Жемчужина Эйлера

Глава 16 Резиновые листы, полые бублики и безумные бутылки

К середине XIX века математики гораздо лучше понимали, как формула Эйлера применяется к многогранникам. Именно в то время они начали задаваться вопросом, применима ли она к другим объектам. Что, если мы говорим не о многограннике с плоскими гранями, а об изогнутой поверхности, например сфере или торе? И как в этом случае должно выглядеть разбиение? Напомним, что в 1794 году Лежандр воспользовался разбиением сферы на геодезические многоугольники, а Кэли показал, что, когда формула Эйлера применяется к графам, ребра необязательно должны быть прямолинейными.

Эти дискуссии знаменуют переход от геометрии к топологии. В популярной литературе часто встречается выражение «геометрия на резиновом листе», когда нужно рассказать, что такое топология, людям, незнакомым с этим термином. Хотя математики-буквалисты будут возмущены таким чрезмерным упрощенчеством, это все же разумный способ описать различие между топологией и геометрий. В геометрии важно, что объекты изучения жесткие. Измерение длин и углов, доказательство конгруэнтности, вычисление площадей и объемов — все это требует точной и неподвижной геометрической структуры.

Выше мы видели, что в некоторых случаях жесткость и неизгибаемость геометрических фигур не нужны и, более того, только затемняют математическую сторону предмета. Изучая кёнигсбергские мосты, Эйлер обнаружил, что важна общая конфигурация, а не точные местоположения. Это наблюдение привело к созданию теории графов, одному из первых воплощений топологии. Далее мы видели, что знакопеременная сумма V — E + F зависит только от общей формы — топологии — объекта, а не от числа граней или их конфигурации. Мы заметили, что для любого сферического многогранника имеет место равенство V — E + F = 2, для многогранника с g «туннелями» — равенство V — E + F = 2 — 2g, а для любого связного планарного графа — равенство V — E + F = 1.

Поэтому нетрудно представить, что формула Эйлера может быть применима и к другим объектам, отличным от многогранников. Начнем с резинового многогранника, удовлетворяющего формуле V — E + F = 2. Можно ли изменить его форму, так чтобы было V — E + F ≠ 2? Это нелегко. Если мы просто надуем его, как воздушный шарик, так что все грани и ребра перестанут быть прямыми, то знакопеременная сумма не изменится. Если мы сожмем его, перекрутим или вытянем, то соотношение между числом вершин, ребер и граней останется неизменным. И лишь если мы ножом прорежем воздушный шарик, то знакопеременная сумма изменится (появится по крайней мере одно новое ребро). В следующей главе мы более подробно обсудим, что значит, что две формы топологически «одинаковы», и выясним, как формула Эйлера применяется к различным топологическим формам.

Математический термин «топология» относится к 1847 году (до того он применялся только в ботанике). Впервые он появился на немецком в заголовке книги Листинга «Vorstudien zur Topologie»¹³⁶, хотя и до того уже десять лет использовался в переписке. На английском его впервые употребил Питер Гатри Тэйт (1831–1901) в надгробном слове Листингу в 1883 году. Он писал: «Термин топология был введен Листингом, чтобы отличить то, что может быть названо качественной геометрией, от обыкновенной геометрии, в которой рассматриваются главным образом количественные соотношения»¹³⁷. Термин «топология» прижился не сразу. Такие авторитетные математики, как Анри Пуанкаре и Освальд Веблен, продолжали пользоваться французским термином analysis situs. Великий тополог начала XX века Соломон Лефшец (1884–1972) не был в восторге от этого словосочетания. Он говорил, что analysis situs — «красивый, но неуклюжий термин»¹³⁸.

