Жемчужина Эйлера

Глава 20 Когда топология управляет геометрией

На протяжении большей части этой книги мы держались в стороне от жестких рамок геометрии и имели дело с куда более подвижной топологической средой. В этой и следующей главах мы вернемся к геометрии. Мы будем изучать многоугольники, многогранники, кривые и поверхности, сделанные не из резины, а из прочнейшей стали. Однако на эти геометрические объекты все равно можно взглянуть с топологической точки зрения — многоугольники и кривые гомеоморфны окружности, а многогранники и поверхности гомеоморфны сфере или тору с g дырками.

Мы представим целый ряд теорем, демонстрирующих удивительную связь между топологией и геометрией этих фигур. Мы увидим, что эйлерова характеристика позволяет предсказывать некоторые их геометрические свойства. Нашей конечной целью станут три теоремы. В этой главе мы познакомимся с формулой Декарта для многогранников и теоремой об угловом избытке для поверхностей, а в следующей рассмотрим теорему Гаусса-Бонне для поверхностей. Они показывают, что некоторые геометрические свойства (связанные с углами и кривизной) полностью определяются топологией (которая описывается эйлеровой характеристикой). Таким образом, мы увидим, как топология может управлять геометрией.

Но прежде чем переходить к этим теоремам для многогранников и поверхностей, познакомимся с аналогичными результатами в одномерном случае. Одномерными аналогами многогранника и поверхности являются многоугольник и простая замкнутая кривая соответственно. Первую теорему проходят на уроках геометрии в средней школе (см. рис. 20.1).

Рис. 20.1. Внешние углы многоугольника

Дьёрдь Пойя (1887–1985) нашел следующее короткое и элегантное доказательство теоремы о сумме внешних углов для выпуклых многоугольников¹⁸⁴. В каждом угле проведем два выступающих наружу отрезка, перпендикулярных сходящимся в этом угле сторонам (рис. 20.2). Построим на этих отрезках сектор единичной окружности при каждой вершине. Заметим, что угол этого сектора в точности равен внешнему углу. Это так, потому что сумма двух прямых углов равна π, поэтому внутренний угол и угол сектора в сумме также должны давать п. Поскольку стороны каждой пары соседних секторов параллельны, из этих секторов можно собрать полный круг. Поэтому сумма внешних углов равна 2 π. Мы опустим доказательство для невыпуклых многоугольников, но оно вытекает из того факта, что любой невыпуклый многоугольник можно разложить на выпуклые.

Рис. 20.2. Сумма внешних углов многоугольника равна 2π

В некотором смысле теорема о сумме внешних углов ничуть не удивительна. Автомобиль, движущийся по дороге в форме многоугольника, будет поворачивать в каждом угле, а величина каждого поворота равна внешнему углу. Чтобы вернуться в исходную точку, автомобиль должен совершить полный оборот на 360°.

Типичному взрослому человеку придется напрячься, чтобы вспомнить формулу корней квадратного уравнения или теорему Пифагора, но есть один математический результат, который сможет отбарабанить практически любой взрослый: сумма внутренних углов треугольников равна 180° (или, как говорят, π радиан). Это простое следствие теоремы о сумме внешних углов. если a, b, c — внутренние углы треугольника, то π — а, π — b и π — c — его внешние углы. По теореме о сумме внешних углов, (π — a) + (π — b) + (π — c) = 2π. После перегруппировки членов получаем a + b + c = π.

Для многоугольников с большим числом сторон сумма внутренних углов больше 180° и зависит от числа сторон. если a₁…, a_n — внутренние углы многоугольника, то по теореме о сумме внешних углов:

2π = (π — а₁) + (π — а₂) +… + (π — a_n).

После перегруппировки членов получаем следующую полезную теорему.

