Жемчужина Эйлера

Глава 12 Плоскостные многогранники Коши

За сто лет, прошедших с того момента, когда Эйлер доказал формулу для многогранников, появилось много новых доказательств и целый ряд обобщений на экзотические многогранные тела. Первое значительное обобщение сделал Огюстен Луи Коши, который также придумал остроумное новое доказательство.

Рис. 12.1. Огюстен-Луи Коши

Коши родился в Париже в 1789 году. Он был старшим сыном высокопоставленного чиновника. Хотя в эпоху террора семья покинула Париж, отец позаботился о том, чтобы сын получил хорошее образование. В юности он познакомился с математиками Пьером-Симоном Лапласом (1749–1827) и Жозефом-Луи Лагранжем, а также с химиком Клодом Луи Бертолле (1748–1822), так что уже на заре своей жизни общался с авторитетными учеными.

Коши недолго работал военным инженером на строительстве Уркского канала, моста Сен-Клод и Шербургской базы флота. Первые математические сочинения он опубликовал в 1811 году, за два года до возвращения в Париж, где начал строить карьеру в математике. В 1815 году он был принят на работу в Политехническую школу.

Коши был потрясающе плодовитым ученым. По количеству написанных работ он уступает только Эйлеру; собрание его сочинений, включающее по меньшей мере семь книг и восемьсот статей, занимает двадцать семь объемистых томов. Наверное, это байка, но говорят, что Французская академия наук ввела правило, ограничивающее количество публикаций одного автора в год, в ответ на неиссякаемый поток работ, выходивший из-под пера Коши.

Коши внес значительный и глубокий вклад во многие разделы математики, включая комплексный анализ, вещественный анализ, алгебру, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию определителей и математическую физику. Многие фундаментальные идеи анализа, высказанные Ньютоном, Лейбницем, Эйлером и другими, были наконец-то поставлены на твердое теоретическое основание именно Коши. Ему мы должны быть благодарны за современные определения непрерывности, предела, производной и определенного интеграла. Благодаря частым лекциям в Политехнической школе и многочисленным публикациям его голос был постоянно слышен в математическом сообществе в течение всей первой половины XIX века.

Непреложным свидетельством влиятельности Коши является количество названных в его честь теорем, свойств и понятий — быть может, больше, чем в честь любого другого математика, включая Эйлера. И тем не менее создается впечатление, что Коши стал одним из величайших математиков вопреки самому себе. Зачастую он публиковал работы, казалось, не осознавая их глубины и важности. Математик Ганс Фройденталь (1905–1990) писал: «Почти во всех случаях он оставлял окончательную форму своих открытий следующему поколению. Всем достижениям Коши недостает глубины, что необычно… Он был самым поверхностным из великих математиков, он обладал несомненным чутьем на простое и фундаментальное, сам того не осознавая»⁹⁵.

Хотя Коши вызывает огромное восхищение как математик, о его личности этого не скажешь. Он был известен своим упрямством и склонностью к мелодраматичности. Типичным примером является его добровольная ссылка из Франции в Турин и Прагу, затянувшаяся почти на десять лет. По политическим убеждениям он был консерватором, последовавшим в изгнание за низложенным королем Карлом X после июльской революции 1830 года. До отъезда из Франции и после возвращения он отказался присягать новому режиму и даже не соглашался выступать на публике. Он был ревностным католиком, но его благотворительная деятельность затмевалась поведением, выдававшим «ханжеского, эгоистичного, узколобого фанатика»⁹⁶. Один биограф писал, что Коши был «высокомерным роялистом в политике и лицемерным, нравоучительным, богобоязненным в религии… большинство коллег-ученых недолюбливало его и считало чопорным ханжой»⁹⁷.

Первые математические работы Коши написал еще в бытность инженером. В них содержатся его результаты по многогранникам, в т. ч. теорема о жесткости (которую мы обсуждали в главе 5) и по формуле Эйлера. Эти важные результаты — один из очень немногих вкладов Коши в геометрию.