Восхождение Лефшеца на вершину славы любопытно. Он родился в России в 1884 году в семье евреев, бывших подданными Османской империи, рос и учился во Франции, эмигрировал в Америку и стал работать инженером в Филадельфии. В двадцать шесть лет в результате тяжелой производственной травмы он потерял обе руки и решил строить карьеру в математике. За один год он написал докторскую диссертацию в университете Кларка и некоторое время преподавал в Небраске, а затем получил место в Канзасском университете в Лоуренсе. Затем, в возрасте сорока лет, после десяти лет важной работы, его приняли на работу в Принстонский университет. За свою долгую выдающуюся карьеру он получил многочисленные награды, включая Национальную научную медаль США.

Согласно Альберту Такеру (1905–1995), одному из учеников Лефшеца, именно Лефшец популяризировал употребление термина «топология». Свою оказавшую сильное влияние книгу, написанную по просьбе Американского математического общества, он назвал «Топология». Вот что пишет Такер:

Мы начнем знакомство с топологией с рассмотрения поверхностей. Примерами поверхностей являются двумерная плоскость, сфера, тор, диск и цилиндр. Поверхность — это любой объект, который локально выглядит как плоскость. Если посадить муравья на большую поверхность, то он будет думать, что сидит на двумерной глади. Умный муравей мог бы обнаружить, что поверхность не плоская, предприняв ее исследование (подобно тому, что пытался сделать Колумб, когда отправился на запад на поиски Индии), но, оставаясь на месте, он никогда этого не узнает.

Рис. 16.1. Муравей на поверхности сферы и тора

Важно понимать различие между внутренней и внешней размерностью. Муравей, сидящий на поверхности, скажет вам, что она локально двумерная — внутренняя размерность поверхности равна двум. Но чтобы мы могли построить физическую копию этой поверхности, она должна где-то находиться, размерность этого объемлющего пространства называется внешней размерностью. Внутренняя размерность сферы и тора равна двум, но они должны находиться в трехмерном пространстве, поэтому внешняя размерность равна трем. Вскоре мы встретимся со странными поверхностями, которые нельзя построить в трехмерном пространстве. Их внешняя размерность равна 4. С топологической точки зрения наиболее важна внутренняя размерность поверхности; именно поэтому мы говорим, что поверхности двумерны.

Поверхности характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Иными словами, вблизи все они одинаковы. Все выглядят, как евклидова плоскость. Но глобально они могут существенно различаться. Они могут заворачиваться, иметь сквозные дыры, могут быть скрученными или завязанными в узел и т. д.

Сфера и тор — примеры замкнутых поверхностей. В них нет проколов, они не простираются в бесконечность и не имеют резких границ. Иногда мы хотим рассматривать незамкнутые поверхности. Диск и цилиндр — примеры поверхностей с краем. Поверхность с краем по-прежнему локально двумерная, но может иметь одну или более одномерных граничных кривых. Некоторые сторонники теории плоской Земли верят, что Земля имеет край. На такой планете незадачливый Колумб не добрался бы до Индии, а свалился бы через край в океан.

Для простоты мы будем использовать термин «поверхность», имея в виду компактную поверхность. Термин «компактная» означает, что поверхность ограничена и содержит все свои края. Иначе говоря, мы не рассматриваем неограниченные поверхности, такие как двумерная плоскость или цилиндрическая труба, уходящие в бесконечность в обоих направлениях. Говоря, что поверхность должна содержать все свои края, мы хотим исключить такие поверхности, как открытый единичный диск (x² + y² < 1). Открытым единичным диском называется множество всех точек, отстоящих от начала координат на расстояние, строго меньшее 1; это единичный диск (x² + у² ≤ 1), из которого удалена граничная окружность. Хорошая аналогия — обтрепанные штаны после отрезания размахрившихся краев, нам эта бахрома нужна.

В 1882 г. Феликс Клейн (1849–1925) придумал остроумный способ построения поверхностей¹⁴⁰. Он начал с многоугольника (представьте, что он сделан из очень мягкой резины) и строил поверхность, попарно склеивая его стороны. Например, если взять квадрат, скатать его в трубочку и склеить две противоположные стороны, то получится цилиндр (рис. 16.2). Заметим, что если бы вместо скатывания квадрата в цилиндр мы деформировали фигуру на плоскости, пока противоположные стороны не сойдутся (для этого нужна очень мягкая резина!), то получилось бы кольцо в виде крепежной шайбы. Для тополога цилиндр и кольцо неразличимы.