Чтобы упростить переход к формуле Декарта для многогранников, полезно будет взглянуть на внешние углы многоугольников немного по-другому. Будем считать, что вершины многоугольника — это «дефектные» прямые. Тогда можно спросить, насколько ломаная линия отличается от прямой в каждой вершине. Если внутренний угол равен а, то ломаная отличается от прямой на π — a — величину внешнего угла. Встав на такую точку зрения, будем называть π — а угловым недостатком, или угловым дефектом, вершины. Поэтому теорему о сумме внешних углов можно переформулировать следующим образом.

Существует аналог теоремы о сумме внешних углов для гладкого случая. Снова рассмотрим аналогию с автомобилем. Автогонки Гран-при проходят по кольцевой извилистой трассе. Болид, участвующий в гонке «Формула-1», поворачивает то влево, то вправо, но, вернувшись к стартовой черте, делает один полный оборот против часовой стрелки. Иными словами, повороты влево и вправо взаимно уничтожаются, и остается полный оборот на 360°.

Теперь рассмотрим простую замкнутую гладкую кривую на плоскости (трассу автогонки, см. рис. 20.3). Выберем на кривой ориентацию и расположим вдоль нее касательные векторы, указывающие в этом направлении (свет фар автомобиля). Нас интересует поведение этих касательных векторов при прохождении всей кривой один раз. если кривая является окружностью, то после одного полного оборота против часовой стрелки векторы тоже совершат один полный оборот против часовой стрелки — на угол 2π. Полезно представить себе касательный вектор как стрелку циферблата. Когда циферблат огибает окружность, стрелка совершает ровно один оборот против часовой стрелки. Если кривая более сложная, то при перемещении циферблата по кривой стрелка может двигаться как вперед, так и назад, но в конце концов совершит ровно один оборот по циферблату.

Рис. 20.3. Касательный вектор к простой замкнутой кривой совершает оборот на 2π

Это наблюдение может показаться очевидным (и так оно и считалось долгое время), но доказать его трудно. В 1935 году Хопф доказал теорему¹⁸⁵, которая сейчас известна под названием теоремы о вращающихся касательных.

Нетрудно заметить связь между теоремой о сумме внешних углов и теоремой о вращающихся касательных. На самом деле можно сформулировать комбинированную теорему, в которой кривая является гладкой всюду, кроме конечного числа крутых поворотов. Автомобиль, движущийся по извилистой дороге, который иногда вынужден делать крутые повороты, к моменту возврата в исходную точку совершит полный оборот на 360°.

Возвращаясь к исходному утверждению, мы можем спросить, как эти теоремы связывают две математические дисциплины. Они показывают, что топология в некотором смысле управляет геометрией. Тополог не может различить многоугольники и простые замкнутые гладкие кривые. Все они в его глазах являются окружностями. Тополог ничего не говорит об углах, прямолинейности, касательных векторах и т. д. Для геометра все многоугольники и все простые замкнутые гладкие кривые различаются, он описывает объекты в терминах вершин, кривизны и других характеристик. Теорема о сумме внешних углов и теорема о вращающихся касательных говорят, что гомеоморфность окружности полностью определяет одно геометрическое свойство — полный угловой недостаток фигуры. Как бы она ни изгибалась, ее полный угловой недостаток равен 2π.

Теперь мы рассмотрим, как обобщить эти две теоремы и получить формулу Декарта для многогранников и теорему об угловом избытке для поверхностей.

Возьмите квадратный лист бумаги, ножницы и клейкую ленту. Разделите бумагу на четыре квадранта и отрежьте один из них (этот кусочек пригодится в дальнейшем). Затем склейте обе стороны, по которым разрезали, — получится уголок прямоугольной коробки (рис. 20.4).

Рис. 20.4. В вершине куба полный угол равен 3π/2

Мы определили угловой недостаток в вершине многоугольника как величину, на которую ломаная отличается от прямой линии. Аналогично определим угловой недостаток телесного угла как величину, которой ему недостает, чтобы стать плоскостью. В нашем примере четыре прямых угла (2π) сходятся в центре листа бумаги, и один из них отрезан (осталось 3π/2). Поэтому угловой недостаток в вершине куба равен 2π — 3π/2 = π/2.

