Жемчужина Эйлера

Глава 3 Пять идеальных тел

Современная геометрия, как, впрочем, и значительная часть всей современной математики, корнями уходит в работы древних греков. В период от Фалеса (ок. 624–547 до н. э.) до смерти Аполлония (ок. 262–190 до н. э.) греки создали поразительный корпус математических работ, а имена многих ученых той поры знакомы любому школьнику: Пифагор, Платон, Евклид, Архимед, Зенон и т. д.

Хотя греки, возможно, испытывали влияние математиков из Египта, Месопотамии, Китая и Индии, скоро они освоили эту дисциплину, сделав ее своей. Как писал Платон в «Послезаконии»: «Когда греки что-то заимствуют у негреков, они доводят это до высшего совершенства»²⁶. В отличие от более ранних цивилизаций, для которых главной целью была полезность, греки стремились понять суть математики и дать строгие доказательства утверждений. Ушли в прошлое формулы, применяемые для приближенных вычислений. Точность, логика и истина — вот в чем состояли цели их исследований.

Греки были в восторге от геометрии, и их достижения в этой области слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять. Не будет преувеличением сказать, что большая часть геометрии, изучаемой в школе, открыта греками. Но нас будет интересовать только греческая теорема о правильных многогранниках. Это одна из самых знаменитых и красивых теорем во всей математике (заняла четвертое место в опросе, упомянутом в главе 1).

Эти пять многогранников показаны на рис. 3.1. В трех из них грани являются равносторонними треугольниками: тетраэдр (4-гранная пирамида), октаэдр (двойная пирамида с 8 гранями) и 20-гранный икосаэдр. Куб составлен из 6 квадратов, а додекаэдр — 12-гранник, состоящий из правильных шестиугольников. (В приложении A описано, как склеить правильные многогранники из бумаги.)

Рис. 3.1. Пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр

Красочная история этих интригующих многогранников начинается с греков, тянется через Возрождение и доходит до наших дней. Доказательство того, что существует всего пять правильных многогранников, приведено в последней книге «Начал» Евклида (в главе 8 мы представим еще одно доказательство с использованием формулы Эйлера для многогранников). Платон полагал, что правильные многогранники — составные части материи вообще. Поскольку он включил их в свою атомистическую теорию, они называются платоновыми телами. Астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал правильные тела в ранней модели Солнечной системы.

Красоту часто видят в регулярности, симметрии и совершенстве. Все мы знакомы с двумерными правильными многоугольниками. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы равны. Равносторонний треугольник — единственный правильный многоугольник с тремя сторонами, квадрат — единственный правильный многоугольник с четырьмя сторонами и т. д. (см. рис. 3.2). Существует бесконечно много правильных n-угольников, по одному для каждого n > 2.

Рис. 3.2. Правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 7 и 8 сторонами

Трехмерным аналогом многоугольника является многогранник. Изучение правильных многогранников дает гораздо более интересные результаты, чем изучение многоугольников. если правильных многоугольников бесконечно много, то единственными правильными многогранниками являются тела, изображенные на рис. 3.1.

А каковы точные критерии правильности многогранника? Как и в случае определения многогранника, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить лишнего и не опустить необходимое. Правильным многогранником, или правильным телом, называется многогранник, удовлетворяющий следующим условиям:

1) многогранник выпуклый;

2) каждая грань является правильным многоугольником;

3) все грани конгруэнтны (одинаковы);

4) в каждой вершине сходится одно и то же число граней.

Каждый из этих критериев необходим. На рис. 3.3 приведены примеры многогранников, не удовлетворяющих ровно одному критерию. Первый удовлетворяет всем условиям, кроме выпуклости. Второй, вытянутый октаэдр, был бы правильным, если бы все грани были равносторонними треугольниками. Футбольный мяч неправильный, потому что его гранями являются правильные пятиугольники и правильные шестиугольники. И последний многогранник состоит из правильных треугольников, но в каждой экваториальной вершине сходятся четыре грани, а в северном и южном полюсах — пять.

Рис. 3.3. Неправильные многогранники. Каждый из них не удовлетворяет какому-то одному из четырех условий правильности

Правильные многогранники встречаются в природе. Самый очевидный пример природных многогранников — кристаллы, и некоторые из них правильны. Например, кристалл хлористого натрия может принимать форму куба, тиасурьмянокислого натрия — форму тетраэдра, а хромокалиевых квасцов — форму октаэдра. Кристалл пирита, который часто называют ложным золотом, может иметь двенадцать пятиугольных граней; однако это не додекаэдр, потому что грани не являются правильными пятиугольниками.

В 1880-х годах Эрнст Геккель, участвовавший в экспедиции на корвете «Челленджер», открыл и зарисовал одноклеточные организмы, названные радиоляриями. Скелеты этих организмов поразительно напоминают правильные многогранники (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Радиолярии напоминают правильные тела

Существуют также примеры правильных тел, изготовленных древними людьми. Куб и тетраэдр, относительно простые и распространенные, встречаются во многих рукотворных изделиях на протяжении всей истории человечества. Додекаэдр, датируемый не позднее 500 года до н. э., был обнаружен на раскопках на горе Лоффа близ Падуи в Италии. Древняя игральная кость в форме икосаэдра была найдена в Египте, но ее происхождение неизвестно.

А как насчет октаэдра? Это, пожалуй, последнее из пяти тел, которое стал бы создавать человек. Он не такой простой, как куб или тетраэдр, поэтому никакой встречающийся в быту предмет не имел бы такой формы. Он не такой экзотический, как икосаэдр или додекаэдр, — всего-то две соединенные основаниями пирамиды, поэтому, повстречав его, человек не обратил бы на него внимания. Историк математики Уильям Уотерхаус утверждал, что пока кто-то не обратил внимания на правильность октаэдра, он не представлял собой ничего интересного. Он писал: «Октаэдр стал предметом математического изучения, только когда кто-то придумал ему применение»²⁷.

Обсуждение октаэдра открывает нам глаза. Мы видим, что в развитии теории правильных многогранников есть три важных этапа. Первый — построение самих объектов. Первоначально построение сводилось просто к вылепливанию из глины, но в конечном итоге под процесс должны быть подведены математические основания — построение должно стать геометрическим. Второй этап — абстрактное понятие правильности. Эта идея очевидна только в ретроспективе. Представьте себе, что вы показываете все пять правильных тел случайному прохожему и спрашиваете, что между ними общего. Как говорил Уотерхаус, «открытие того или иного тела было вторичным, важнейшее же открытие — сама идея правильного тела»²⁸. Наконец, третий этап — доказательство того, что существует только пять правильных тел. Должно быть строго математически доказано, что этих красивых объектов пять и только пять. Развитием этой теории — открытием, абстрактной постановкой и доказательством — мы обязаны грекам.

Приложения к главе

25. McEwan (1997), 20.

26. Plato (1972), 244.

27. Waterhouse (1972).

28. Там же.