Первая особенность, отличающая доказательство формулы Эйлера, данное Коши, от предшествующих, заключается в том, что многогранники считаются полыми, а не сплошными. Точнее, он рассматривает «выпуклую поверхность многогранника»⁹⁸. Из-за его языка и оттого, что в других местах статьи он вырезает из многогранника куски, может показаться, что он по-прежнему рассматривает многогранник как сплошное тело и только для целей доказательства предполагает, что он полый.

Первый шаг доказательства Коши — преобразование этого полого многогранника в граф на плоскости. Он удаляет из многогранника одну грань, а затем «путем переноса на эту грань всех остальных вершин, не изменяя их числа, получает плоскую фигуру, состоящую из нескольких многоугольников внутри данного контура». Коши уточняет это построение, говоря, что «остальные грани… можно рассматривать как образующие набор многоугольников, содержащихся в области, которую занимала удаленная грань». Этот процесс показан на рис. 12.2, где многогранник в форме домика спроецирован на плоскость пола.

Рис. 12.2. Коши спроецировал многогранник на нижнюю грань

Жозеф Диас Жергонн (1771–1859), современник Коши, с которым мы еще встретимся в главе 15, так описывал этот процесс:

В своей замечательной книге «Доказательства и опровержения» Имре Лакатос (1922–1974) изложил идею Жергонна в современном виде, предложив поместить фотокамеру рядом с удаленной гранью и сфотографировать внутренность многогранника. Тогда на фотографии появится интересующий нас граф. Наглядно представить плоскостной многогранник можно также с помощью теней, отбрасываемых его ребрами, когда рядом с удаленной гранью помещена лампа (рис. 12.3).

Рис. 12.3. Плоскостной многогранник, рассматриваемый как тень своих ребер

Коши осознал, что достаточно установить связь между числом вершин, ребер и граней этого графа, и доказал, что для любого такого графа имеет место формула V — E + F = 1. После того как этот факт установлен, уже нетрудно завершить доказательство формулы для многогранников. Граф, полученный переносом многогранника на плоскость, имеет столько же вершин и ребер, сколько многогранник, но на одну грань меньше. Поскольку для графа V — E + F = 1, то для многогранника V — E + F = 2. Распространение формулы Эйлера на графы на плоскости — одно из самых полезных ее обобщений.

Идея доказательства Коши заключается в том, чтобы добавлять и удалять ребра таким образом, что величина V — E + F не изменяется. Тогда в конце останется один треугольник, для которого V — E + F = 3–3 + 1 = 1, откуда следует, что V — E + F = 1 для исходного графа. На первом шаге доказательства Коши разбивает граф на треугольники, добавляя диагонали в каждую нетреугольную грань (рис. 12.4). Эта процедура называется триангуляцией графа. При добавлении каждой диагонали число ребер увеличивается на единицу, число граней уменьшается на единицу, а число вершин не изменяется. Поэтому величина V — E + F для модифицированного графа такая же, как для исходного. Триангулировав граф, мы начинаем упрощать его, удаляя наружные ребра по одному до тех пор, пока не останется один треугольник (один из возможных порядков упрощения обозначен числовыми метками на рис. 12.4).

Рис. 12.4. Порядок удаления треугольников из триангулированного графа

Заметим, что треугольник, примыкающий к внешней границе графа, может иметь одно или два наружных ребра. В первом случае треугольник можно удалить, убрав одно ребро и оставив на месте все вершины (как треугольник 1 на рисунке). Во втором случае для удаления треугольника нужно убрать два ребра и одну вершину (как в случае треугольника 2 на рисунке). В обоих случаях величина V — E + F не изменяется. Следовательно, она остается такой же, как для исходного графа.

