Жемчужина Эйлера

Глава 23 Анри Пуанкаре и взлет топологии

Если формулы Эйлера, касающиеся кёнигсбергских мостов и многогранников, знаменуют рождение топологии, а работы Листинга, Мёбиуса, Римана, Клейна и других математиков XIX века — годы ее юности, то признаком наступления зрелого возраста стали труды Анри Пуанкаре. И до него существовали теоремы, которые сегодня мы относим к топологическим, но лишь в самом конце XIX века Пуанкаре систематизировал эту область.

Изучая полное собрание его трудов, мы замечаем общую тему: топологический взгляд на математику. Быть может, этот качественный подход к предмету объясняется его нелюбовью (или, как он сам говорил, затруднениями) к математическим вычислениям. А быть может, это реакция на печально известное отсутствие художественных способностей (вспомните, он называл геометрию «искусством рассуждений о плохо нарисованных фигурах»). Как бы то ни было, Пуанкаре в конце концов сам увидел эту общую черту и написал: «К какой бы задаче я ни приступал, она приводила меня к Analysis Situs»²⁰⁵.

Пуанкаре имел в виду первопроходческую 123-страничную статью Analysis Situs²⁰⁶, написанную в 1895 году. За последующие десять лет он написал ее продолжение в пяти основополагающих частях, которые сам называл дополнениями²⁰⁷. Об этих шести статьях Жан Дьедонне писал:

Представьте себе Джонни-яблочное семечко[17], который бродил по пустошам и разбрасывал семена, из которых впоследствии выросли плодоносящие сады. Вряд ли будет преувеличением сказать, что почти все исследования по топологии до начала 1930-х годов выросли из этой работы Пуанкаре.

Один из его современников писал: «В области Analysis Situs Пуанкаре недавно принес нам множество новых результатов, но в то же время поднял множество новых вопросов, которые все еще ждут своего разрешения»²⁰⁹. Пробелы и прорехи в рассуждениях Пуанкаре действительно были, и для их устранения понадобилось время. Интуитивный подход к предмету, характерный для Пуанкаре и его предшественников, нужно было подкрепить солидными математическими аргументами. Строгость и единый стандарт доказательств в топологии появились примерно в 1910 году, и еще несколько десятилетий ушло на возведение прочной конструкции по чертежам Пуанкаре.

Один из многих важных вкладов Пуанкаре — изобретение понятия гомологии. Это остроумный способ формализовать изучение римановых чисел связности и их многомерных обобщений Бетти. В наши дни гомология — одно из основных средств анализа многообразий. Пуанкаре ввел это понятие в Analysis Situs и уточнял в каждом дополнении. Потребовалось примерно тридцать лет, чтобы теория гомологий приняла современную форму.

Описание теории гомологий — все равно, в современных терминах или по Пуанкаре — выходит за рамки этой книги. Вместо этого мы ограничимся поверхностным изложением, полагаясь на интуицию. Мы обсудим не n-мерный вариант, а лишь 1-мерную гомологию на поверхностях.

Один из способов интерпретировать 1-мерную гомологию заключается в том, чтобы взглянуть на петли, нарисованные на поверхности. Не будем фиксировать петлю, а позволим ей перемещаться по поверхности. Она может как угодно растягиваться, укорачиваться и извиваться, лишь бы не разрывалась и не покидала поверхность.

Простейшей из возможных является топологически тривиальная петля, которую можно стянуть в точку. Она может произвольно виться по поверхности, но не должна окружать дырки. Например, поскольку в сфере нет дырок, любую петлю, нарисованную на ее поверхности, можно стянуть в точку.

Простейшие поверхности — это те, на которых, как на сфере, любая петля топологически тривиальна. Такая поверхность называется односвязной. Как видно по рис. 23.1, диск и сфера односвязные, а кольцо и тор — нет.

Рис. 23.1. Диск и сфера — односвязные поверхности, а кольцо и тор — нет

Из теоремы классификации поверхностей мы знаем, что сфера — единственная односвязная замкнутая поверхность. На всех прочих имеется бесконечно много нетривиальных петель. Пуанкаре понял, что важно подсчитывать существенные, или независимые нетривиальные, циклы на поверхности. Для ориентируемых поверхностей он назвал эту величину 1-мерным числом Бетти, в честь Бетти. Для его вычисления он определил странную арифметическую операцию на множестве петель, которую мы будем записывать как сложение.