Чтобы было понятно, какие стороны склеивать и в каком направлении, их обычно снабжают стрелками. есть два разных способа склеить пару сторон: с перекручиванием и без. Чтобы обозначить нужное совмещение, мы и используем стрелки. Когда требуется склеить не одну пару сторон, а больше, используются кратные стрелки или стрелки разной формы, чтобы показать, какие стороны склеиваются. На рис. 16.3 мы склеиваем обе пары противоположных сторон квадрата. Для этого одна пара сторон помечается одиночными стрелками, а другая — двойными. Сначала склеивается одна пара сторон и получается цилиндр. Затем, поскольку обе граничные окружности имеют совместимые ориентации, мы соединяем их и получаем тор.

Рис. 16.2. Цилиндр или кольцо

Рис. 16.3. Создание тора из квадрата

В некоторых старых аркадных играх, например Asteroids, использовалось такое тороидальное представление. Покидая прямоугольный экран с одной стороны, космический корабль неожиданно появлялся с другой (рис. 16.4). А если он вылетал наверх, то появлялся снизу. В других играх применялись иные топологические конфигурации. Например, игра Pac-Man разворачивалась на поверхности цилиндра.

Нет никакой нужды ограничиваться квадратами при построении поверхностей. На рис. 16.5 показан восьмиугольник с четырьмя парами противоположных сторон (они помечены одиночными и двойными стрелками, а также одиночными и двойными треугольниками). Чтобы представить, как выглядит получающаяся поверхность, полезно сделать диагональный разрез восьмиугольника (разрез помечен тремя стрелками, чтобы впоследствии склеить его края вместе). Деформируем оба пятиугольника в квадраты с вырезом. Эти квадраты похожи на квадрат на рис. 16.3, поэтому после склеивания они образуют тор с отрезанной горбушкой. Наконец, склеиваем оба тора по границам отрезов и получаем тор с двумя дырками (или двойной тор).

Клейн доказал, что любую поверхность можно представить в виде многоугольника с парами склеенных сторон, но может существовать много представлений одной поверхности в виде многоугольников. По счастью, у каждой поверхности есть «красивое» многоугольное представление, и путем разрезания и склеивания любое многоугольное представление можно преобразовать в красивое¹⁴¹.

Во всех рассмотренных выше примерах стороны многоугольников склеивались без перекручивания. На рис. 16.6 показан квадрат, противоположные стороны которого склеены с перекручиванием. Поскольку квадрат сделан из резины, мы можем его вытянуть, скатать, как если бы собирались склеить цилиндр, но перед склеиванием повернуть один конец на полоборота. В результате получится хорошо известная лента Мёбиуса.

Рис. 16.6. Лента Мёбиуса

Хотя построить ленту Мёбиуса просто, она обладает многими удивительными свойствами. В отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего одна сторона. Муравей, ползущий вдоль средней линии ленты Мёбиуса, вернется в исходную точку, оставаясь все время на одной стороне. Эту мысль можно выразить и по-другому: цилиндр можно покрасить в синий цвет с одной стороны и в красный с другой, но лента Мёбиуса может быть только целиком красной или целиком синей. Кроме того, в отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего один край. Муравей будет видеть край слева и справа от себя, не понимая, что на самом деле это один и тот же край.

