Жемчужина Эйлера

Глава 1 Леонард Эйлер и три его «великих» знакомца

Мы привыкли к гиперболам. Телевизионная реклама, рекламные щиты, спортивные комментаторы, популярные музыканты регулярно извергают такие эпитеты, как величайший, лучший, ярчайший, быстрейший и прочее. Эти слова давно уже утратили свое буквальное значение и используются как естественная часть продвижения товара или развлечения зрителя. Поэтому слова о том, что Леонард Эйлер был одним из самых влиятельных и плодовитых математиков, когда-либо рождавшихся на свет, могут не произвести никакого впечатления на читателя. Но мы ничего не преувеличиваем. Эйлер наряду с Архимедом (287–211 до н. э.), Исааком Ньютоном (1643–1727) и Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) признан как один из десяти — или даже пяти — самых важных и значительных математиков в истории.

За свою 76-летнюю жизнь Эйлер написал столько математических работ, что для их печати потребовалось семьдесят четыре весьма объемистых тома, — больше, чем любой другой математик. Когда все его работы были опубликованы (а новые материалы обнаруживались в течение 79 лет после его смерти), оказалось, что он автор ошеломительных 866 трудов, включая статьи и книги по самым передовым предметам, элементарные учебники, научно-популярные работы и технические руководства. И сюда еще не включены предположительно пятнадцать томов писем и записных книжек, которые все еще готовятся к печати.

Но значимость Эйлера определяется не его плодовитостью, а глубиной основополагающих вкладов в математику. Эйлер не специализировался в какой-то одной области. Он был одним из великих универсалов, оставившим след в самых разных дисциплинах. Он опубликовал влиятельные статьи и книги по математическому анализу, теории чисел, комплексному анализу, вариационному исчислению, дифференциальным уравнениям, теории вероятностей и топологии. И это не считая вклада в такие прикладные предметы, как оптика, электричество и магнетизм, механика, гидродинамика и астрономия. Ко всему прочему Эйлер обладал чертой, редкой среди больших ученых и тогда, и в наше время: он был превосходным стилистом. В отличие от своих предшественников, Эйлер писал простым и ясным языком, благодаря чему его работы равно доступны специалистам и студентам.

Рис. 1.1. Леонард Эйлер

Эйлер был мягким скромным человеком, его жизнь была сосредоточена на большой семье и работе. Он жил сначала в Швейцарии, потом в России, Пруссии и снова в России и активно переписывался со многими известными мыслителями XVIII века. Его профессиональная жизнь была связана с тремя «Великими» правителями Европы — Петром Великим, Фридрихом Великим и Екатериной Великой. Во времена правления этих монархов были созданы или воскрешены национальные академии наук их стран. Эти академии финансово поддерживали Эйлера, так что он мог заниматься чистой наукой. Взамен ожидалось лишь, что время от времени он будет применять свой научный опыт на благо государства, а его известность принесет славу нации.

Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле 15 апреля 1707 года в семье Пауля Эйлера и Маргариты Брукер Эйлер. Вскоре после этого семья переехала в близлежащий городок Рихен, где Пауль был назначен пастором местной кальвинистской церкви.

Первые уроки математики Эйлеру давал отец. Он не был математиком, но учился математике у знаменитого Якоба Бернулли (1654–1705), когда Пауль и младший брат Якоба Иоганн (1667–1748), будучи студентами Базельского университета, столовались в доме Якоба. Якоб и Иоганн Бернулли были членами семейства, которому суждено было стать одной из самых известных фамилий в математике. Больше ста лет клан Бернулли играл заметную роль в развитии математики, вклад в которую внесли по меньшей мере восемь Бернулли.

Формальное обучение Леонард начал в Базельском университете в возрасте 14 лет. В то время столь юный возраст не считался чем-то необычным для студента университета. Университет был небольшим — всего несколько сотен студентов и девятнадцать профессоров. Пауль надеялся, что сын пойдет по его стопам и станет пастором, поэтому Эйлер изучал теологию и иврит. Но его математические способности были несомненны, и очень скоро он привлек внимание друга отца Иоганна Бернулли. К тому времени Иоганн стал одним из ведущих европейских математиков.

Иоганн был заносчивым резким человеком, он всегда желал быть первым, что приводило к известным скандалам по поводу приоритета (в том числе со своим братом и сыном). Тем не менее он заметил выдающийся талант мальчика и посоветовал ему строить карьеру в математике. В своей автобиографии Эйлер писал: «если я сталкивался с каким-то препятствием или трудностью, то мог свободно прийти к нему в субботу вечером, и он доброжелательно объяснял мне то, чего я не мог понять»⁵. Эти уроки сыграли большую роль в становлении математической техники Эйлера.

