Жемчужина Эйлера

Глава 15 Новые проблемы и новые доказательства

Допустим, вам задали вопрос: какие деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью? Сказав «клены», вы дали бы правильный ответ. Но всякий, кто ездил на машине по Пенсильванской глубинке в октябре, знает о раскрашенных в самые разные цвета дубах, березах и буках, возвышающихся посреди куч опавших листьев. Так что хотя ответ верный, он не содержит полного перечня таких деревьев. Можно ли сказать, что все деревья осенью меняют цвет? Нет. У сосен, елей и кедров нет листьев, им нечего сбрасывать. Чтобы высказать общее и при этом истинное утверждение, следует внимательно изучить различные деревья. Более полный ответ мог бы звучать так: листопадные деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью.

Для выпуклых многогранников имеет место соотношение V — E + F = 2. Это истинное утверждение. Мы знаем об этом из доказательств Эйлера, Лежандра, Коши и других. Однако мы знаем и то, что его можно усилить. Как заметил Пуансо, формула Эйлера справедлива не только для выпуклых многогранников, а, например, еще и для звездных. Математик Д. М. Я. Сомервилль (1879–1934) писал: «Выпуклость — это в какой-то мере акцидентальное свойство, выпуклый многогранник можно трансформировать, например путем сминания или вдавливания одной или нескольких вершин, в невыпуклый с точно такими конфигурационными характеристиками»¹²⁴. Поэтому было бы неточностью и ненужным упрощением говорить, что только для выпуклых многогранников имеет место формула Эйлера. Эрнест де Жонкьер полагал, что, «ссылаясь на Лежандра и других высоких авторитетов, мы лишь способствуем широкому распространению предрассудка, от которого не свободны даже лучшие умы: будто теорема Эйлера верна только для выпуклых многогранников»¹²⁵.

Можно ли зайти настолько далеко, чтобы утверждать, что все многогранники эйлеровы? Нет, как существуют деревья, не меняющие цвета осенью, так существуют и многогранники, не удовлетворяющие формуле Эйлера. Мы хотели бы установить, какими точно свойствами должен обладать многогранник, чтобы для него выполнялась формула Эйлера. Минералог Иоганн Фридрих Кристиан Гессель (1796–1872), с которым мы вскоре познакомимся, называл такие многогранники эйлеровыми.

В главе 2 мы говорили, что математики работали с многогранниками много столетий, не имея надлежащего определения. Все было хорошо, пока они предполагали (почти всегда неявно) выпуклость, но стоило им заявить, что какое-то утверждение справедливо для всех многогранников, как они обычно попадали впросак. Необходимость в строгом определении многогранника была осознана в начале XIX века.

Первым, кто занялся тщательным изучением того, какие многогранники удовлетворяют формуле Эйлера, был Симон Антуан Жан Люилье (1750–1840). Быть может, Люилье самой судьбой было предначертано поработать с формулой Эйлера. Как и Эйлер, Люилье был швейцарцем, а родился он в тот год, когда Эйлер открыл свою формулу для многогранников. Но самое забавное, что слово «l'huilier» буквально переводится как «масленка» или «тот, кто смазывает», поэтому Люилье можно было бы назвать «The Oiler» — так же, как фамилия Эйлер звучит по-немецки. Как и Эйлер, Люилье отказался от церковной карьеры, соблазнившись математикой. Когда Люилье был еще юношей, один из его родственников пообещал оставить ему часть своего состояния, если он изберет духовную стезю. Но вместо того чтобы принять это щедрое предложение, Люилье решил стать математиком.

Начало математической карьеры Люилье прошло в Варшаве, где он был наставником сына князя Адама Чарторыйского. Затем он вернулся в Швейцарию, где занял должность в Женевской академии и в конечном итоге дорос до ректора. За свою долгую жизнь он внес вклад в геометрию, алгебру и теорию вероятностей и за свои работы получил международное признание. Он также написал популярные учебники, которые много лет использовались в Польше. О его личности один биограф писал: «если поляки находили Люилье откровенным пуританином, то сограждане в Женеве укоряли его за недостаточный аскетизм и причуды, хотя последнее качество никогда не шло дальше изложения геометрических теорем в стихах и сочинения баллад о числе три и о квадратном корне из минус единицы»¹²⁶.

