Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Последовательность

После'довательность , одно из основных понятий математики. П. образуется из элементов любой природы, занумерованных натуральными числами 1, 2,..., n,..., и записывается в виде x₁ , x₂ , …, x_n , … или коротко, {x_n }. Элементы, из которых составляется П., называются её членами. Члены П., стоящие на разных местах, могут совпадать. П. можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел). Обычно П. определяется заданием n -го члена или рекуррентной формулой , по которой каждый следующий член определяется через предыдущий (см., например, Фибоначчи числа ). Наиболее часто встречаются числовые и функциональные П. (т. е. П., членами которых являются числа или функции). Примеры:

1, 2, …, n , …, то есть x_n = n ; (1)

, то есть ; (2)

,

то есть ; (3)

,

то есть ; (4)

Если элементы числовой П. при достаточно больших номерах n сколь угодно мало отличаются от числа а, то П. называется сходящейся, а число а — её пределом (аналогично определяется предел при функциональных П.). Например, П. (2) и (4) — сходящиеся, и их пределами служат число 0 и функция 1/(1 + x² ). Несходящиеся П., например (1) и (3), называются расходящимися.