Несмотря на то что Леонард преуспевал в своих частных занятиях математикой, Пауль все еще надеялся, что его сын станет пастором. В семнадцать лет Эйлер получил степень магистра философии. Иоганн опасался, что его протеже может оказаться потерян для математики и станет приобретением церкви, поэтому вмешался и твердо сказал Паулю, что Леонард может стать выдающимся математиком. Из-за теплых чувств, питаемых к математике, Пауль уступил. Но хотя Эйлер отказался от идеи стать пастором, он всю свою жизнь оставался набожным кальвинистом.

Свой первый независимый математический результат Эйлер получил в девятнадцать лет. За теоретическую работу по идеальному размещению мачт на судне он заслужил «похвальное упоминание» в престижном конкурсе, организованном Французской академией наук. Это достижение было бы невероятным для любого юноши его возраста, а особенно для молодого человека из Швейцарии, который никогда не видел океанского корабля. В том конкурсе Эйлер не стал победителем, что было бы примерно эквивалентно получению сегодняшней Нобелевской премии, но в последующие годы он удостаивался высшей награды двенадцать раз.

В то время, когда родился Эйлер, в тысяче миль на северо-запад от Базеля российский император Петр Великий (1672–1725) строил город Санкт-Петербург. Он был основан в 1703 году в болотистой местности недалеко от места впадения Невы в Балтийское море. Петр использовал рабский труд для возведения как самого города, так и Петропавловской крепости, занимающей стратегически выгодное положение на одном из островов в устье Невы. Он любил свой новый город, называл его «парадизом» и дал ему имя в честь своего святого покровителя. Несмотря на то что большинство русских людей, а в особенности государственных чиновников, не разделяли чувств Петра к этому холодному и сырому месту, он перенес столицу России из Москвы в Санкт-Петербург. Юный Эйлер еще не знал, что этот город станет его домом на протяжении большей части жизни.

Рис. 1.2. Российский император Петр Великий

Петр Великий, физически крепкий мужчина почти семи футов ростом, был энергичным, самостоятельно выучившимся, решительно настроенным правителем России с 1682 по 1725 год. Не знающий жалости реформатор, он начал преобразование своей державы из аграрной феодальной страны под властью церкви в могущественную империю. Его цель — модернизировать на западный лад российское правительство, культуру, образование, военное устройство и общество — в значительной степени была достигнута. Как писал один русский историк, «внезапно, пропустив целые эпохи схоластики, Возрождения и Реформации, Россия перескочила из консервативной, церковной, квазисредневековой цивилизации в Век Разума»⁶.

Одной из частей этого переустройства на западный манер Петр считал реформирование российской системы образования, которой до его воцарения не было вовсе, если не считать минимального обучения в рамках могущественной православной церкви. Поэтому в России не было ученых. Из-за сильного влияния церкви русские с опаской относились к научному познанию мира, предпочитая традиционные религиозные объяснения. Петр осознал необходимость улучшить международный имидж России и развеять миф о том, что русские ненавидят науку. Он также понимал, что наличие программы развития науки жизненно важно для создания и поддержания государственной мощи.

Петр посетил Лондонское королевское общество и Французскую академию наук в Париже, основанные одновременно в 1660 году. Увиденное произвело на него глубокое впечатление. Он также восхищался новой Берлинской академией наук, основанной в 1700 году по совету Готфрида Лейбница (1646–1716). Лейбниц был знаменитым математиком, которому, наряду с Исааком Ньютоном, принадлежит честь создания математического анализа. Эти академии не были университетами, они «предназначались для поиска новых знаний, а не для распространения существующей мудрости»⁷. Члены академий были учеными, а не преподавателями, их основной целью было расширение сферы знания.

Петр хотел создать такую академию, как в Париже, Лондоне и Берлине, и основать ее в новом городе Санкт-Петербурге. За советом он обратился к Лейбницу. В течение почти двух десятков лет Петр и Лейбниц обсуждали, в письмах и при личных встречах, реформу образования и создание Академии наук.

В 1724 году Петр довел до конца план создания Академии наук в Санкт-Петербурге; это был последний и самый амбициозный проект в его усилиях по улучшению системы образования в России. Однако он не мог организовать академию точно по образцу европейских. Поскольку в России не было своих ученых, ему пришлось убеждать талантливых иностранцев переехать в Санкт-Петербург. Кроме того, так как в России не было университетов, Академия наук должна была исполнять также функции университета. Частью мандата Академии было обучение русских наукам, чтобы в дальнейшем она могла не зависеть от иноземцев.