В теории гомологий любая петля имеет ориентацию и называется циклом. Таким образом, циклы a и — a — одна и та же петля, но с противоположными ориентациями. Суммой двух петель a и b называется объединение циклов, поэтому a + b и b + a — одно и то же, что в нашей нотации записывается как a + b = b + a. Иногда желательно представлять себе a + b как самостоятельную петлю. Согласно нашей арифметике, мы можем проследовать по петле a, затем по b, или по петле b, затем по a. Хотя это могут быть разные петли, они представляют один и тот же цикл. Мы допускаем взаимное уничтожение двух циклов противоположной ориентации, т. е. a + (—a) + b = b. Кроме того, если цикл a можно деформировать в цикл b, то a = b.

Чтобы почувствовать, как работает такое сложение, рассмотрим три цикла a, b и c на торе (рис. 23.2). Как видим, можно деформировать цикл c, так что он совпадет с циклом a, за которым следует цикл b. Поэтому c и a + b — один и тот же цикл, или c = a + b.

Рис. 23.2. Цикл c можно деформировать в цикл a + b

Если это действительно операция сложения, то должен быть нулевой цикл. На что он похож? Самый очевидный нулевой цикл — тот, что можно стянуть в точку. На односвязной поверхности любой цикл нулевой. И всё? Верно ли, что единственные нулевые циклы — топологически тривиальные? Оказывается, нет. Цикл w на рис. 23.3 охватывает «талию» двойного тора, и стянуть его в точку невозможно. Однако его можно деформировать, так что он пройдет по циклу u, затем по v, потом по — u и по — v. Следовательно, w = u + v + (—u) + (—v) 0.

Рис. 23.3. Нулевой цикл на двойном торе, который невозможно стянуть в точку

Мы видим, что цикл c на рис. 23.2 можно записать в виде суммы циклов a и b. Оказывается, что любой цикл на торе можно записать в виде суммы a и b. Иными словами, если дан произвольный цикл d на торе, то можно найти такие целые числа m и n, что d = ma + nb. То есть а и b — единственные существенные циклы, поэтому, согласно Пуанкаре, одномерное число Бетти тора равно 2. Аналогично для двойного тора на рис. 23.3 циклы u и v существенны, и есть еще два вокруг другой дырки. Одномерное число Бетти двойного тора равно 4.

Для ориентируемых поверхностей количество таких циклов является первым числом Бетти, но для неориентируемых начинаются странности. Весь наш опыт подсказывает, что из уравнения a + a = 0 следует, что a = 0. Для вещественных чисел так оно и есть. Но для циклов может случиться, что a ≢ 0, но а + а ≡ 0. Вообще-то, такое явление в жизни не редкость. На многих автомобилях одометр рассчитан на расстояние до 99 999 километров. Для такого одометра 50 000 + 50 000 = 0. Другой пример — отсчет времени, принятый в армии. Полночь — это 0:00, полдень — 12:00, а время непосредственно перед полуночью — 23:59. Поэтому через 12 часов после 12:00 будет 0:00, или 12 + 12 = 0.

Чтобы увидеть эту странную арифметику в действии, вернемся к проективной плоскости и бутылке Клейна. На рис. 22.8 мы видели, что число связности проективной плоскости равно 1. Обозначим соответствующий цикл a и придадим ему ориентацию, как показано на рис. 23.4. Тогда a + a, или для краткости 2a, — это цикл, проходящий по a два раза. Удивительно, но, как видно по рисунку, этот удвоенный цикл действительно топологически тривиален — путем деформирования его можно стянуть в точку. Поэтому 2а = 0.

Рис. 23.4. Для проективной плоскости 2а = 0

То же самое имеет место для бутылки Клейна, но обоснование несколько отличается. Ранее мы видели, что число связности бутылки Клейна равно 2. Обозначим соответствующие циклы (ориентированные) b и c, как показано на рис. 23.5. Как видно, удвоенный цикл 2b эквивалентен b + c + (—b) + (—с). Иначе говоря, хотя 2b топологически не тривиален, все равно 2b 0.

