Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Показательное распределение

Показа'тельное распределе'ние , распределение вероятностей на действительной прямой с плотностью вероятностей р (х ), равной при х ³ 0 показательной функции le^{- lx} , l > 0 [отсюда название П. р.] и при х < 0 — нулю. Вероятность того, что случайная величина X , имеющая П. р., примет значения, превосходящие некоторое произвольное число х, будет при этом равна e^{- lx} . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны соответственно 1/l и 1/l² . П. р. является единственным непрерывным распределением вероятностей, обладающим тем свойством, что для любых значений x₁ и x₂ выполняется равенство

P (X > x₁ +x₂ ) = P (X > x₁ ) P (X > x₂ )

(т. н. свойство «отсутствия последействия»). Указанным характеристическим свойством в значительной мере объясняется, например, та роль, которую П. р. играет в задачах массового обслуживания теории , где предположение о П. р. времени обслуживания является естественным. П. р. тесно связано с понятием пуассоновского процесса ; промежутки между последовательными событиями в таком процессе суть независимые случайные величины, имеющие П. р.; при этом l равно среднему числу событий в единицу времени.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.

А. В. Прохоров.