В 1813 году Люилье внес важный вклад в теорию многогранников и в понимание формулы Эйлера. В своей работе он представил три класса многогранников, не удовлетворяющих этой формуле, и назвал их «исключениями».

Статья Люилье была опубликована в новом частном журнале «Annales de mathematiques pures et appliquees». Этот журнал, первый посвященный исключительно математике, основал и редактировал артиллерийский офицер и опытный геометр Жозеф Диас Жергонн (1771–1859). Как писал математик Жан-Клод Понт, Жергонн «имел отвратительную привычку публиковать только те части предложенных ему работ, которые его интересовали»¹²⁷. Мало того что Жергонн подверг работу Люилье существенному редактированию, так он еще неоднократно вставлял собственные комментарии в текст его статьи — даже утверждал, что знал о двух из трех исключений, до того как прочел статью Люилье!

Первый класс исключений, открытых Люилье, состоял из многогранников с кольцевыми гранями. Например, на рис. 15.1 углубление в середине одной грани куба порождает грань в форме квадратной втулки. У этого многогранника 10 граней (5 квадратных, 4 треугольных и одна кольцевая), 20 ребер и 13 вершин. В данном случае формула Эйлера не выполняется, потому что 13–20 + 10 = 3. Люилье не называл такие грани кольцевыми, а говорил, что грань содержит «внутренний многоугольник».

Рис. 15.1. Исключения Люилье: кольцевые грани, туннели и полости

Второй класс исключений Люилье — многогранники с одним или несколькими «туннелями», просверленными сквозь центр. На рис. 15.1 мы видим многогранник в виде бублика. В нем 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, т. е. 16–32 + 16 = 0. Идею третьего класса исключений Люилье навеяла коллекция минералов, которую он видел у своего знакомого. В одном из образцов Люилье заметил цветной кристалл внутри прозрачного. (Позднее, в 1832 году Гесселя также вдохновил такой кристалл; в его случае то был кубический кристалл галенита (сульфида свинца) с кристаллом хлористого кальция внутри.) Люилье представил себе многогранник с многогранной же внутренней полостью. Разумеется, такое исключение имеет смысл, только если считать многогранник сплошным, а не полым телом. Куб с кубической полостью показан на рис. 15.1. У этого многогранника 16 вершин, 24 ребра и 12 граней, так что 16–24 + 12 = 4.

Люилье (и Жергонн) полагал, что этим исчерпываются все возможные исключения из формулы Эйлера. Люилье писал: «Легко убедиться, что теорема Эйлера верна в общем случае для всех многогранников, выпуклых и невыпуклых, за исключением случаев, которые будут описаны ниже»¹²⁸.

Затем, вместо того чтобы игнорировать исключения, Люилье придумал модификацию формулы Эйлера, учитывающую особенности исключительных многогранников. Он утверждал, что многогранник с T туннелями, C полостями и P внутренними многогранниками удовлетворяет формуле

V — E + F = 2 — 2T + P + 2C.

Нетрудно проверить, что эта формула действительно верна для всех трех многогранников на рис. 15.1.

Но, как оказалось, три случая, найденных Люилье, не исчерпывают всех исключений из формулы Эйлера, и его изобретательная формула неприменима ко всем «экзотическим» многогранникам. Например, ни один из четырех многогранников на рис. 15.2 не попадает ни в одну из категорий Люилье и не понятно, как применить его формулу. У первого многогранника имеется грань с двумя внутренними многоугольниками с общей вершиной; во втором имеется туннель с разветвлением; в третьем — полость в форме тора, а четвертый сам имеет форму тора, но наличие туннеля не очевидно.

Рис. 15.2. Многогранники сложной формы

И мы снова возвращаемся к проблеме определения многогранника — невозможно классифицировать эйлеровы многогранники, не имея точного определения, что такое многогранник. Тем не менее классификация исключений Люилье принесла чрезвычайную пользу, а его формула в несколько модифицированном виде в конечном итоге оказалась правильной. На самом деле, согласно Лакатосу, этот модифицированный вариант формулы Эйлера или похожий на него переоткрывался десяток раз за восемьдесят лет, последовавших за открытием Люилье.

Иоганн Гессель сначала получил медицинское образование, но изменил род занятий, после того как известный минералог К. К. фон Леонард убедил его заняться минералогией. В итоге Гессель стал профессором минералогии и технологий горных работ в немецком Марбурге. Он внес вклад в разные области науки, но больше всего известен математическими исследованиями классов симметрии минералов.