Лента Мёбиуса — топологический объект, обожаемый любителями математики. его изображали многие скульпторы и художники. Пожалуй, самый знаменитый художественный образ принадлежит М. К. Эшеру (1898–1972), который в 1963 году выполнил на дереве гравюру с изображением (кого же еще!) муравьев, ползущих по ленте Мёбиуса (рис. 16.7). Она встречается и в литературе — обычно в научной фантастике, — например в коротком рассказе Артура Кларка «Стена мрака», написанном в 1949 году¹⁴². Она же лежит в основе удостоенного награды дизайна Гэри Андерсона, который на конкурсе ко Дню Земли в 1970 году создал символ вторичной переработки, ныне встречающийся повсеместно[9]. Лента Мёбиуса применяется для создания конвейерных лент и ленточных петель, чтобы они изнашивались равномерно.

Рис. 16.7. Две знаменитые ленты Мёбиуса: «Лента Мёбиуса II» Эшера (1963) и символ вторичной переработки

Лента Мёбиуса даже лежит в основе фокуса с загадочным названием «афганские ленты», который можно проследить по крайней мере до 1882 года. Фокусник держит в руках три матерчатые петли — как он объясняет, выполняющие функции поясов для одежды. Беда в том, жалуется он, что ему нужны пояса для двух клоунов, полной дамы и сиамских близнецов. Он берет первую полоску, разрезает ее вдоль средней линии и получает пояса для обоих клоунов. Потом так же кромсает вторую полоску, но вместо двух петель получает одну удвоенной длины — пояс для полной дамы. Наконец, чтобы получить пояса для близнецов, он разрезает третью полоску и получает два сцепленных вместе пояса. Фокус, как видно на рис. 16.8, в том, что петли изначально перекручены (ноль раз, один раз и два раза соответственно). Для максимального эффекта ткань или бумага должны быть гибкими, а их ширина должна быть гораздо меньше длины, чтобы публика не заметила перекрутов. Стивен Барр предлагает следующую драматичную модификацию¹⁴³. До начала представления нанесите горючую жидкость на среднюю линию скрученной петли. Выступая перед публикой, прикрепите край петли к стене и поднесите к ткани спичку. Вспышка пламени — и петля распадается на части нужной конфигурации.

Читателю стоит отложить книгу и попробовать эти и другие варианты разрезания (см. примеры в приложении A). Попробуйте перекрутить ленты более двух раз. Попробуйте разрезать ленту Мёбиуса вдоль линии, проходящей на расстоянии 1/3 от одного из «двух» краев. Лично мне больше всего нравится фокус, придуманный Стэнли Коллинзом¹⁴⁴. Протащите ленту через обручальное кольцо и только потом перекрутите ее три раза и склейте. Если теперь разрезать ленту посередине, то образуется узел, и кольцо окажется внутри него!

Рис. 16.8. Афганские ленты

Лента Мёбиуса названа в честь Мёбиуса, но почти в то же время ее открыл Листинг (именно Листинг первым обратил внимание на математику, лежащую в основе будущего фокуса с афганскими лентами). Листинг опубликовал свое описание ленты Мёбиуса в 1861 году¹⁴⁵, через четыре года после Мёбиуса¹⁴⁶. Из переписки и замечаний следует, что первое упоминание принадлежит Листингу (июль 1858 года), который опередил Мёбиуса (сентябрь) на несколько месяцев.

Причина, по которой лента Мёбиуса не носит имя Листинга, заключается в том, что Мёбиус первым понял математический смысл свойства односторонности. Сегодня мы называем такие поверхности неориентируемыми. Есть несколько способов описать это явление математически. Мёбиус показал, что ленту Мёбиуса невозможно разбить на треугольники, а затем на каждом из них выбрать ориентацию, согласованную с соседями (см. рис. 16.9).

Впоследствии Клейн определил ориентируемость по-другому. Поместим на поверхность небольшую окружность и выберем на ней ориентацию. Эта окружность не нарисована на одной стороне поверхности, а является частью поверхности, поэтому видна на обеих сторонах (на одной она будет ориентирована по часовой стрелке, а на другой — против часовой стрелки). Представим, что поверхность сделана из папиросной бумаги, а окружность нарисована фломастером, так что просвечивает с другой стороны. Клейн называл такую окружность индикатрисой. если индикатрису можно переместить вдоль поверхности, так что она вернется в исходную точку с противоположной ориентацией, то поверхность неориентируемая. На рис. 16.10 показано, что лента Мёбиуса неориентируема, поскольку при перемещении вдоль средней линии индикатриса меняет ориентацию.

