Жемчужина Эйлера

Глава 10 Лежандр расставляет все по местам

Второе опубликованное доказательство формулы Эйлера для многогранников и первое, отвечающее современным стандартам строгости, было дано Адриеном-Мари Лежандром. Лежандр стал первым французским математиком, который являлся одновременно членом Французской академии наук и Лондонского королевского общества. Он публиковал работы в нескольких областях, но наиболее важный вклад внес в теорию чисел и теорию эллиптических функций. Его наследие включает также чрезвычайно популярный учебник элементарной геометрии «Elements de Geometrie» (Элементы геометрии), написанный в 1794 году. Во многих отношениях «Элементы» Лежандра заменили «Начала» Евклида, став основным учебником геометрии на следующие сто лет и задав образец для будущих учебников. Эта книга несколько раз переводилась на английский язык, а один американский перевод выдержал тридцать три издания.

Рис. 10.1. Адриен-Мари Лежандр

Лежандр включил формулу Эйлера для многогранников в «Элементы геометрии», а благодаря популярности книги она получила широкую известность. Лежандр не стал исправлять доказательство Эйлера, а предложил новое — существенно отличающееся. В своем изобретательном рассуждении Лежандр воспользовался понятиями сферической геометрии и такими метрическими свойствами, как величины углов и площади. Успех выглядит особенно неожиданным в свете того, что в самой формулировке теоремы этих понятий нет.

Ключ к доказательству Лежандра — элегантная формула из сферической геометрии, которая выражает площадь треугольника на поверхности сферы через три его внутренних угла. На сфере треугольники и другие многоугольные фигуры образованы не прямыми линиями, а дугами больших окружностей. Большой окружностью называется любая окружность на сфере, радиус которой равен радиусу сферы, или, эквивалентно, любая окружность максимально возможного радиуса. Примерами больших окружностей являются экватор и меридианы. Параллели, отличные от экватора, например тропик Рака, тропик Козерога, Полярный круг, не являются большими окружностями. Большие окружности — не прямые, но настолько близки к прямым, насколько это возможно на сфере. Они обладают важным свойством — дают путь минимальной длины. То есть кратчайшим путем между двумя точками на сфере является дуга проходящей через них большой окружности. Если оставить в стороне физические условия, в частности ветер и вращение Земли, то кратчайший маршрут самолета из Пенсильвании в Индию должен был бы пролегать по дуге большой окружности, проходящей через Исландию.

На практике для нахождения больших окружностей на малой сфере можно использовать ленту (рис. 10.2). Возьмите ленту, например такую, которой перевязывают подарочные коробки, и положите ее на сферу. Оберните ленту вокруг сферы, так чтобы она лежала плоско и не морщила по бокам. Тогда лента покажет, где находится большая окружность.

Рис. 10.2. Чтобы найти большую окружность, нужно обмотать сферу лентой

Определим сферический треугольник как область, ограниченную тремя большими окружностями (см. рис. 10.3). Математики называют большую окружность геодезической, поэтому точнее было бы называть сферический треугольник геодезическим треугольником. Мы требуем, вслед за Лежандром, чтобы каждая сторона геодезического треугольника была меньше половины длины окружности сферы.

Рис. 10.3. Треугольник, образованный тремя большими окружностями

Геодезические треугольники впервые были введены греческим математиком Менелаем Александрийским (ок. 98 года) в книге «Sphaerica» (Сферика). В ней Менелай построил теорию сферической геометрии по аналогии с евклидовой теорией геометрии на плоскости, изложенной в «Началах». Он показал, что многие теоремы, справедливые для плоских треугольников, верны и для геодезических треугольников. Например, сумма длин двух сторон сферического треугольника больше длины третьей стороны. Он также доказал интересный результат, имеющий место на сфере, но не на плоскости: два подобных геодезических треугольника (т. е. с соответственно равными углами) обязательно конгруэнтны. С другой стороны, одна из самых известных теорем геометрии на плоскости — сумма внутренних углов треугольника равна 180°, или π, — для сферы неверна[6]. На сфере сумма внутренних углов всегда больше π. Например, большой геодезический треугольник на рис. 10.4 имеет три прямых угла, их сумма равна 3π/2. В меньших геодезических треугольниках кривизна сферы сказывается не так сильно, поэтому сумма углов меньше, но все равно превышает π.

Почти полторы тысячи лет никто не пытался уточнить утверждение Менелая о сумме внутренних углов. И лишь в XVII веке сразу два человека, Томас Хэрриот (ок. 1560–1621) и Альбер Жирар (1595–1632), количественно выразили сферический избыток суммы углов.

На рис. 10.4 мы видим, что существует прямая связь между площадью треугольника и суммой внутренних углов. Чем больше размер треугольника, тем сильнее искажение вследствие кривизны, поэтому сумма углов возрастает.

