Жемчужина Эйлера

Глава 9 Был ли Декарт первым?

В 1860 году, спустя больше ста лет после того, как Эйлер представил свое доказательство формулы для многогранников, появилось свидетельство того, что Рене Декарт, знаменитый философ, ученый и математик, знал об этом замечательном соотношении в 1630 году, более чем за сто лет до Эйлера. Это свидетельство обнаружилось в считавшейся давно утраченной рукописи. История поистине удивительная, как и спор о том, чье имя должна носить формула для многогранников.

Декарт родился в дворянской, хотя и небогатой, семье в 1596 году во французском городке Лаэ, недалеко от Тура. его мать умерла через несколько дней после родов, а отца, хотя и оказывавшего поддержку своему «маленькому философу», большую часть детства Рене не было дома.

Юный Рене рос болезненным мальчиком, а в зрелости стал настоящим ипохондриком. Он посещал иезуитский колледж Ла Флэш, и один из его учителей разрешал ему оставаться по утрам в постели столько, сколько он захочет, хотя другие дети в это время были на занятиях. Декарт использовал это время для размышлений. Эту привычку он сохранил на всю жизнь, и многие его величайшие идеи вынашивались в спокойные и тихие утренние часы, проведенные в кровати.

Сквозной темой, пронизывавшей всю жизнь Декарта, было стремление к уединению. Как он сам писал, «я желаю лишь умиротворения и покоя»⁷¹. Эта потребность не отвлекаться на пустяки нашла отражение в его многочисленных переменах места жительства и безбрачии — они никогда не был женат. Его службе в армии сопутствовали длительные периоды мира, что позволило ему отдаваться глубоким размышлениям. Декарт вовсе не был затворником, но всегда стремился остаться один и предаться научным и философским занятиям. Это желание иллюстрируется его девизом: bene vixit qui bene latuit (хорошо жил тот, кто хорошо спрятался).

Рис. 9.1. Рене Декарт

В 1637 году Декарт опубликовал короткую книгу с длинным названием «Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences (Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках)⁷², оказавшую огромное влияние. Публикация «Рассуждения о методе» положила начало современной философии. В этой книге, которая теперь считается литературной классикой, Декарт описал философию, основанную на сомнении и рационализме. Именно в ней встречается самая известная в философии фраза «cogito ergo sum» (мыслю, следовательно, существую). Его философия стала одним из краеугольных камней научной революции.

В «Рассуждении о методе» было три приложения, самым важным и влиятельным из них оказалась «La Geometrie» (Геометрия) на ста страницах, появление которой часто называют рождением аналитической геометрии — предмета, настолько укорененного в современную математику, что последнюю трудно представить без нее. (Следует также отдать должное Ферма, современнику Декарта, за вклад в эту область.) Аналитическая геометрия — это сплав геометрии и алгебры. В ней вводится система координат, а положение точки описывается ее координатами (x, y). Эта система координат называется декартовой в честь Декарта. Ценность данного подхода заключается в том, что геометрические фигуры — прямые, окружности, кривые линии — можно представить алгебраическими уравнениями, что позволяет использовать алгебраические средства для решения геометрических задач. Хотя в «Геометрии» аналитическая геометрия построена еще не полностью (например, Декарт нигде явно не создавал осей координат), многие ключевые идеи уже присутствуют.

В 1649 году, после многократных приглашений на протяжении трех лет, пятидесятитрехлетний Декарт согласился приехать к шведской королеве Кристине и давать ей уроки философии. Королева настояла, чтобы пятичасовые занятия, по три раза в неделю, начинались в пять утра и проходили в необычайно холодной комнате (та зима была самой холодной за шестьдесят лет).

Эти занятия ранним утром вынудили Декарта отказаться от давней привычки проводить утренние часы в постели. Тяжелые условия, вероятно, подкосили и без того хрупкое здоровье Декарта. 1 февраля 1650 года, спустя всего несколько месяцев после приезда в Швецию, он подхватил воспаление легких. Он отказался от услуг врача Кристины, предпочтя собственный рецепт — смесь вина и табака, благодаря которой он отхаркивал быстро скапливающуюся мокроту. Лечение оказалось неэффективным. Декарт умер 11 февраля 1650 года.