В статье 1832 года Гессель описал пять исключений из формулы для многогранников¹²⁹. Работая над статьей и предлагая ее для публикации, Гессель не знал о работе Люилье, написанной двадцатью годами раньше. Но вскоре он узнал об этой работе и о том, что три из пяти его исключений уже были описаны Люилье. Гессель полагал, что многим неизвестно об этих важных исключениях, поэтому не стал отзывать статью. Два новых исключения Гесселя показаны на рис. 15.3. Одно из них — многогранник, образованный двумя многогранниками, соединенными по ребру, а другое — многогранник, образованный двумя многогранниками, соединенными в вершине. Вопрос о том, следует ли называть эти фигуры многогранниками, спорный, но нет сомнений, что они не удовлетворяют формуле Эйлера. Первый имеет 12 вершин, 20 ребер и 11 граней (12 — 20 + 11 = 3), а второй — 8 вершин, 14 ребер и 9 граней (8 — 14 + 9 = 3).

Рис. 15.3. Исключения Гесселя из формулы для многогранников

Луи Пуансо нашел еще два исключения в 1810 году¹³⁰. В статье, содержащей уточнение доказательства Лежандра, Пуансо также представил четыре звездных многогранника, показанных на рис. 15.4. Как мы видели, математические теоремы часто открываются, потом забываются и открываются заново. Напомним, что два из этих четырех звездных многогранников, большой и малый звездные додекаэдры, были описаны еще Кеплером (см. рис. 6.6), а до того встречались на картинах Ямницера и Уччелло (рис. 6.3). Пуансо первым представил два других звездных многогранника, большой додекаэдр и большой икосаэдр, в математическом контексте, хотя первый также встречается на рисунках Ямницера (рис. 6.3). Эти четыре многогранника теперь называются многогранниками Кеплера-Пуансо.

Проще всего рассматривать их как невыпуклые многогранники, составленные из треугольных граней. Мы уже отмечали, что они звездные и потому, как следует из доказательства Лежандра, удовлетворяют формуле

Эйлера для многогранников. Однако ни Кеплер, ни Пуансо не воспринимали их таким образом. Они считали эти экзотические тела новыми видами правильных многогранников.

Рис. 15.4. Многогранники Кеплера-Пуансо: большой и малый звездные додекаэдры, большой додекаэдр и большой икосаэдр

Чтобы понять их точку зрения, нам придется вернуться к многоугольникам на плоскости. Ранее мы утверждали, что существует только один правильный n-угольник для любого n > 2. Например, правильный пятиугольник показан на рис. 15.5 слева. Но если ослабить требования и допустить пересечение сторон многоугольника, то можно будет найти еще один правильный пятиугольник — пентаграмму пифагорейцев. В конце концов, для вычерчивания пентаграммы нужно провести только пять линий карандашом. Мы считаем, что пентаграмма имеет пять вершин и пять сторон, соединяющих эти вершины. Каждая сторона пересекает две другие, но эти точки пересечения игнорируются и не считаются вершинами. Пентаграмма образована пятью сторонами равной длины, и углы между ними равны. Чем не правильный пятиугольник?

Рис. 15.5. Правильный пятиугольник и правильный самопересекающийся пятиугольник, пентаграмма

Кеплер и Пуансо рассматривали свои звездные многогранники точно так же. Большой додекаэдр, с их точки зрения, образован не треугольниками, а двенадцатью самопересекающимися пятиугольными гранями (см. рис. 15.6). То есть нужно взять все компланарные грани и объединить их в одну грань. Таким образом, большой додекаэдр построен из конгруэнтных правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Если мы готовы отказаться от требования выпуклости, то большой додекаэдр можно рассматривать как правильный многогранник наравне с платоновыми телами. И три других тела Кеплера-Пуансо обладают этой переопределенной характеристикой правильности — у большого и малого звездных додекаэдров гранями являются пентаграммы, а у большого икосаэдра — равносторонние треугольники.

Рис. 15.6. Правильные многогранники с самопересекающимися гранями

Как Теэтет доказал, что существует всего пять правильных многогранников, так Коши в 1811 году доказал, что существует только четыре многогранника, удовлетворяющих этому новому, ослабленному определению правильности, — четыре многогранника Кеплера-Пуансо¹³¹.