Таким образом, мы можем разделить эти существенные циклы на два класса в зависимости от того, обладают они таким поведением или нет. Продолжим называть количество циклов, не обладающих таким поведением, 1-мерным числом Бетти. Если на поверхности существует цикл a, для которого na ≡ 0 (и n — наименьшее такое положительное число), то будем называть n коэффициентом зацепления поверхности. Следовательно, в 1-мерном случае для проективной плоскости число Бетти равно 0, а коэффициент зацепления равен 2, тогда как для бутылки Клейна число Бетти равно 1, а коэффициент зацепления равен 2.

Действуя похожим образом, Пуанкаре определил многомерные числа Бетти и коэффициенты зацепления, только в качестве циклов он использовал не петли, а многообразия более высокой размерности. Пуанкаре доказал, что числа Бетти и коэффициенты зацепления — топологические инварианты многообразий. В табл. 23.1 приведены числа Бетти и коэффициенты зацепления замкнутых поверхностей. Мы обозначаем b_i i-е число Бетти[14].

Рис. 23.5. Для бутылки Клейна 2b = b + c + (—b) + (—с) = 0

Таблица 23.1. Числа Бетти и коэффициенты зацепления поверхностей

В «Analysis Situs» Пуанкаре следовал идеям Римана и Бетти. Но, отвечая на призыв к строгости, в последующих статьях он сменил направление. Именно тогда он начал работать с симплициальными комплексами, n-мерным обобщением многогранников. В этом контексте циклы в теории[18] гомологий строятся, исходя из особенностей многогранника. Например, 1-мерный цикл — это не произвольная петля на многообразии, а последовательность ребер многогранника, образующая петлю.

С практической точки зрения, работать с симплициальными комплексами гораздо проще, чем с первой моделью Пуанкаре. Пуанкаре мог описать комплекс в терминах матрицы инциденций — прямоугольного массива чисел, показывающего, какие симплексы являются соседними. Вычисление чисел Бетти и коэффициентов зацепления с помощью этих матриц стало чисто механическим процессом.

Располагая таким обобщением многогранников на многомерный случай, естественно задаться вопросом, можно ли обобщить эйлерову характеристику на многомерные многообразия. Пункаре, как Коши и Шлефли до него, обобщил эйлерову характеристику, вычислив знакопеременную сумму числа k-симплексов. Иными словами, если многообразие M представлено в виде симплициального комплекса с a_k симплексами размерности k, то он определил эйлерову характеристику как

χ(M)) = a₀ — a₁ +a₂ —… ± а_n.

Это обобщение эйлеровой характеристики на n-мерное пространство называется характеристикой Эйлера-Пуанкаре многообразия M.

Например, сплошной тор является 3-мерным многообразием с краем (краем является тор, 2-мерное многообразие). На рис. 23.6 показано, как представить сплошной тор в виде симплициального комплекса. У него 12 вершин (0-симплексов), 36 ребер (1-симплексов), 36 граней (2-симплексов) и 12 треугольных пирамид (3-симплексов). Поэтому a₀ = 12, a₁ = 36, a₂ = 36 и a₃ = 12, так что характеристика Эйлера-Пуанкаре равна χ(сплошной тор) = 12–36 + 36–12 = 0.

Рис. 23.6. Симплициальный комплекс для сплошного тора

Так же как эйлерова характеристика является топологическим инвариантом поверхностей, так и характеристика Эйлера-Пуанкаре является инвариантом n-мерных многообразий. Чтобы доказать этот факт, Пуанкаре установил нечто гораздо более интересное. Он доказал, что если k-е число Бетти равно b_k, то

χ(M)) = b₀ — bi₁ + b₂ —… ± b_n.

То есть, чтобы вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре, мы игнорируем коэффициенты зацепления и берем знакопеременную сумму чисел Бетти! В табл. 23.1 показано, что это равенство имеет место для чисел Бетти поверхностей. Поскольку каждое число b_k является топологическим инвариантом, таковым же является и их знакопеременная сумма. Стало быть, характеристика Эйлера-Пуанкаре — топологический инвариант.