Петру не суждено было увидеть плоды своих трудов, он умер еще не старым в 1725 году. Но благодаря новой императрице, второй жене Петра Екатерине I (1684–1727), воплощение планов создания Академии продолжилось. Иностранные ученые начали приезжать спустя несколько месяцев после смерти Петра, а первое собрание Академии наук состоялось до конца года. Петру повезло, что Екатерина прониклась идеей Академии. В последующие годы Академия не всегда удостаивалась благосклонного внимания властей предержащих. За тридцать семь лет, прошедших со смерти Петра до коронации Екатерины Великой (1729–1796), в России сменилось шесть правителей, и Академия всегда зависела от милости этих своевольных и могущественных людей.

Поначалу в штате Академии было шестнадцать ученых: тринадцать немцев, два швейцарца, один француз — и ни одного русского. Преобладание немцев и отсутствие русских позже стало источником трений.

Из-за холодного климата, удаленности и академической изоляции необходимо было предлагать высокое жалованье и комфортное жилье, чтобы соблазнить ученых переездом в Санкт-Петербург. Новая академия была небольшой, но быстро выполнила обещание стать важным, международно признанным научным учреждением. В конечном итоге она стала центром всей научной жизни в России. Академия наук пережила несколько смен названия, но существует и по сей день и называется Российской академией наук.

В новом научном учреждении блистали двое иностранных ученых, друзья Эйлера и сыновья Иоганна Бернулли, Николай (1695–1726) и Даниил (1700–1782). Оба брата говорили Эйлеру об Академии до отъезда из Швейцарии и обещали подыскать ему место при первой возможности. После прибытия в Россию они стали уговаривать администрацию Академии пригласить их молодого друга. Эта кампания вскоре принесла плоды. В 1726 году Эйлеру была предложена должность в отделении медицины и физиологии. К сожалению, Эйлер не смог в полной мере насладиться этим интересным предложением и отпраздновать свое назначение. Его приняли на вакансию, открывшуюся после трагической и преждевременной смерти Николая.

Эйлер был благодарен за работу, но не спешил немедленно переехать в Россию. У него было две причины оставаться в Базеле и повременить с новой работой. Во-первых, он согласился на должность в отделении медицины, но обладал лишь минимальными познаниями в этой области. Поэтому он решил остаться в Базельском университете, чтобы изучить анатомию и физиологию. Во-вторых, он тянул время, надеясь, что ему предложат возглавить кафедру физики в университете. Осенью 1727-го, узнав, что эту должность отдали другому человеку, он уехал в Россию. Так началась его жизнь в Санкт-Петербурге, где он провел следующие четырнадцать лет, а потом еще последние семнадцать лет жизни.

Путешествие Эйлера в Санкт-Петербург морем, пешком и на повозке заняло семь недель. В тот день, когда он ступил на российскую землю, императрица Екатерина I умерла, процарствовав всего два года. Судьба новой Академии оказалась под вопросом. Те, кто правил страной от имени одиннадцатилетнего царя Петра II (1715–1730), внука Петра Великого, считали Академию ненужной роскошью и подумывали о ее закрытии. По счастью, Академия уцелела, и в последовавшей неразберихе Эйлер в конце концов оказался там, где и должен был быть, — в физико-математическом отделении. 1727 год — первый год математической карьеры Эйлера, стал также годом кончины математического гения Исаака Ньютона.

Жизнь в Академии во времена правления Петра II была нелегкой, поэтому ее члены надеялись на изменение своей судьбы в благоприятную сторону после смерти пятнадцатилетнего царя в 1730 году. И действительно, положение Академии несколько улучшилось при десятилетнем царствовании Анны Иоанновны (1693–1740), но жить в России стало неуютно. Анна привнесла в правительство сильное немецкое влияние, связанное прежде всего с ее фаворитом Эрнстом Иоганном Бироном (1690–1772). Бирон был безжалостным тираном, казнившим несколько тысяч россиян и отправившим в Сибирь десятки тысяч. Гонениям со стороны Бирона подверглись обычные преступники, староверы и политические противники Анны. Впоследствии, уже в Берлине, на вопрос, почему он такой неразговорчивый, Эйлер ответил королеве-матери Пруссии: «Государыня, это потому, что я только что прибыл из страны, где за слова вешают»⁸.

В 1733-м, устав от трудной жизни в России и внутренних дрязг в Академии, Даниил Бернулли вернулся в Швейцарию, и Леонард Эйлер в возрасте 26 лет принял на себя роль ведущего математика.

Именно тогда Эйлер понял, что, возможно, останется в России надолго, быть может, навсегда. Если отвлечься от сложной политической обстановки, Эйлер вел в России комфортабельную жизнь. Он хорошо выучил русский язык и наконец-то, после повышения жалованья, сопровождавшего продвижение по службе, почувствовал себя финансово обеспеченным. Поэтому в 1733 г. он решил жениться на Катарине Гзелль, дочери уроженца Швейцарии, художника Георга Гзелля, которого привез в Россию Петр Великий. Леонард и Катарина создали семью и произвели на свет тринадцать детей. Как нередко бывало в те времена, лишь пять из них дожили до зрелых лет и только трое пережили родителей.