Рис. 10.4. Геодезические треугольники на сфере

Теорема Хэрриота и Жирара дает формулу, связывающую три величины: сумму внутренних углов геодезического треугольника, площадь треугольника и радиус содержащей его сферы. Для простоты мы приведем формулу для треугольников на единичной сфере радиуса 1 (формула для сферы произвольного радиуса получается путем соответственного масштабирования величин).

Поскольку сумма внутренних углов плоского треугольника равна π, мы можем записать эту формулу по-другому:

площадь = (сумма углов) — (сумма углов плоского треугольника).

Таким образом, площадь сферического треугольника — это как раз та величина, на которую сумма его углов превышает сумму углов плоского треугольника. Как мы увидим, эта примечательная формула обобщается на сферические многоугольники с числом сторон больше трех. Кстати, это первый конкретный пример, показывающий, почему углы удобнее измерять в радианах; формула перестает быть верной, если углы измерены в градусах.

Для разогрева убедимся, что эта теорема верна для большого геодезического треугольника на рис. 10.4 (в предположении, что сфера единичная). Мы можем покрыть всю сферу восемью такими треугольниками — четыре в северной полусфере и четыре в южной. Поэтому площадь треугольника равна одной восьмой площади сферы. Поскольку площадь сферы радиуса r равна 4πr², то площадь единичной сферы (г = 1) равна 4π. Следовательно, площадь треугольника равна одной восьмой от 4π, или π/2.

Легко проверить, что теорема Хэрриота-Жирара дает тот же результат. Сумма трех внутренних углов этого треугольника равна 3π/2. Поэтому, согласно теореме, площадь треугольника равна (3π/2) — π = π/2, что совпадает с предыдущим вычислением.

Это соотношение было независимо открыто Хэрриотом и Жираром. Британский ученый Томас Хэрриот — личность загадочная. Он был талантливым и активным исследователем, но никогда не публиковал своих работ. После его смерти осталось десять тысяч страниц неопубликованных рукописей, диаграмм, измерений и вычислений. Один биограф писал, что отвращение Хэрриота к публикации «во многом можно объяснить неблагоприятными внешними условиями, проволочками и нежеланием публиковать трактат, если, как он думал, его еще можно улучшить»⁷⁸. Многие его статьи были напечатаны посмертно. Больше всего он известен работами по алгебре, но занимался также оптикой, астрономией, химией и лингвистикой. Хэрриот, подобно Лейбницу и Эйлеру, снискал репутацию автора новой и элегантной математической нотации. К сожалению, из-за трудностей типографского набора нестандартных символов не все его идеи представлены в печатном виде и потому не получили широкого признания. Но два символа дошли до наших дней: < (меньше) и > (больше). Очень мало известно о личной жизни Хэрриота. В 1585 г. сэр Уолтер Рэйли отправил его в годичное путешествие в Новый Свет в качестве землемера и картографа. Так что, по-видимому, он был первым профессиональным математиком, ступившим на землю Северной Америки.

Французский математик Альбер Жирар обосновался в Голландии, скорее всего, потому что, будучи протестантом, не мог жить в отчем доме во французской Лотарингии. Сегодня он известен своими работами по алгебре и тригонометрии. Он первым стал использовать сокращения sin, tan и sec для тригонометрических функций синус, тангенс и секанс, а также символ ∛ для обозначения кубического корня. Также Жирар первым из математиков придал геометрический смысл отрицательным числам. Он писал: «Отрицательное решение в геометрии объясняется движением в обратном направлении, а знак минус означает возврат назад, тогда как + — продвижение вперед»⁷⁹.

Исторически с формулой площади сферических треугольников связывается имя Жирара, а не Хэрриота. Это и понятно, потому что первым в печати появилось доказательство Жирара, опубликованное в 1629 году⁸⁰. Жирар известен своим лаконичным стилем, в его доказательствах часто отсутствуют детали. Даже самому Жирару это доказательство казалось неудовлетворительным — он назвал результат «вероятным заключением»⁸¹. Двадцатью шестью годами раньше эту же теорему доказал Хэрриот, о чем Жирар не знал. Разумеется, как мы уже сказали, Хэрриот не опубликовал ни этот, ни какой-либо другой свой результат. Но и в секрете он его не держал. Его доказательство было известно современникам; британский математик Генри Бриггс (1561–1630) сообщил Кеплеру о результате Хэрриота и включил его в список великих открытий своего времени. Но нет никаких свидетельств того, что Жирару было известно о доказательстве Хэрриота.

Поскольку Хэрриот первым доказал теорему, а Жирар первым опубликовал ее, теперь этот результат называется теоремой Хэрриота-Жирара. Стоит отметить, что доказательство Херриота гораздо проще и элегантнее доказательства Жирара. Приведенное ниже рассуждение принадлежит Лежандру, но оно очень похоже на доказательство Хэрриота.