Возьмите еще один квадратный лист бумаги. Как и раньше, разделите его на квадранты. Сделайте один разрез от края к центру (рис. 20.5). Возьмите отрезанный ранее квадратик и приклейте две его стороны к краям разреза сложенного листа бумаги. В результате оказывается, что углов слишком много. Мы получили конфигурацию, напоминающую кирпичную стену, из которой вынут один кирпич. Полный угол при центральной вершине равен 5π/2, т. е. на π/2 больше, чем плоский угол. В этом случае говорят, что имеется угловой недостаток —π/2, или угловой избыток π/2.

У многогранника много вершин, и в каждой из них свой угловой недостаток (или угловой избыток). Для получения полного углового недостатка многогранника нужно сложить угловые недостатки во всех вершинах.

Рис. 20.5. В этой вершине полный угол равен 5π/2

Рассмотрим несколько примеров. В каждой из восьми вершин куба угловой недостаток равен π/2, поэтому полный угловой недостаток равен 4π. Четырьмя гранями тетраэдра являются равносторонние треугольники. Поскольку в каждой вершине сходятся три равносторонних треугольника, угловой недостаток в ней равен 2π — 3(π/3) = π. Всего вершин четыре, поэтому полный угловой недостаток равен 4π. Наконец, рассмотрим невыпуклый многогранник на рис. 20.6: большой куб, из которого вырезан маленький угловой кубик (представьте себе кубик Рубика с вытащенным угловым элементом). В вершинах с метками от 1 до 10 угловой недостаток равен π/2. Вершина 11 «обращена не в ту сторону», но угловой недостаток в ней тоже равен π/2. В оставшихся вершинах (12, 13 и 14) имеет место угловой избыток π/2. Таким образом, полный угловой недостаток равен 11(π/2) + 3(—π/2) = 4π.

Рис. 20.6. В этом невыпуклом многограннике полный угловой недостаток по-прежнему равен 4π

Теперь можно говорить о закономерности и высказать гипотезу о том, что полный угловой недостаток любого многогранника равен 4π. Это впервые заметил Декарт в неопубликованных записках «Об элементах геометрических тел», которые мы обсуждали в главе 9. В третьем предложении этих записок читаем:

Как указал Декарт, параллели с теоремой о сумме внешних углов очевидны. Как сумма угловых недостатков многоугольника равна 2π, так и сумма угловых недостатков многогранника равна 4π.

Слегка отличающийся вариант этой теоремы был заново открыт Эйлером и включен в его статьи о формуле для многогранников¹⁸⁷. Эйлер доказал, что сумма всех плоских углов многогранника, имеющего V вершин, равна 2π(V — 2). Если формула Декарта обобщает теорему о сумме внешних углов многоугольника, то формула Эйлера — теорему о сумме внутренних углов. Легко видеть, что результаты Эйлера и Декарта эквивалентны. Полный угловой недостаток равен просто 2π V минус сумма всех плоских углов, или 2πV — 2π(V — 2) = 4π.

Разумеется, Эйлер и Декарт рассматривали только выпуклые многогранники. Но оказывается, что после небольшой модификации теорема применима ко всем многогранникам, даже топологически не являющимся сферами. Полный угловой недостаток — это топологический инвариант, имеющий простую связь с эйлеровой характеристикой многогранника.

Куб, тетраэдр и куб с вырезанным уголком топологически эквивалентны сфере, поэтому их эйлерова характеристика равна 2, а значит, полный угловой недостаток равен 2πχ(Р) = 2π 2 = 4π. В качестве тела, отличного от сферы, рассмотрим многогранный тор, показанный на рис. 20.7. В нем шестнадцать вершин, в восьми из них угловой недостаток равен π/2, а в остальных восьми имеется угловой избыток π/2 (угловой недостаток —π/2). Поэтому полный угловой недостаток равен нулю — эйлеровой характеристике тора. Предлагаем читателю проверить формулу Декарта для бумажного многогранника из приложения A.