Обязанности мужа и отца не замедлили поток публикаций Эйлера. И теперь, как и во все периоды своей профессиональной жизни, он весьма активно занимался научными изысканиями. Трудно переоценить колоссальную продуктивность Эйлера. Говорили, что он мог написать математическую статью, качая младенца на коленях, и сочинить трактат между первым и вторым звонком на обед. Он писал обо всем и в любом жанре. Он создавал шедевры и короткие заметки, держал корректуру, давал объяснения, делился частичными результатами и идеями доказательств, публиковал учебники для начинающих и технические книги.

Ничто не могло удержать Эйлера. Даже слепота не остановила поток его математических результатов. В 1738-м он заболел, проведя три долгих дня в работе над астрономической задачей. Хотя современная медицина ставит этот диагноз под сомнение, долгое время считалось, что именно из-за этой болезни он стал хуже видеть, а затем и совсем ослеп на правый глаз. Эйлер отнесся к потере зрения философски. В типичной для него скромной манере он заметил: «Теперь я буду меньше отвлекаться»⁹. Позже он перестал видеть и другим глазом и последние семнадцать лет жизни провел почти в полной тьме. Но, несмотря на потерю зрения, он продолжал делать важные вклады в математику до самой кончины.

Мозг Эйлера, казалось, был настроен на математику, как никакой другой. Он мог одновременно мысленно жонглировать многими абстрактными понятиями и производить сногсшибательные вычисления в уме. Есть знаменитая история о том, как два ученика Эйлера складывали семнадцать дробных членов, и обнаружилось, что суммы не совпадают. Эйлер вычислил сумму в уме и положил конец спору, дав правильный ответ. Математик Франсуа Араго (1786–1853) писал: «Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит, как орел парит над землей»¹⁰. Эйлер скромно замечал, что его способность манипулировать символами — замена ума, а его карандаш превосходит его интеллектом.

Эйлер также был одарен необычайной памятью. Он помнил бесчисленные стихи; с детских лет и до самой старости он мог на память прочитать всю «Энеиду» Виргилия и назвать первое и последнее предложения на любой странице. А вот более близкий к математике пример его замечательной памяти: он мог назвать первые шесть степеней первых ста натуральных чисел. Просто чтобы вы понимали — 99 в шестой степени равно 941 480 149 401.

Во время пребывания в Санкт-Петербурге Эйлер уделял часть своего времени проектам в интересах государства. В 1735-м он был назначен директором географического отделения Академии и внес значительный вклад в создание остро необходимой карты России. Он также написал двухтомное сочинение по кораблестроению, настолько ценное, что Академия удвоила его жалованье за тот год.

Но хотя Эйлер мог похвастаться поразительной продуктивностью, счастливой семейной жизнью и немалым доходом, условия жизни в России ухудшались. Атмосфера в Академии становилась очень напряженной, даже враждебной. Большая часть старшего преподавательского состава была родом из Германии, русских по-прежнему было очень мало. За первые шестнадцать лет существования Академии ее членом стал только один русский, да и тот адъюнкт, который так и не получил профессорскую должность. Русские возмущались тем, сколько власти захватили немцы, и открыто выступали против них. По счастью, спокойный и сдержанный Эйлер сохранял нейтралитет во внутренней политике Академии, но эти склоки отражались на его работе.

Из-за присутствия Бирона и «немецкой партии» в правительстве Анны в русском народе зрел страх и ненависть к немцам. В конце 1740 года, незадолго до смерти, Анна назначила Бирона регентом при своем наследнике, двухмесячном Иване VI (1740–1764). После смерти Анны враждебность русских к немцам достигла апогея — не прошло и месяца, как Бирона свергли, а спустя год Ивана и всю «немецкую партию» отстранили от власти. На престол взошла дочь Петра Великого Елизавета I (1709–1762).

В этот период жизнь в России была опасной, особенно для иноземцев. На академиков-иностранцев поглядывали косо, как на возможных западных шпионов. Эйлер реагировал на это спокойно, посвящая все время работе и семье. Но в 1741-м он понял, что больше не может выносить жизнь в России, и решил переехать из Санкт-Петербурга в Берлин.

Берлинская академия наук была основана в 1700 году и получила название Societas Regia Scientiarum (Королевское научное общество). Общий план Академии составлял Лейбниц. Берлинская академия так же, как Парижская и Лондонская, сосредоточилась на естественных науках и математике, но, в отличие от других, включила в сферу своих интересов еще историю, философию, языки и литературу.