Хотя это не те многогранники, что встречаются в повседневной жизни, вычислить для них величину V — E + F все же можно. Конечно, большой икосаэдр (V = 12, E = 30, F = 20) и большой звездный додекаэдр (V = 20, E = 30, F = 12) удовлетворяют формуле Эйлера. Но остальные два нет — это еще два исключения из формулы Эйлера. Действительно, если рассматривать большой додекаэдр как многогранник с двенадцатью пятиугольными гранями, то он не удовлетворяет этой формуле. В нем 30 ребер и 12 вершин, поэтому 12–30 + 12 = –6. В малом звездном додекаэдре также 12 вершин, 30 ребер и 12 граней, так что знакочередующаяся сумма снова равна –6.

Первая половина XIX века видела много исключений из формулы Эйлера, но и много новых доказательств. К 1811 году уже существовали доказательства Эйлера, Лежандра и Коши. В 1813 году Люилье в той же статье, где были описаны три исключения¹³², дал новое доказательство того, что формула Эйлера верна для выпуклых многогранников. Как и Эйлер, Люилье разложил многогранник на пирамиды. Для этого он поместил новую вершину внутрь многогранника и построил ребра и грани, соединяющие эту вершину с вершинами и гранями исходного многогранника. Тем самым он разложил многогранник на много пирамид с общей вершиной. Затем он доказал, что формула для многогранников имеет место для любой пирамиды и для тел, построенных из пирамид таким способом.

В статье Люилье Жергонн привел доказательство для выпуклых многогранников (это доказательство через четырнадцать лет заново открыл Якоб Штайнер [1796–1863])¹³³. Жергонн спроецировал многогранник на плоскость и воспользовался рассуждениями, включающими углы многоугольников.

Одно из самых остроумных доказательств формулы для многогранников придумал Карл Георг Кристиан фон Штаудт (1798–1867) в 1847 году. У этого доказательства есть дополнительное достоинство: оно применимо к широкому классу невыпуклых многогранников. Штаудт родился в дворянской семье в Ротенбурге в Германии. В двенадцать лет он поступил в Гёттингенский университет для изучения астрономии и математики под руководством Гаусса. Его докторская диссертация по астрономии произвела на Гаусса такое впечатление, что он помог Штаудту получить место, дающее право на чтение лекций, в Вюрцбургском университете, хотя Штаудт в то время работал учителем в средней школе. В 1835 году Штаудт стал полным профессором Эрлангенского университета, где был ведущим математиком. Штаудт не отличался плодовитостью, но в 1847 году написал оказавшую заметное влияние книгу по проективной геометрии «Geometrie der Lage», к которой впоследствии добавил три длинных дополнения. Именно этой книгой он больше всего и запомнился.

Выпуклость является достаточным условием для формулы Эйлера, но, как указал Пуансо, не необходимым. В «Geometrie der Lage» Штаудт наконец дал очень общий набор условий, описывающих эйлеровы многогранники¹³⁴. Как и Коши, Штаудт неявно предполагал, что многогранники являются полыми оболочками, а не сплошными телами. Кроме того, он сделал следующие предположения о многогранниках:

1) из любой вершины существует путь в любую другую вершину, проходящий по ребрам;

2) любой путь, составленный из ребер, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине и не заходит ни в какую вершину дважды (напомним, что такой путь называется циклом), разбивает многогранник на две части.

Прозорливому критерию Штаудта удовлетворяют многие невыпуклые многогранники. Например, на рис. 15.7 показано два многогранника очень сложной формы. Первый, как выясняется, удовлетворяет всем условиям Штаудта (для него V = 48, E = 72, F = 26, так что 48–72 + 26 = 2). А второй — нет. Разрез по выделенной линии не разбивает этот многогранник на две части (для него V = 40, E = 60, F = 20, так что 40–60 + 20 = 0).

Рис. 15.7. Два многогранника сложной формы

Затем Штаудт привел красивое рассуждение, доказывающее, что для любого многогранника, удовлетворяющего этим условиям, должна выполняться формула Эйлера. Мы дадим краткий набросок данного доказательства.