В доказательстве Жирара остроумно используется объект, называемый двуугольником (по аналогии с треугольником). Это область, ограниченная двумя большими окружностями (рис. 10.5). Две большие окружности всегда пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы. Если две окружности пересекаются под углом a с одной стороны, то и с другой стороны они тоже пересекаются под углом a. Если угол a измерен в радианах, то площадь двуугольника (на единичной сфере) равна 2a. Этот факт легко выводится из простой пропорции: площадь двуугольника относится к полной площади сферы, как угол a к 2π (что видно по рис. 10.6). Поэтому имеем

Рис. 10.5. Двуугольник на сфере

Теперь рассмотрим на единичной сфере геодезический треугольник ABC с внутренними углами a, b и c. Этот треугольник содержится в некоторой полусфере. Продолжим стороны ABC до пересечения с границей полусферы. Обозначим (см. рис. 10.7) D, E, F, G, H, I точки, в которых эти окружности пересекаются с краем полусферы.

Рис. 10.6. Сферический двуугольник (слева) и вид сверху (справа)

Рис. 10.7. Большие окружности на полусфере

В силу симметрии сферы сумма площадей областей ADE и AGH равна площади двуугольника с углом a. Иным словами, если вырезать треугольник AGH и склеить край GH с краем ED, то получится двуугольник с углом a. Из этого наблюдения мы заключаем, что

площадь(ADE) + площадь(AGH) = площадь двуугольника = 2a.

Аналогично общая площадь треугольников BFG и BDI равна площади двуугольника с углом b, а треугольников CHI и CEF — площади двуугольника с углом c. Следовательно, имеем

площадь(BFG) + площадь(BDI) = 2b

и

площадь(CHI) + площадь(CEF) = 2с.

Складывая оба равенства, получаем

[площадь(ADE) + площадь(AGH)] +

[площадь(BFG) + площадь(BDI)] +

[площадь(CHI) + площадь(CEF)] = 2a + 2b + 2с.

Внимательно взглянув на левую часть этого выражения, мы увидим, что площадь каждой области полусферы входит в сумму по одному разу, за исключением площади треугольника ABC, которая учтена трижды. Таким образом, имеем

площадь(полусферы) + 2 площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.

Поскольку площадь полусферы равна 2π, получаем

2π + 2 площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.

Изменив порядок членов и поделив на 2, приходим к окончательному выводу:

площадь(АВС) = a + b + с — π,

что и требовалось доказать.

В доказательстве формулы Эйлера, найденном Лежандром, нам понадобится следующее обобщение теоремы Хэрриота-Жирара на геодезические многоугольники с числом сторон больше 3.

Сумма внутренних углов любого плоского π-угольника равна (n — 2)π. (Мы более пристально рассмотрим эту теорему и ее обобщения в главе 20.) Поэтому, как и в случае треугольников, площадь геодезического многоугольника просто равна величине, на которую сумма его углов превышает сумму углов плоского многоугольника с таким же числом сторон. То есть

площадь = (сумма углов) — (сумма углов плоского n-угольника).

Чтобы понять, почему эта теорема верна, разобьем многоугольник на геодезические треугольники, проведя диагонали. При таком разбиении получается n — 2 треугольника (рис. 10.8). Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника, а сумма их углов равна сумме углов многоугольника. Применив теорему Хэрриота-Жирара ко всем n — 2 треугольникам и просуммировав левые и правые части, находим площадь многоугольника:

площадь = а₁ +… + a_n — (n — 2)π = а₁ +… + а_π — nπ + 2π.

Запомнить эту формулу просто. Изобразим многоугольник, как показано на рис. 10.9. Рядом с каждым углом напишем его величину, рядом с каждым ребром —π, а в центре 2π. Площадь многоугольника равна сумме этих величин. Это наглядное представление окажется полезным для понимания доказательства Лежандра.

Рис. 10.8. Сферический многоугольник, разбитый на треугольники

Рис. 10.9. Площадь сферического многоугольника равна сумме величин на рисунке

Вот теперь, наконец, мы готовы привести рассуждение Лежандра. Начнем с выпуклого многогранника, имеющего V вершин, E ребер и F граней. Пусть x — произвольная точка внутри него. Как показано на рис. 10.10, построим сферу с центром в x, внутри которой целиком заключен многогранник. Поскольку конкретные единицы измерения не имеют значения, мы можем выбрать их так, что радиус сферы будет равен единице. Спроецируем многогранник на сферу, проведя лучи, исходящие из точки x. Чтобы наглядно представить себе эту проекцию, можно рассмотреть проволочную модель многогранника и поместить в x лампочку. Тогда проекцией будет тень проволочного каркаса на поверхности объемлющей сферы. Мы не станем доказывать этот факт, а просто отметим, что в этом случае грани многогранника отображаются в геодезические многоугольники.