Несмотря на большие ожидания Лейбница, Берлинская академия развивалась медленно. Трудности были отчасти связаны с постоянным недофинансированием и напряженными франко-германскими отношениями. Условия стали еще хуже после восхождения на престол Фридриха Вильгельма I (1688–1740) в 1713 году. При этом правителе, противнике всякого интеллектуального прогресса, Академия оказалась в полном небрежении. Берлинская академия не смогла продемонстрировать успехов, достигнутых академиями в Париже и Лондоне. Она не стала существенным фактором получения новых научных знаний, ее даже прозвали «анонимным обществом».

После смерти Фридриха Вильгельма I в 1740 году к власти пришел его сын Фридрих II (1712–1786), впоследствии известный как Фридрих Великий. И хотя Фридрих Вильгельм I сознательно готовил сына к царствованию, во многих отношениях Фридрих оказался противоположностью отцу. Между ними существовали глубокие противоречия. Когда Фридриху было восемнадцать, он пытался бежать из страны, правда, неудачно. Отец заставил Фридриха присутствовать на казни его друга и участника заговора (а ходили слухи, что и любовника).

Фридрих был решительно настроен расширить германские земли, но также питал склонность к искусству и философии. Он стремился создать образ просвещенного правителя-философа. Возрождение Академии играло важную роль в его плане вдохнуть новую жизнь в страну.

В отличие от отца, Фридрих презирал немецкую культуру и обожал все французское. Он изменил официальное название Берлинской академии на Academie Royale des Sciences et Belles Lettres (Королевская академия наук и изящной словесности). Он настаивал на том, чтобы официальным языком Академии был французский, и требовал, что все статьи в издававшемся Академией журнале были написаны на французском или переведены на него. Он предпочитал компанию остроумных французов, а не спокойных, бесстрастных немцев. Вольтер (1694–1778) относился к числу его любимых корреспондентов и был одним из ближайших советников по вопросам, связанным с Академией. Именно Вольтер первым предложил Фридриху соблазнить Эйлера уехать из России и присоединиться к Берлинской академии.

Рис. 1.3. Фридрих Великий, король Пруссии

Фридрих испытывал глубочайшее отвращение к математическим искусствам. В 1738-м он писал Вольтеру: «Что же до математики, сознаюсь, что не люблю ее: она сушит ум. У нас, немцев, он и так иссушен сверх меры; это бесплодное поле, которое нужно постоянно удобрять и поливать, чтобы оно приносило урожай»¹¹. Он рассматривал математику — да и науку в целом — как прислужницу государства. Об успешности ученых он судил по их полезности в практических делах. Ученые из Академии были вольны заниматься собственными проектами, коль скоро исполняли повеления короля.

В то время Эйлер был самым знаменитым ученым в Санкт-Петербурге и хорошо известен во всей европе. Фридрих вознамерился завоевать симпатии Эйлера. Хотя Эйлер и был обеспокоен опасными условиями, сложившимися в России, Фридриху потребовалось несколько попыток, чтобы склонить швейцарского математика оставить Санкт-Петербург. В 1741-м Эйлер согласился и, мотивируя свой отъезд ухудшившимся здоровьем и необходимостью сменить климат на более теплый, покинул Санкт-Петербург.

Сначала Эйлеру понравилось в Берлине, в 1746-м он писал своему другу: «Король называет меня профессором, мне кажется, что я счастливейший человек на свете»¹². Но, увы, счастье было недолгим. Во многих отношениях жизнь в Берлине была лучше, чем в России, но существование Эйлера отравляло странное и неожиданное неуважение со стороны Фридриха. Он называл Эйлера своим «математическим циклопом», невежливо намекая на единственный здоровый глаз. Холодность Фридриха отчасти объяснялась его нелюбовью к математике, но не только. Сдержанные и неброские манеры Эйлера не импонировали Фридриху, который считал Эйлера простецом. Фридрих предпочитал общество остроумного, изысканного, разбитного Вольтера. К тому же Эйлер был набожным кальвинистом. Каждый вечер он читал своей семье библейские тексты, а иногда сопровождал их проповедью. На публике Фридрих выказывал терпимость к религии, но в душе был деистом и не питал особого уважения к богобоязненному Эйлеру и его глубокой религиозности.

Эйлер также затаил обиду на Фридриха. Величайшим разочарованием стал отказ Фридриха назначить его президентом Академии. В течение нескольких лет, пока Фридрих был занят Семилетней войной, он так и не нашел подходящей кандидатуры на эту должность. Тем временем Эйлер неофициально исполнял функции «действующего президента», но раз за разом Фридрих отказывался узаконить это положение. Эйлер хорошо справлялся с ролью исполняющего обязанности президента, но, не будучи философом, способным на живой остроумный разговор, он не имел шансов добиться расположения Фридриха. Сильнейшее оскорбление было нанесено в 1763 году, когда Фридрих признал, что не может найти подходящей замены, и объявил президентом Академии самого себя.

