больше не писал о формуле для многогранников. Он так и не узнал, что это один из самых значительных его вкладов в математику.

Приложения к главе

55. Bell (1987), 16.

56. Juskevic and Winter (1965), 333.

57. Euler (1758b).

58. Legendre (1794).

59. Juskevic and Winter (1965), 333.

60. Там же, 334.

61. Euler (1758b).

62. Там же.

63. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).

64. Legendre (1794).

65. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).

66. Lebesgue (1924).

67. Francese and Richeson (2007); Samelson (1996).