Докажем формулу Декарта. Пусть P — многогранник с V вершинами, E ребрами и F гранями, а T — полный угловой недостаток P. Мы должны показать, что T = 2πχ(Р) = 2πV — 2πE + 2πF.

Выберем любую грань многогранника. Предположим, что ее плоские углы равны a₁…, a_n. По теореме о сумме внутренних углов:

a₁ +… + a_n = (n — 2)π.

После перегруппировки членов получаем:

(a₁ +… + a_n) — nπ +2π = 0.

Рис. 20.7. Полный угловой недостаток тора равен нулю

Это равенство можно наглядно представить следующим образом. Если написать —π на каждом ребре грани, величину угла в каждой вершине и 2π в середине грани (см. рис. 20.8), то сумма этих величин будет равна 0.

Рис. 20.8. Для π-угольника (a₁ +… + a_n) — nπ + 2π = 0

Проделаем то же самое для всех граней P и просуммируем. Каждая грань вносит в сумму 2π, а каждое ребро –2π (по —π с каждой стороны). Поэтому

S — 2πЕ + 2πF = 0,

где S — сумма всех внутренних углов P. Теперь прибавим T, полный угловой недостаток, к обеим частям равенства:

(T + S) — 2πЕ + 2πF = T.

Поскольку T — полный угловой недостаток, то, прибавив T, мы прибавили ровно столько, что сумма углов при каждой вершине снова стала равна 2π. Иными словами, T + S равно 2πV. Стало быть, T = 2πV — 2πЕ + 2πF = 2πχ(Р).

Формула Декарта — красивая иллюстрация связи между топологией и геометрией. Поскольку полный угловой недостаток выражается через эйлерову характеристику, мы видим, что топология многогранника полностью определяет один из аспектов его глобальной геометрии.

В качестве приложения этой теоремы предлагаем читателю найти новое доказательство того, что платоновых тел всего пять.

В этой книге мы, как правило, предполагали, что ребра, разбивающие поверхность на грани, — топологические сущности. Ребра можно произвольно изгибать и создавать грани самой причудливой формы. В этой главе мы рассматриваем гораздо менее разнузданную дисциплину — геометрию. В идеале хотелось бы, чтобы грани были многоугольниками с прямолинейными ребрами. На искривленной поверхности ребра не могут быть прямыми, поэтому взамен мы требуем, чтобы они были геодезическими кривыми.

В главе 10 мы ввели понятие геодезической на сфере. Это была дуга большой окружности. Оказывается, что геодезическую кривую можно определить на любой жесткой поверхности. Она характеризуется минимальной длиной — кратчайший путь между двумя точками на поверхности проходит по геодезической. Хорошо известное выражение «кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется по прямой» следовало бы заменить на «кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется по геодезической». В оставшейся части этой главы мы будем предполагать, что ребрами на поверхностях являются геодезические кривые, так что грани являются геодезическими многоугольниками.

Работа с геодезическими многоугольниками имеет то преимущество, что мы можем измерять углы в вершинах. Ребра кривые, но если рассматривать углы под микроскопом (фигурально выражаясь), то они будут казаться прямыми, поэтому их можно измерять.

Для треугольников на плоскости сумма углов равна 180°, но на типичной поверхности это правило не действует. Напомним, что Хэрриот и Жирар доказали, что сумма внутренних углов геодезического треугольника на сфере больше 180° (глава 10). Существуют другие поверхности, например седловидные, для которых сумма внутренних углов геодезического треугольника меньше 180° (см. рис. 20.9).

Рис. 20.9. Треугольник с угловым избытком (слева) и с угловым недостатком (справа)

Поэтому можно говорить об угловом избытке или угловом недостатке геодезического треугольника — величине, на которую сумма внутренних углов отличается от суммы углов плоского треугольника. Угловым избытком геодезического треугольника с внутренними углами a, b, c называется величина (a + b + с) — π. Если (a + b + с) — π отрицательно, то у треугольника имеет место угловой недостаток.

