Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Положительно-определённая форма

Положи'тельно-определённая фо'рма , выражение вида

a_ik x_i x_k ,

где a_ik = a_ki , принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x₁ , х₂ ,..., x_n и обращающееся в нуль лишь при x₁ = х₂ =... = x_n = 0. Т. о., П.-о. ф. есть квадратичная форма специального типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования к виду

x² _i

Для того чтобы

a_ik x_i x_k

была П.-о. ф. необходимо и достаточно, чтобы D₁ > 0, …, D_n > 0, где

В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма

,

(где — число, комплексно сопряжённое с x_k , см. Комплексные числа ) такая, что a_ik = и f ³ 0 для всех значений x₁ , х₂ ,..., x_n и f = 0 лишь при x₁ = х₂ =... = x_n = 0, называется эрмитовой П.- о. ф.

С понятием П.-о. ф. связаны также понятия: 1) положительно-определённой матрицы ||a_ik || — такой матрицы , что

a_ik x_i x_k

есть эрмитова П.-о. ф.;

2) положительно-определённого ядра — такой функции К (х, у ) = , что

для любой функции x(х ) с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции — такой функции f (x ), что ядро К (х, у ) = f (x - y ) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f (x ) c f (0) = 1 совпадает с классом характеристических функций законов распределения случайных величин.