Впоследствии доказательство Коши было подвергнуто критике. Как Эйлер попал впросак, не дав четких инструкций по порядку удаления пирамид, так и Коши не привел надежных указаний, в каком порядке отрезать треугольники. Если действовать неаккуратно, то можно, следуя алгоритму Коши, получить несвязный граф, для которого доказываемое соотношение не выполняется. Например, на рис. 12.5 мы удаляли треугольники в неправильном порядке и в результате получили несвязный граф, не удовлетворяющий формуле Эйлера (V = 10, E = 14, F = 6). Тем не менее всегда возможно, воспользовавшись методом Коши, упростить граф, не сталкиваясь с такой ситуацией.

Рис. 12.5. Метод Коши может приводить к вырожденным многоугольникам

Как мы уже отмечали, Коши поставил рекорд по доказательству теорем, не осознавая их важности и не доводя до логического завершения. Яркий пример — его доказательство формулы Эйлера. В своей статье он явно утверждает, что его доказательство применимо к выпуклым многогранникам. Это правда, но на самом деле оно применимо к гораздо более общему классу многогранников. Ключевой шаг доказательства Коши — удаление грани и перенос оставшейся части многогранника на плоскость удаленной грани, так чтобы никакие грани не пересекались. Это можно сделать для любого выпуклого многогранника, но также и для многих других.

Например, доказательство Коши проходит без каких-либо изменений для невыпуклого многогранника на рис. 12.6. Чтобы убедиться в этом, просто расположим камеру Лакатоса рядом с нижней гранью куба.

Рис. 12.6. Куб с вырезанным уголком и его граф

Лакатос и математик Эрнст Штайниц (1871–1928) считают, что Коши знал, что его доказательство применимо к некоторым, а быть может, и ко всем невыпуклым многогранникам. Недоразумение проистекает из небрежного употребления Коши слова «выпуклый». Оно отсутствует в формулировке теоремы, но в доказательстве он говорит о «выпуклой поверхности многогранника». Он так никогда и не развеял это недоразумение, поэтому невозможно сказать, что он знал и чего не знал.

Независимо от того, понимал ли Коши, что его результат можно распространить и на некоторые невыпуклые многогранники, другие это быстро заметили. В 1813 году, в тот же год, когда была опубликована статья Коши, Жергонн дал свое доказательство формулы Эйлера. Впоследствии он писал: «И все же кто-то может предпочесть — и не без причины — красивое доказательство г-на Коши, обладающее тем драгоценным преимуществом, что в нем не предполагается выпуклость многогранника»¹⁰⁰.

При некотором воображении доказательство Коши можно применить и к еще более широкому классу многогранников. В современных вариантах этого доказательства многогранник предполагается сделанным из резины. Если после удаления грани оставшуюся часть многогранника можно растянуть на плоскости без перекрытий и складывания, то доказательство Коши применимо. В главе 15 мы увидим патологические примеры многогранников, не обладающих этим свойством — после удаления грани остаток нельзя разложить на плоскости. Оказывается, что ключевым свойством является то, что многогранник имеет «форму сферы». Мы подробно обсудим это кажущееся расплывчатым свойство в главе 16. Коши был буквально в шаге от осознания этого важнейшего свойства. Если бы он обратил на него внимание, то сделал бы важный вклад в только зарождавшуюся дисциплину — топологию, или analysis situs, как ее тогда называли. Как писал Жак Адамар (1865–1963) в 1907 году:

Коши недооценил весь потенциал своего доказательства не только для многогранников, но и для графов. Например, Артур Кэли (1821–1895) в 1861 году заметил, что доказательство Коши применимо также к графам с криволинейными ребрами (этот факт был независимо отмечен Листингом в 1861 году и Камилем Жорданом [1838–1922] в 1866 году)¹⁰². В формулировке своей теоремы Коши предполагал, что граф — это совокупность многоугольников внутри многоугольной области. В следующей главе мы увидим, что о графах можно высказывать гораздо более общие утверждения, но для этого нужно сначала ввести современную терминологию.

Приложения к главе

94. Abel (1881), 259.

95. Freudenthal (1971).

96. Там же.

97. Simmons (1992), 186.

98. Cauchy (1813a).

99. Lhuilier (1813).

100. Там же.

101. Hadamard (1907).

102. Listing (1861-62); Jordan (1866b).