Рис. 16.9. Триангуляцию ленты Мёбиуса невозможно ориентировать

Рис. 16.10. Лента Мёбиуса неориентируема

Вальтер фон Дик (1856–1934), ученик Клейна, дал еще одно определение. Он поместил на поверхность подвижную систему координат (x, y). Если можно переместить эту систему координат по поверхности, так что оси поменяются местами, то поверхность неориентируемая (одно из преимуществ подхода Дика в том, что он легко обобщается на многомерные топологические объекты).

Интересно отметить, что математики не используют свойство односторонности для определения неориентируемости. Хотя может показаться, что односторонность и неориентируемость эквивалентны, Клейн и фон Дик доказали, что в многомерных пространствах односторонность теряет всякий смысл, а неориентируемость — нет. Понятие стороны имеет смысл только для поверхностей в трехмерном пространстве. Говорить о внутренности или внешности поверхности — даже сферы — в 4-мерном пространстве бессмысленно.

Это и другие утверждения о многомерных пространствах, которые еще будут сделаны ниже, трудно воспринять. Требуются мысленные усилия, к которым мозг человека не приучен природой. Как писал математик Томас Банхофф, «все мы рабы предрассудков своей размерности»¹⁴⁷.

Чтобы проиллюстрировать трудное для понимания заявление о том, что в 4-мерном пространстве поверхности не имеют сторон, мы понизим размерность и перейдем от поверхностей к кривым. На рис. 16.11 слева видно, что в любой точке кривой на плоскости векторы нормали могут указывать в двух направлениях (вектор называется нормальным к кривой, если он перпендикулярен касательной к ней). Таким образом, у плоской кривой есть стороны, а поскольку невозможно переместить вектор нормали вокруг кривой, так чтобы он вернулся в исходную точку, сменив направление, сторон две. Если речь идет о простой замкнутой кривой, т. е. замкнутой петле, не пересекающей саму себя, то эти направления называются внутрь и вовне (на самом деле кажущееся таким очевидным утверждение, что у всякой простой замкнутой кривой есть внутренность и внешность, — это глубокий факт, известный под названием теоремы Жордана).

Рис. 16.11. Кривая на плоскости двусторонняя, но у кривой в трехмерном пространстве нет сторон

С другой стороны, для кривой в трехмерном пространстве нормальных направлений в каждой точке бесконечно много (как показывает круг нормальных векторов на рис. 16.11 справа). Поэтому понятие стороны в данном случае бессмысленно.

Аналогично в любой точке поверхности в трехмерном пространстве нормальных направлений два (нормальный вектор перпендикулярен плоскости, касательной к поверхности). Для неориентируемых поверхностей можно переместить нормальный вектор вокруг поверхности, так что он вернется в исходную точку, сменив направление на противоположное, поэтому поверхность односторонняя (см. рис. 16.12). Для ориентируемых поверхностей это невозможно, поэтому они двусторонние. Но для поверхности в 4-мерном пространстве нормальных направлений в любой точке бесконечно много, поэтому, как и для кривой в трехмерном пространстве, говорить о сторонах не имеет смысла.

Рис. 16.12. В трехмерном пространстве лента Мёбиуса односторонняя, а тор двусторонний

Лента Мёбиуса — не единственная неориентируемая поверхность. В 1882 году Клейн открыл еще одну, вообще не имеющую края, теперь она называется бутылкой Клейна¹⁴⁸. На рис. 16.13 показано, как получить ее путем склеивания сторон квадрата. Нужно склеить противоположные стороны вместе; левая и правая склеиваются с перекручиванием, а верхняя и нижняя без перекручивания. Для построения бутылки Клейна склеим две одинаково ориентированные стороны, получится цилиндр. Если теперь свернуть цилиндр наподобие тора, то разные концы будут иметь противоположные направления. Но вместо того чтобы сразу склеивать их, мы должны «протащить» цилиндр через собственную стенку и вытащить наружу, так чтобы окружности оказались одинаково ориентированными.