В своем доказательстве Лежандр использовал стандартный математический прием. Он вычислил одну и ту же величину — в данном случае площадь единичной сферы — двумя разными способами, установив тем самым некое равенство. Сначала он воспользовался хорошо известным фактом — площадь единичной сферы равна 4π. А затем он сложил площади всех граней на сфере, которые в сумме, естественно, составляют полную площадь поверхности.

Рис. 10.10. Проекция многогранника на сферу

По теореме Хэрриота-Жирара, площадь каждой π-угольной грани равна сумме внутренних углов минус nπ — 2π. Вместо того чтобы работать с этой формулой непосредственно, мы воспользуемся наглядным представлением на рис. 10.9. Пометим все углы, ребра и грани на сфере — рядом с каждым углом поместим его величину, рядом с каждым ребром —π, а в центре каждой грани 2π. В результате получится картина, изображенная на рис. 10.11. Чтобы вычислить площадь сферы, просуммируем величины всех меток.

Рис. 10.11. Проекция с метками

Хотя сумма углов при любой вершине многогранника меньше 2π, после проецирования на гладкую поверхность сферы эти углы в сумме дают 2π. Поскольку всего вершин V, они вносят в сумму вклад 2πV. Каждое ребро вносит вклад –2π: —π с одной стороны и —π с другой. Поскольку всего ребер E, их общий вклад составляет –2πЕ. В середине каждой грани находится метка 2π. Поскольку всего граней F, они привносят в сумму величину 2πF. Складывая все вместе, находим, что полная площадь сферы равна

4π = 2πV — 2πЕ +2πF.

Поделив на 2π, получаем формулу Эйлера:

2 = V — E + F.

Сразу видно, что доказательства Эйлера и Лежандра совершенно разные. С одной стороны, кажется, что доказательство Эйлера «правильное» или, по крайней мере, соответствует духу теоремы. Теорема комбинаторная, и Эйлер дал комбинаторное доказательство. Эйлер напрямую использовал связь между вершинами, ребрами и гранями. При удалении вершины для компенсации добавляются или удаляются грани и ребра, так что знакопеременная сумма не изменяется.

С другой стороны, Лежандр для доказательства теоремы ввел понятия, на первый взгляд совершенно с ней не связанные: сферы, углы и площадь. Его подход совершенно законный и весьма остроумный, но из него не видно, почему теорема справедлива, — по крайней мере, не сразу. Тем не менее доказательство Лежандра — первый намек на то, что это нечто большее, чем просто комбинаторная теорема. Тот факт, что мы можем доказать теорему, используя метрическую геометрию, наводит на мысль о важной связи между формулой Эйлера и геометрией. Мы вернемся к этой теме в главах 20 и 21.

И последнее замечание о доказательстве Лежандра. В подходе Эйлера мы осторожно (осторожнее, чем сам Эйлер) применяли формулу только к выпуклым многогранникам. Как и Эйлер, Лежандр предполагал, что многогранники выпуклые. Но в приложении к статье 1809 года Луи Пуансо (1777–1859) заметил, что доказательство Лежандра применимо к несколько более широкому классу тел — звездным многогранникам⁸².

Первым шагом в доказательстве Лежандра было проецирование многогранника на сферу. Для этого нам нужна внутренняя точка x, являющаяся центром проекции. Эта точка должна обладать тем свойством, что из нее «видна» любая точка многогранника. Для выпуклого многогранника мы можем выбрать любую внутреннюю точку. В большинстве же невыпуклых многогранников такой точки нет, а те, в которых она есть, называются звездными (или звездчатыми). Многогранник Кеплера, показанный на рис. 6.6, — пример звездного многогранника, как и те, что показаны на рис. 10.12. В каждом из них существует внутренняя точка, из которой «видно все» и которая, следовательно, может быть выбрана в качестве центра проекции. Пуансо объяснил это следующим образом:

Рис. 10.12. Звездные многогранники

Рис. 10.13. Луи Пуансо

Благодаря Лежандру к концу XIX века под формулу Эйлера было подведено прочное основание для всех выпуклых многогранников, а его популярный учебник раскрыл красоту этой формулы широкой аудитории. В последующие годы Пуансо и другие авторитетные математики были заворожены этим элегантным соотношением. Они искали новые доказательства и дальнейшие обобщения. Чтобы понять некоторые из этих обобщений, нам предстоит познакомиться с теорией графов. Истоки этой дисциплины восходят — неудивительно — к Эйлеру и математической головоломке о мостах города Кёнигсберга.

Приложения к главе

77. Albers (1994).

78. Lohne (1972).

79. Quoted in Itard (1972).

80. Girard (1629).

81. Quoted in Itard (1972).

82. Poinsot (1810).

83. Poinsot (1810).