Неприязненные отношения между Эйлером и Фридрихом получили дальнейшее развитие, когда в 1763 году король не дал одной из дочерей Эйлера разрешения на брак с солдатом по причине его низкого звания. Быть может, последней соломинкой стала серия ожесточенных стычек между Фридрихом и Эйлером в период между 1763 и 1765 годом. Все случилось из-за торговли государственными календарями (альманахами). Они изготавливались за большие деньги членами Академии и продавались публике для финансирования ее деятельности. Выяснилось, что главный комиссионер прикарманивал деньги от продажи календарей. Фридрих и Эйлер разошлись во мнениях о том, как разобраться с коррупцией и недостатками администрирования, приведшими к этому случаю. Кончилось тем, что Фридрих в резких выражениях упрекнул Эйлера.

Находясь в Берлине, Эйлер сохранил добрые отношения со своими бывшими коллегами по Санкт-Петербургу. Он оставался главным редактором журнала и отправил общим счетом 109 статей для опубликования в нем. Он опекал русских студентов, которых посылали на учебу в Берлин. В награду за редактирование и наставничество российские власти регулярно выплачивали ему стипендию. Еще более примечательный пример уважения русских к Эйлеру дает одно происшествие во время Семилетней войны. В марше на Бранденбург в 1760 году русская армия вошла в Шарлоттенбург. При этом была разграблена ферма, принадлежавшая Эйлеру. Узнав об этом, русские — сначала генерал, а затем сама императрица Елизавета — выплатили Эйлеру репарации в размере, намного превышающем стоимость ущерба.

В течение всех 24 лет пребывания Эйлера в Берлине русские очень хотели снова залучить его в Санкт-Петербург. Щедрые предложения делались в 1746, в 1750 и в 1763 годах. Всякий раз он отказывался, но никогда не захлопывал дверь окончательно. Наконец, в 1765 году, сытый по горло враждебностью Фридриха и видя улучшение политической обстановки в России, он решил вернуться.

Несмотря на личную неприязнь, Фридрих хорошо сознавал выдающееся место Эйлера в международном научном сообществе. За время работы в Берлине Эйлер опубликовал свыше двухсот работ. В 1749 году он был избран действительным членом Лондонского королевского общества. В 1755-м он стал девятым иностранным членом Французской академии наук, хотя по уставу число иностранных членов не должно было превышать восьми. Да и государству он хорошо послужил; помимо создания календарей, Эйлер работал над чеканкой национальной монеты, устройством каналов, проектированием акведуков, созданием пенсионной системы и совершенствованием артиллерии.

Фридрих пытался воспрепятствовать отъезду Эйлера. Эйлер был вынужден несколько раз подавать прошение о разрешении на выезд. В 1766 году Фридрих наконец смилостивился и дал Эйлеру позволение уехать. В возрасте 59 лет Эйлер со своими 18 домочадцами возвратился в Санкт-Петербург.

В том же году, по рекомендации французского математика Жана Д'Аламбера (1717–1783), Фридрих назначил на должность Эйлера Жозефа-Луи Лагранжа (1736–1813), восходящую звезду, который впоследствии стал знаменитым математиком. В типичной для него язвительной манере король писал Д'Аламберу, благодаря его за «замену полуслепого математика математиком с обоими глазами, что особенно порадует членов анатомического отделения академии»¹³. По иронии судьбы, вопреки неприязни Фридриха к математике и любви к философии, его Академия навсегда войдет в историю благодаря блистательной когорте математиков, а вовсе не философов.

В конце пребывания Эйлера в Берлине, когда он конфликтовал с Фридрихом, в России царствовал Петр III (1728–1762), жалкий, психологически неустойчивый прогермански настроенный правитель, который, как известно, испытывал «страх и презрение по отношению к России и русским»¹⁴. В 1762-м его правление трагически оборвалось — он был свергнут своей женой, которая взошла на трон под именем Екатерины II. Вскоре после этого, возможно по приказу Екатерины, Петр был убит стражей, державшей его в заточении.

Екатерина, получившая впоследствии прозвание «Великая», правила Россией до 1796 года. XVIII век начался правлением могущественного и оказавшего огромное влияние на последующее развитие страны Петра Великого, а закончился во всех отношениях примечательным правлением Екатерины Великой. Она была умной, волевой, амбициозной и энергичной государыней. Французский философ Дени Дидро (1713–1783) говорил, побывав при дворе Екатерины, что в ней «душа цезаря соединилась со всеми соблазнами Клеопатры»¹⁵. Под ее властью качество жизни в России заметно улучшилось. Образование, находившееся в загоне со времен Петра Великого, снова стало одним из приоритетов российского правительства.