Рис. 16.13. Бутылка Клейна

Что значит «протащить»? Мы не имеем в виду буквальное действие. Бутылка Клейна — наш первый пример поверхности, которую нельзя построить в трехмерном пространстве. Говоря, что бутылка проходит сквозь себя, мы имеем в виду обход в четвертом измерении. Чтобы проиллюстрировать эту малопонятную идею, снова понизим размерность. Пусть требуется провести на плоскости две непараллельные, но не пересекающиеся прямые. Очевидно, что это невозможно, но если бы было разрешено выйти за пределы двумерного листа бумаги и воспользоваться третьим измерением, то мы могли бы перед точкой пересечения перепрыгнуть через прямую (рис. 16.14). Таким образом, две прямые по существу плоские, но требуется чуть-чуть задействовать третье измерение. С помощью точно такого же приема мы можем построить и бутылку Клейна. Когда понадобится протащить горлышко сквозь стенку, мы совершим небольшой прыжок в четвертом измерении.

Рис. 16.14. Совершив обход с выходом в третье измерение, мы можем избежать пересечения прямых

Но вернемся к квадрату и создадим последнюю поверхность в этой главе. Представить ее наглядно труднее всего. Нужно склеить обе пары противоположных сторон, предварительно перекрутив каждую (рис. 16.15). Для начала деформируем квадратный лист резины, так чтобы он принял форму чаши. Будем внимательно следить за тем, какие участки границы с какими склеивать. Продолжим деформацию, так чтобы подлежащие склеиванию стороны оказались напротив друг друга и имели одинаковую ориентацию. Склеим одну пару сторон (на рис. 16.15 мы склеили стороны, помеченные двойными стрелками). Мы оказались в затруднительном положении — после такого склеивания оставшаяся пара сторон находится по разные стороны новой поверхности. Чтобы довершить склеивание, придется воспользоваться четвертым измерением, чтобы поверхность могла пройти сквозь себя. На рис. 16.15 приведено два разных представления этой странной неориентируемой поверхности, которая называется проективной плоскостью.

Впервые проективная плоскость возникла не в этом контексте — как объект, полученный склеиванием поверхностей. Как вытекает из самого названия, это был предмет изучения проективной геометрии — геометрической системы, в которой любые две прямые, даже параллельные, пересекаются в какой-то точке. Клейн и Людвиг Шлефли (1814–1895) первыми поняли, что проективная плоскость неориентируема.

Рис. 16.15. Проективная плоскость

В приложении A показано, как склеить из бумаги цилиндр, тор, ленту Мёбиуса, бутылку Клейна и проективную плоскость.

Клейн предложил один метод создания сложных поверхностей из более простых — попарное склеивание сторон многоугольников. А сейчас мы представим другой способ. Начнем со сферы и будем приклеивать к ней цилиндрические ручки, чтобы из ориентируемых поверхностей и лент Мёбиуса делать неориентируемые поверхности.

Как видно по рис. 16.16, чтобы добавить к поверхности ручку, нужно вырезать из нее два диска и приклеить к краям дырок концы цилиндра. Сфера с одной ручкой — это тор. Для построения двойного тора нужно добавить еще одну ручку, а для построения тора с g дырками — добавить g ручек.

Рис. 16.16. Сфера с ручкой (тор)

Количество ручек на такой поверхности тесно связано с топологической величиной — родом. Родом ориентируемой поверхности (с краем или без) называется максимальное число замкнутых непересекающихся кривых, не разделяющих поверхность на несвязные части.