Его друг, посол Франции Гектор-Пьер Шаню, взял на себя труд доставить личные вещи Декарта в Париж, где они должны были храниться у зятя Шаню, Клода Клерселье. Но корабль потерпел крушение в Сене, и весь груз попал в реку. Все вещи Декарта, включая чемодан с многочисленными заметками и рукописями, уплыли. По счастью, через три дня чемодан был найден. Бумаги аккуратно разобрали и развесили сушиться, как белье в прачечной.

Став обладателем бумаг Декарта, Клерселье начал публиковать их. Он также предоставил документы в распоряжение ученых для исследования. Одним из математиков, заинтересовавшихся побывавшими в воде заметками Декарта, был Лейбниц. Во время одной из своих поездок в Париж Лейбниц снял копии некоторых заметок Декарта о многогранниках, датируемых приблизительно 1630 годом. Эти важные заметки теперь называются «De solidorum elementis» (Об элементах геометрических тел).

Клерселье умер в 1684 году, через восемь лет после посещения Лейбница, не успев опубликовать часть рукописей, в т. ч. и «Об элементах геометрических тел». Оригинала больше никто не видел. Копия, принадлежавшая Лейбницу, пропала, и двести лет о ней не было ни слуху ни духу. Не будь на то воли провидения, мы никогда не узнали бы о прозорливой работе Декарта по многогранникам.

Фуше де Карейль, изучавший наследие Декарта в XIX веке, знал из писем Лейбница о том, что тот скопировал пропавшие впоследствии рукописи Декарта. В 1860 году он искал эти документы в хорошо организованном собрании трудов Лейбница в Ганноверской королевской библиотеке, но не нашел. Однако фортуна оказалась к нему благосклонна, и он обнаружил пыльную кипу неизвестных и некаталогизированных бумаг, принадлежащих Лейбницу, в каком-то позабытом шкафу. Именно в этой кипе де Карейль отыскал копию работы «Об элементах геометрических тел».

Как и все изучавшие многогранники до него, Декарт принял метрический подход. Во многих его формулах встречаются величины углов. Но, в отличие от своих предшественников, он, как и Эйлер сто лет спустя, подошел к многогранникам с комбинаторной точки зрения: он подсчитывал признаки многогранника и выводил алгебраические соотношения между ними. Если Эйлер считал вершины, ребра и грани и обнаружил формулу V — E + F = 2, то Декарт считал вершины (которые, как и Эйлер, называл телесными углами), грани и плоские углы.

В своих заметках Декарт привел много фактов, касающихся многогранников. Он не дал полных доказательств, но нетрудно видеть, как одни формулы логически вытекают из других. Первая важная теорема обобщала на многогранники хорошо известный для многоугольников результат: сумма внешних углов равна 360°. Мы подробно обсудим этот результат, который теперь называется формулой Декарта, в главе 20. Он также дал, вероятно, первое алгебраическое доказательство того, что платоновых тел всего пять.

Завершалась работа следующим равенством, связывающим количество граней, вершин и плоских углов (соответственно F, V и P):

P = 2F + 2V — 4.

Именно из-за этого открытия некоторые ученые считают, что формула Эйлера должна носить имя Декарта. Нужно просто заметить, что число плоских углов многогранника в два раза больше числа ребер (например, у куба 24 плоских угла и 12 ребер). Поэтому если имеется E ребер, то плоских углов будет P = 2E. Подстановка 2E вместо P дает 2E = 2F + 2V — 4. Осталось поделить на два, изменить порядок членов — и мы получим знакомую формулу для многогранников.

Возникает вопрос: действительно ли Декарт открыл формулу Эйлера? Если да, то не должна ли она носить его имя? После обнаружения заметок Декарта вспыхнул спор, который не утихает и по сей день. Признанные математические авторитеты расходятся в этом вопросе. Даже сегодня встречаются книги, в которых решительно утверждается, что Декарт открыл — или, наоборот, не открыл — эту формулу раньше Эйлера. Разумеется, следует помнить о словах выдающегося философа Томаса Куна (19221996): «Тот факт, что он [вопрос о приоритете] поставлен… есть симптом какого-то искажения образа науки, которая отводит открытию такую фундаментальную роль»⁷³.