Рис. 1.4. Екатерина Великая, императрица России

В самом начале Академия сверкала благодаря блестящему гению Эйлера. С его отъездом в Берлин туда же переместился центр развития математики. Из-за этой потери, усугубленной годами политической нестабильности, учреждению было трудно привлекать талантливых иностранных ученых. Почва под Академией была очень зыбкой. Одним из проектов Екатерины в области реформы образования стало оживление Санкт-Петербургской академии и выведение ее на прежний уровень. Как писал математик Андре Вейль (1906–1998), «это было почти равносильно возвращению Эйлера»¹⁶.

Екатерина позаботилась о том, чтобы удовлетворить, и даже с лихвой, немалые притязания Эйлера. Ему было назначено жалованье, вдвое превышавшее предложенное в 1763 году, его жена получила пособие, старший сын был принят на работу в Академию, а младшим сыновьям гарантировалось трудоустройство в будущем. Кроме того, Екатерина пожаловала Эйлеру полностью обставленный дом и одного из своих собственных поваров. По прибытии в Санкт-Петербург Эйлер был тепло встречен императрицей. С его возвращением внимание математического сообщества вновь переключилось на Санкт-Петербург, что способствовало процветанию Академии.

У Екатерины Великой и Фридриха Великого есть общие черты: оба были яркими примерами «просвещенных деспотов». Однако отношения Эйлера с двумя монархами были очень разными. Его жизнь в Санкт-Петербурге времен Екатерины была куда лучше, чем в Берлине Фридриха. Екатерина любила науку и приветствовала Эйлера как знаменитость. Он занял свое место в академической иерархии и обладал большими административными полномочиями, чем любой другой ученый.

За свою жизнь Эйлер был свидетелем многочисленных изменений в столичном Санкт-Петербурге. Когда он приехал туда впервые, городу было всего двадцать четыре года, когда вернулся — шестьдесят три года, а на момент смерти — восемьдесят лет. К концу XVIII века население города выросло до 166 000 человек. Санкт-Петербург стал домом как для богатейших дворян империи, так и для беднейших крестьян. Почти четверть населения составляли военные¹⁷. Одни русские по-прежнему любили Санкт-Петербург, другие его ненавидели (это верно и в наши дни^і). В полном соответствии с планом Петра Великого город стал средоточием красивейшей архитектуры в европейском стиле. Это был самый европейский из всех русских городов. Из-за множества островов и водных путей он получил название «Северная Венеция».

Второй Санкт-Петербургский период Эйлера стал временем профессионального успеха, но также был отмечен рядом личных утрат. В 1771 г. дотла сгорел его дом. Благодаря быстрым действиям самоотверженных слуг, которые вынесли его из горящего здания, жизнь Эйлера была спасена. Вся его библиотека была уничтожена огнем, но, к счастью для науки, рукописи удалось сберечь. После трагедии Екатерина предоставила ему новый дом и возместила все убытки. В 1776 г. умерла любимая жена Эйлера Катарина. Спустя год он женился на ее сводной сестре Саломее-Абигайль Гзелль.

Почти сразу после отъезда из Берлина он перестал видеть левым глазом из-за катаракты. Проведенная в 1771 г. операция ненадолго вернула зрение, но возникшая инфекция привела к рецидиву, и он снова ослеп. В течение этого времени Эйлер продолжал публиковать работы по математике, в основном диктуя своему сыну. Поразительно, но поток работ, выходивших из-под пера Эйлера, не оскудевал. Будучи полностью слеп, он доказал некоторые из самых важных своих теорем и написал ряд оказавших огромное влияние книг.

Бытует широко распространенное мнение, что самые плодотворные годы математика приходятся на его юность, а когда он достигает сорока — или даже тридцати — лет, творческие способности и гениальность угасают. В известном сочинении «Апология математика» британский математик Г. Х. Харди (1877–1947) писал: «Ни один математик не должен позволять себе забывать о том, что математика в большей степени, чем[2] любой другой вид искусства или любая другая наука, — занятие для молодых»¹⁸. И хотя это замечание верно описывает снижающееся качество профессиональных достижений многих математиков (да и людей других творческих профессий), к траектории карьеры Эйлера оно не имеет ни малейшего отношения. Его возвращение в Санкт-Петербург было отмечено фанфарами, и он не разочаровал аудиторию. Как писал один историк, Эйлер «сразу продемонстрировал, что вернулся в Россию не почивать на лаврах, а, напротив, был на пике творческих сил»¹⁹.