Покрасим какую-нибудь вершину многогранника в красный цвет. Начав с этой вершины, покрасим одно из инцидентных ей ребер и другую его вершину в красный цвет (на рис. 15.8 этот процесс показан для куба, где жирными сплошными линиями выделены красные ребра). Затем выберем одну из двух красных вершин и покрасим инцидентное ей ребро и другую его вершину в красный цвет. Продолжим такое окрашивание ребер и вершин, соблюдая одно важное условие: не создавать красных циклов. Рано или поздно этот процесс завершится. Для любого многогранника, удовлетворяющего условиям Штаудта, это случится в точности тогда, когда все вершины будут покрашены в красный цвет. Поскольку во множестве красных ребер нет циклов, оно образует дерево и, как видели ранее (рис. 13.3 и относящийся к нему текст), красных ребер должно быть V — 1.

Рис. 15.8. Два дерева в доказательстве Штаудта

Теперь поместим внутрь каждой грани синюю вершину. Проведем синее ребро, соединяющее синюю вершину с соседней синей вершиной, если только они не разделены красным ребром (синие ребра показаны штриховыми линиями на рис. 15.8). И снова для многогранника, удовлетворяющего условиям Штаудта, получившийся синий граф будет деревом. В этом синем дереве F вершин, поэтому оно состоит из F — 1 ребер. Ключевое наблюдение заключается в том, что каждое ребро исходного многогранника либо красное, либо пересекается с синим ребром. Поэтому общее число ребер равно сумме числа красных и синих ребер:

E = (V — 1) + (F — 1),

что после изменения порядка членов дает V — E + F = 2.

Сделаем паузу — вернемся к трем исключениям Люилье (см. рис. 15.1) и убедимся, что они не удовлетворяют определению многогранника, данному Штаудтом. Первый многогранник Люилье имеет кольцевую грань. Поскольку невозможно пройти от наружных ребер кольца к внутренним, условие не выполнено. Заметим, что этот многогранник можно изменить, так что он будет отвечать определению Люилье. Для этого достаточно добавить искусственное ребро, соединяющее внутреннюю часть кольцевой грани с внешней (как на рис. 15.9 слева).

Рис. 15.9. Изменение кольцевой грани и разрезание тора

Второй многогранник имеет туннель, проходящий через центр. Он не удовлетворяет условию 2, потому что, как видно по рис. 15.9, можно сделать разрез, проходящий по циклу ребер, так что многогранник не распадется на две части. В 1879 году Р. Хоппе заметил: «Допустим, что многогранник сделан из материала, который легко режется, например из мягкой глины. Протащим нить через туннель, а потом сквозь глину. Многогранник не развалится»¹³⁵. Напомним, что Люилье не дал точного определения туннеля. Хоппе воспользовался идеями из статьи Штаудта, чтобы исправить эту ситуацию. Он определил туннель в терминах количества разрезов, которые необходимо сделать, чтобы поверхность распалась на части. Мы вернемся к этой идее в главе 17.

Ну, и третье исключение Люилье тоже легко отметается. Ведь в нем предполагается, что в многограннике имеется многогранная же полость, но это имеет смысл только для сплошных многогранников, тогда как Штаудт предполагал, что многогранники полые. Но даже если допустить сплошные многогранники, все равно условие 1 не выполняется, потому что не существует ребер, соединяющих внутренние вершины с внешними. Хотя исключения Гесселя удовлетворяют обоим условиям Штаудта, он, как и большинство математиков, не считал их многогранниками.

Интуитивно понятно, что многогранники, удовлетворяющие критериям Штаудта, — те, которые «похожи на сферу» и такие, что граница любой грани представляет собой один многоугольник. Многогранник не обязан быть выпуклым, но не может иметь туннелей. Если бы такой многогранник был сделан из резины, то, надув его, мы получили бы сферу.

Этот плодотворный диалог об эйлеровых и неэйлеровых многогранниках, состоявшийся в первой половине XIX века, подготовил сцену для рождения топологии. Эти идеи были развиты другими математиками, и кульминацией стало замечательное обобщение формулы Эйлера, полученное в конце XIX века Пуанкаре. Мы обсудим это развитие в главах 17, 22 и 23.

Приложения к главе

123. Quoted in Federico (1982), 71.

124. Sommerville (1958), 143-44.

125. de Jonquieres (1890).

126. Speziali (1973).

127. Pont (1974), 24.

128. Lhuilier (1813).

129. Hessel (1832).

130. Poinsot (1810).

131. Cauchy (1813a).

132. Lhuilier (1813).

133. Steiner (1826).

134. von Staudt (1847), 18–23.

135. Hoppe (1879).