В 1895 году Пуанкаре открыл изумительно симметричное соотношение между числами Бетти²¹⁰. Последовательность чисел Бетти для нескольких многообразий показана в табл. 23.2. Пуанкаре заметил, что числа Бетти встречаются парами, причем первые такие же, как последние: b₀ = b_n, b₁ = b_n-1 и т. д. Это и стало утверждением знаменитой теоремы двойственности Пуанкаре.

Таблица 23.2. Симметрия чисел Бетти

Мы уже встречались с двойственностью, когда обсуждали подмеченное Кеплером объединение платоновых тел в пары (глава 6). В обоих случаях термин «двойственность» выбран не случайно; наблюдение Кеплера — это замаскированная двойственность Пуанкаре. Теорема двойственности Пуанкаре утверждает, что при вычислении чисел Бетти многообразия мы вправе менять местами роли i-мерных и (n — i) — мерных симплексов. Двойственность платоновых тел иллюстрирует это поведение. Например, икосаэдр дает пример разбиения сферы на вершины, ребра и грани. Если воспользоваться двойственностью Кеплера и преобразовать каждую вершину икосаэдра в грань, а каждую грань — в вершину, то получится додекаэдр — еще одно разбиение сферы.

В «Analysis Situs» Пуанкаре писал: «Я полагаю, что эту теорему никто не формулировал, однако она известна многим, и некоторые даже находили ей применения»²¹¹. Мы не знаем, ни кто были эти «многие», ни как они использовали это соотношение, но главной целью Пуанкаре было доказать тот удивительный факт, что характеристика Эйлера-Пункаре любого замкнутого ориентируемого многообразия нечетной размерности равна нулю!

Действительно, рассмотрим 3-мерный тор — 3-мерное многообразие, полученное склеиванием сторон куба, как в левой части на рис. 23.7. его числа Бетти равны b₀ = 1, b₁ = 3, b₂ = 3 и b₃ = 1 (мы не станем это доказывать), поэтому характеристика Эйлера-Пуанкаре равна

χ(3-мерный тор) = 1–3 + 3–1 = 0.

Вообще, пусть M — произвольное замкнутое ориентируемое многообразие нечетной размерности n. В силу теоремы двойственности Пуанкаре числа Бетти встречаются парами с противоположным знаком, поэтому в выражении характеристики Эйлера-Пуанкаре в виде знакопеременной суммы они взаимно уничтожаются:

Оказывается, что характеристика Эйлера-Пуанкаре любого замкнутого неориентируемого многообразия также равна нулю. Мы опускаем сложное доказательство этого факта, но проиллюстрируем его на примере. 3-мерное многообразие, полученное попарным склеиванием сторон куба, как показано в правой части на рис. 23.7, неориентируемое. Его числа Бетти равны b₀ = 1, b₁ = 2, b₂ = 1 и b₃ = 0 (у него также имеются коэффициенты зацепления в размерностях 1 и 2). Мы видим, что двойственность Пуанкаре не имеет места, но характеристика Эйлера-Пуанкаре по-прежнему равна нулю:

χ(M) = 1–2 + 1–0 = 0.

Рис. 23.7. Трехмерный тор и неориентируемое трехмерное многообразие

Следует отметить, что многообразия с краем нечетной размерности необязательно имеют нулевую характеристику Эйлера-Пуанкаре. Например, для n-мерного шара Bⁿ характеристика Эйлера-Пуанкаре равна 1 для всех n.

Превращение топологии из дисциплины, построенной на интуитивных аргументах, в раздел математики со строгими доказательствами произошло на протяжении первых трех десятилетий XX века. Это было время, когда топологи избавились от пробелов, прорех, нежелательных допущений и ошибок блестящей работы Пуанкаре.