Аналогично можно определить угловой избыток или недостаток геодезического n-угольника. Как мы знаем, сумма внутренних углов плоского n-угольника равна (n — 2)π. Поэтому угловой избыток n-угольника с внутренними углами a₁, a₂, …, a_n равен (a₁ + a₂ + … + a_n) — (n — 2)π.

Важно не путать угловой избыток и недостаток для многогранников и для поверхностей. У многогранника угловой избыток или недостаток испытывают вершины, а у поверхности — грани. Одинаковые названия могут ввести в заблуждение, но, как мы увидим ниже, на самом деле они тесно связаны.

Возьмите комок пластилина и вылепите октаэдр. Каждая его грань — равносторонний треугольник, поэтому угловой недостаток в каждой вершине равен 2π — 4(π/3) = 2π/3. Поскольку всего вершин шесть, полный угловой недостаток равен 6(2π/3) = 4π, что согласуется с формулой Декарта. Покрасьте все ребра маркером. Затем положите многогранник на стол и раскатайте его, так чтобы он принял сферическую форму (рис. 20.10). Грани, когда-то бывшие треугольниками, стали искривленными поверхностями. Если деформация выполнена аккуратно, то прямые ребра превратятся в геодезические отрезки, а грани — в геодезические треугольники.

Рис. 20.10. Октаэдр, раскатанный в шар

После раскатывания октаэдра в шар ни в какой вершине не наблюдается углового недостатка. Все вершины разгладились, так что сумма углов при каждой вершине равна 2π. Куда же делся угловой недостаток?

Легко видеть, что в ходе этого процесса величины внутренних углов треугольника изменились. Углы при каждой вершине, которые раньше были равны 60°, теперь стали прямыми. Каждый треугольник на пластилиновом шаре имеет три прямых угла, так что сумма внутренних углов равна 3π/2. Для треугольных граней имеет место угловой избыток. Угловой недостаток в вершинах октаэдра распределился по граням шара и стал угловым избытком треугольников. Аналогично для любого разбиения поверхности на геодезические треугольники в вершинах нет ни углового недостатка, ни углового избытка, зато он есть в гранях.

Если поверхность разбита на грани, геодезические ребра и вершины, то полным угловым избытком называется сумма угловых избытков всех граней. Как полный угловой недостаток многогранника связан с его эйлеровой характеристикой (формула Декарта), так полный угловой избыток поверхности связан с ее эйлеровой характеристикой. Мы имеем следующий аналог формулы Декарта для поверхностей.

Доказательство этой теоремы наверняка покажется вам знакомым. Пусть поверхность S разбита на вершины, геодезические ребра и грани. Поставим в центр каждой грани 2π, рядом с каждым ребром —π, а в каждую вершину величину угла (см. рис. 20.11). Просуммировав эти величины для одной n-угольной грани с внутренними углами a₁ a₂…, a_n, получим угловой избыток этой грани:

2π — nπ + (a₁ + а₂ +… + a_n) = (a₁ + a₂ +… + a_n) — (n — 2)π.

Рис. 20.11. Разметка поверхности: 2π на каждой грани, — π на каждом ребре и величины углов в каждой вершине

Следовательно, сумма этих величин по всей поверхности дает полный угловой избыток поверхности.

С другой стороны, каждая грань привносит 2π, каждое ребро —2π, а каждая вершина — 2π. Сумма эти значений равна 2πF — 2πЕ + 2πV = 2πχ(S), и требуемый результат доказан.

Формула Декарта и теорема об угловом избытке — красивые теоремы, показывающие, что топология в некотором смысле управляет геометрией. В следующей главе мы рассмотрим еще один пример. Мы увидим, что полная кривизна поверхности зависит от ее топологии, а та тесно связана с эйлеровой характеристикой.

Приложения к главе

183. Shakespeare (1992), 36.

184. Polya (1954), 57–58.

185. Hopf (1935).

186. Quoted in Federico (1982), 43.

187. Euler (1758b); Euler (1758a).