Как Бетховен преодолел, казалось бы, непреодолимое для сочинителя симфоний препятствие — глухоту, так и Эйлер сумел создать глубокую, красивую и зачастую «наглядную» математику, пребывая в своем погруженном в темноту мире. Это один из величайших триумфов человеческого духа.

Помимо чисто математических исследований, Эйлер продолжал вносить один вклад за другим в прикладную математику. Одной из самых важных проблем в то время было нахождение точного и надежного метода морской навигации. Навигация по звездам полностью зависела от точности мореходных таблиц, дававших местоположения небесных тел в заданный момент времени. Луна — самый заметный объект в ночном небе, но, поскольку движение Луны определяется гравитационным взаимодействием трех тел — ее самой, Земли и Солнца, — заранее вычислить ее положение в каждый конкретный момент времени математически очень трудно. Даже в наши дни для знаменитой задачи трех тел не найдено аналитического решения. Ньютоновская теория гравитации описывала движение планет, но не предлагала вычислительного алгоритма для нахождения этого движения. В 1772 году Эйлер разработал математическую модель движения Луны, которая поддавалась расчетам и позволяла производить приближенные вычисления с очень хорошей точностью. На основе модели Эйлера были составлены весьма надежные таблицы движения Луны. В знак благодарности за эту работу французское Бюро долгот и Британский парламент щедро вознаградили Эйлера.

Поток работ Эйлера не иссякал до самой его смерти в возрасте 76 лет. Его последний день описан маркизом де Кондорсе (1743–1794) в надгробном слове:

Леонард Эйлер похоронен в Санкт-Петербурге, в России.

Трудно перечислить все величайшие достижения Эйлера на поприще математики. Мы могли бы процитировать одну из его многочисленных теорем. Или упомянуть написанные им учебники, снискавшие большой успех, например «Введение в анализ бесконечно малых», который историк науки Карл Бойер назвал самым влиятельным учебником в истории современной математики. Можно было бы назвать его работы по прикладной математике, например книгу «Механика», в которой впервые методы математического анализа систематически применяются к физике. Или вспомнить о сочинениях для неспециалистов, таких как чрезвычайно популярные в свое время «Письма немецкой принцессе» — собрание уроков, написанное для племянницы Фридриха Великого принцессы Ангальт-Дессауской. Быть может, стоило бы обратить внимание на его умение организовать и оформить изолированные результаты и, казалось бы, далекие друг от друга идеи в связное и упорядоченное тело математики. Или на элегантную и полезную нотацию, введенную им: Эйлер первым стал использовать букву e для обозначения основания натуральных логарифмов; он ввел в обиход символ π; в конце жизни он стал использовать букву i для обозначения √–1 (популяризировал эту нотацию Гаусс); он обозначал буквами a, b, c стороны треугольника, противоположные вершинам A, B, C; он использовал символ ∑ для обозначения суммы; он стал обозначать конечные разности Δx, и он же начал использовать нотацию f(x) для функции.

Трудно выделить какую-то одну из многих и многих теорем Эйлера как самую важную. Некоторые считают, что это соотношение, связывающее числа 0, 1, π, e и i:

е^πі + 1 = 0.

А быть может, это один из его удивительных бесконечных рядов, демонстрирующих мощь математического анализа. Или одна из его теорем в теории чисел, например та, что подвела черту под знаменитыми гипотезами Пьера Ферма (1601–1665).

Но мы, конечно, сосредоточимся на простой формуле, связывающей количество вершин, ребер и граней многогранника:

V — E + F = 2.

Недавний опрос математиков показал, что, по их мнению, формула Эйлера для многогранников — вторая по красоте теорема во всей математике. А самой красивой, по мнению большинства, является формула Эйлера e^πi + 1 = 0^18,21.

Чтобы понять формулу Эйлера для многогранников, мы должны будем поближе познакомиться с многогранниками. Итак, что же такое многогранник?

Приложения к главе

4. Dunham (1999), xiii.

5. Quoted in Youschkevitch (1971).

6. Riasanovsky (1993), 285.

7. Vucinich (1963), 69.

8. Quoted in Condorcet (1786).

9. Quoted in Eves (1969b), 48.

10. Quoted in Boyer and Merzbach (1991), 440.

11. Quoted in Cajori (1927).

12. Quoted in Calinger (1996).

13. Quoted in Cajori (1927).

14. Riasanovsky (1993), 248.

15. Quoted in Alexander (1989), 173.

16. Weil (1984).

17. Hartley (2003).

18. Hardy (1992), 70.

19. Vucinich (1963), 146-47.

20. Condorcet (1786).

21. Wells (1990).