Например, рассмотрим следующие два предположения, сделанных Пуанкаре. Во-первых, он утверждал, что любое многообразие можно представить в виде симплициального комплекса или, точнее, что всякое многообразие можно триангулировать. Во-вторых, он предполагал, что Hauptvermutung (основная гипотеза комбинаторной топологии) верна для любого многообразия (напомним, что эта гипотеза утверждает, что любые два разбиения многообразия можно измельчить, добавив симплексы, так что они станут топологически эквивалентными). Как выясняется, в общем случае оба этих предположения неверны. И тем не менее математики показали, что выводы Пуанкаре справедливы.

Важное усовершенствование идей Пункаре принадлежит немецкой женщине-математику Эмми Нётер (1882–1935). Нётер, дочери математика, пришлось бороться с укоренившимися предрассудками. Она была женщиной, подвизавшейся в области, где доминировали мужчины. В 1904 году женщинам наконец разрешили поступать в Эрлангенский университет, но до тех пор она могла лишь присутствовать на занятиях. Докторскую диссертацию она защитила в 1907 году. В 1915 году, когда она уже заработала репутацию первоклассного математика, Клейн и Давид Гильберт (1862–1943) пригласили ее в Гёттинген с намерением принять в постоянный штат. Но лишь в 1919 году ей было позволено занять должность на факультете, а до тех пор считалось, что ее курсы читаются от имени Гильберта, а она лишь выступает в роли его помощника. Когда к власти пришли нацисты, жизнь многих немцев изменилась. В 1933-м еврейка Нётер была вынуждена уехать из Гёттингена в США и стала преподавать в колледже в Брин-Море. Спустя два года она умерла.

Наибольшую известность Нётер принесли пионерские работы в области общей алгебры. В самых общих чертах, общая алгебра изучает множества, наделенные одной или несколькими бинарными операциями (например, сложение и умножение и обратные к ним вычитание и деление).

До середины 1920-х годов гомологии описывались в терминах чисел Бетти и коэффициентов зацепления. Понадобилась алгебраист Нётер, чтобы понять, что гомологии обладают гораздо более богатой структурой. Она выделила ключевую особенность гомологии — способность складывать и вычитать циклы. Сконцентрировавшись на этой арифметической операции, она заметила, что гомология — частный случай алгебраического объекта, называемого группой, и что правильный взгляд на гомологию дают группы Бетти, или группы гомологий, как их теперь называют. В своей автобиографии Павел Александров писал: «Вспоминаю обед у Брауэра в честь Эмми Нётер, во время которого гостья изложила определение групп Бетти-комплексов, вскоре получившее всеобщее распространение и совершенно преобразившее всю топологию»²¹².

Рис. 23.8. Эмми Нётер

Совершенно неожиданно топологам оказался доступен во всех отношениях новый инструментарий. В их распоряжении оказались все методы и теоремы теории групп. Мощные теоремы стало возможно доказывать, не изобретая колесо. Числа Бетти и коэффициенты зацепления возникали естественным способом, а инвариантность характеристики Эйлера-Пуанкаре получила простое доказательство. В надгробном слове Нётер Александров писал:

В очередной раз мы видим, какие мощные результаты дает соединение различных ветвей математики. Декарт использовал анализ, чтобы понять геометрию. Риман и Пуанкаре применили топологию, чтобы понять анализ. Гаусс и Бонне воспользовались топологией, чтобы понять геометрию. А теперь топологи вольны использовать алгебру, чтобы понять топологию. Такое взаимное обогащение чрезвычайно плодотворно.

Включение алгебры в топологию настолько важно, что вся эта область топологии — практически вся топология, которую мы обсуждали в этой книге, — теперь называется алгебраической топологией. За десятилетия после работы Пуанкаре алгебраическая топология вышла за пределы групп гомологий и включила многие другие алгебраические структуры. В наши дни большинство топологов занимаются алгебраической топологией.

Приложения к главе

204. Hardy (1992), 85.

205. цитируется по Dieudonne (1975).

206. Poincare (1895).

207. Poincare (1899); Poincare (1900); Poincare (1902a); Poincare (1902b); Poincare (1904).

208. Dieudonne (1989), 17.

209. Heinrich Tietze (1880–1964), цитируется по James (2001).

210. Poincare (1895).

211. Poincare (1895), цитируется по Sarkaria (1999).

212. цитируется по James (1999).

213. Там же.