Для иллюстрации этого понятия рассмотрим сферу. Разрез по любой простой замкнутой кривой разделяет сферу на две части. Это еще одно применение теоремы Жордана — как и на плоскости, простая замкнутая кривая делит сферу на две области. Поэтому род сферы равен 0. С другой стороны, поверхность тора можно разрезать вдоль петли, так что она останется связной (рис. 16.17), но после первого разреза найти еще одну такую замкнутую кривую невозможно. Поэтому род тора равен 1.

Рис. 16.17. Поверхности рода 1, 2 и 3

Род сферы с ручками просто равен числу ручек. Двойной тор имеет род 2, и в общем случае род тора с g дырками равен g. Понятие рода поверхности дает строгий способ определения числа туннелей Люилье. Можно было бы определить род и для неориентируемых поверхностей, и некоторые так и делают. Но поскольку род тесно связан с количеством дырок в торе, то обычно в неориентируемом случае он не используется.

Созданию ориентируемых поверхностей с помощью добавления ручек есть аналог в неориентируемом случае. Чтобы разобраться в этой процедуре, мы должны будем вернуться к ленте Мёбиуса. Одним из ее отличительных свойств является наличие единственного края, эквивалентного окружности. Обычно ленту Мёбиуса рисуют так, что эта окружность дважды обвивает скрученный цилиндр. Наша цель — деформировать ленту Мёбиуса, так чтобы ее край выглядел как обычная, а не дважды скрученная окружность. Очевидно, что для этого упражнения топологической йоги придется выйти в четвертое измерение.

На рис. 16.18 мы видим деформированную таким образом ленту Мёбиуса. Заметим, что эта фигура пересекает самое себя по целому отрезку прямой. Самопересечение в верхней части этой ленты Мёбиуса с верхней горбушкой и с перекрещивающейся поверхностью внизу часто называют зонтиком Уитни в честь тополога Хасслера Уитни. Это странное представление ленты Мёбиуса называется скрещенным колпаком. Сходство с проективной плоскостью должно быть очевидно, потому что скрещенный колпак — это попросту проективная плоскость с вырезанным диском.

Рис. 16.18. Лента Мёбиуса — то же самое, что скрещенный колпак

Подобно тому, как ориентируемые поверхности создаются путем присоединения ручек, неориентируемые можно создавать путем присоединения лент Мёбиуса. Для этого вырежем из поверхности диск и приклеим кольцевой край ленты Мёбиуса к краю дырки. На рис. 16.19 видно, что наглядно представить это склеивание проще, если заменить обычную ленту Мёбиуса скрещенным колпаком. Мы создаем проективную плоскость, добавляя к сфере один скрещенный колпак. По-другому можно сказать, что проективная плоскость — это лента Мёбиуса с приклеенным к ее краю диском.

Рис. 16.19. Сфера со скрещенным колпаком (создание проективной плоскости)

Хотя представить это еще сложнее, сфера с двумя скрещенными колпаками есть не что иное, как бутылка Клейна. Эквивалентно, бутылку Клейна можно получить, склеив краями две ленты Мёбиуса. Приклеивание более двух скрещенных колпаков к сфере порождает еще более странные поверхности.

Теперь у нас есть два способа построения ориентируемых и неориентируемых поверхностей. В следующей главе мы рассмотрим, как к таким поверхностям применяется формула Эйлера. Мы также познакомимся с теоремой о классификации поверхностей, которая утверждает, что любую замкнутую поверхность можно получить добавлением к сфере ручек и скрещенных колпаков.

Приложения к главе

136. Listing (1847).

137. Tait (1883).

138. Lefschetz (1970).

139. Из интервью Maurer (1983).

140. Klein (1882/83).

141. Brahana (1921).

142. Clarke (2000).

143. Gardner (1990).

144. Gardner (1956).

145. Listing (1861–1862).

146. Mobius (1865).

147. Во введении к Abbott (2005), xxix.

148. Klein (1882).