Эрнест де Жонкьер (1820–1901), один из первых и самых пламенных защитников приоритета Декарта, предложил назвать теорему формулой Декарта-Эйлера. В 1890 г. он писал: «Невозможно отрицать, что он ее знал, поскольку она выводится так прямо и так просто, можно сказать интуитивно, из двух теорем, которые он только что сформулировал»⁷⁴. Сторонники Жонкьера говорят, что формула с такой очевидностью вытекает из работы Декарта, что либо он знал об этом соотношении, либо был настолько близок к открытию теоремы, что она должна носить его имя. Они считают, что если бы Декарт подготовил рукопись к публикации, то сформулировал бы теорему в более привычном для нас виде. Кроме того, даже если Декарт не знал точной формулы, он доказал теорему, логически эквивалентную формуле Эйлера. Он и Эйлер просто выбрали разные признаки для подсчета. В наши дни формулу для многогранников не так уж редко называют формулой Декарта-Эйлера.

Удивительно, сколько споров связано с понятием ребра многогранника, которое, как мы уже говорили, было введено Эйлером. Для нас этот признак очевиден, но во времена Декарта у него не было названия. Для него ребро многогранника был просто стороной одной из многоугольных граней; ребра служили для образования углов — и только. Чтобы придать привычный вид формуле Эйлера, Декарту нужно было придумать понятие ребра.

Те, кто не признает за Декартом предвидения формулы Эйлера, говорят, что включение в нее ребер принципиально важно. Как мы уже отмечали, Эйлер осознавал, что истинный смысл теоремы состоит в том, что она связывает нульмерные объекты (вершины), одномерные объекты (ребра) и двумерные объекты (грани). Впоследствии обобщенная формула Эйлера стала важной теоремой в топологии. Топологи не остановились на двумерных гранях. В главах 22 и 23 мы увидим, что Пуанкаре и другие обобщили формулу Эйлера на объекты любой размерности.

Все согласны, что Декарт подошел очень близко, и все же он не сделал последний важный шаг. Плоские углы — не те объекты, которые должны стоять в одном ряду с гранями и вершинами. Для получения правильной формулировки необходимо было ввести понятие ребра. В ответ тем, кто заявляет, что Декарт наверняка знал о связи с ребрами, критики указывают, что даже самые талантливые математики могут не заметить очевидных следствий из собственной работы. После внимательного изучения рукописи математик Анри Лебег писал: «Декарт не сформулировал теорему; он ее не увидел»⁷⁵.

Широко распространено ошибочное мнение, будто объекты в математике называются в честь своих первооткрывателей, а если это не так, значит, налицо чуть ли не плагиат или фальсификация истории. По такому стандарту Эйлера уязвляли неоднократно, потому что многие его открытия носят имена других людей (есть расхожая острота — «математические объекты называют в честь первого человека, открывшего их после Эйлера»). Несть числа примерам (даже в этой книге) математических объектов, названных не по имени первооткрывателя, а в честь кого-то, внесшего важный вклад в предмет, — быть может, того, кто первым осознал важность открытия. Кун замечает, что, как в данном примере, не вполне понятно, кому принадлежит приоритет открытия. «Вот почему мы так охотно соглашаемся с тем, что процесс открытия, подобно зрению или осязанию, столь же определенно должен быть приписан отдельной личности и определенному моменту времени. Но открытие невозможно приурочить к определенному моменту; часто его нельзя и точно датировать… Открытие предполагает осознание и того, что произошло, и того, каким образом оно возникло»⁷⁶. (Вспомните замечание Уотерхауса о том, что правильные тела ничем не выделялись, пока Теэтет не увидел то общее, что их связывает».)

Открыл ли Декарт формулу Эйлера раньше — спорный вопрос. Но поскольку работа Декарта не была опубликована и поскольку он не нашел «полезного» вида этой формулы, будет разумно и дальше называть соотношение V — E + F = 2 формулой Эйлера.

Приложения к главе

70. Descartes (1965), 259.

71. Quoted in Bell (1937), 35.

72. Descartes (1965).

73. Kuhn (1970), 54.

74. Quoted in Federico (1982), 76.

75. Lebesgue (1924).

76. Kuhn (1970), 55.