Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Полунепрерывная функция

Полунепреры'вная фу'нкция , понятие математического анализа. П. ф. снизу (сверху) в точке х₀ называется функция, для которой f (x ) = f (x₀ ) [соответственно f (x ) = f (x₀ )]. Иначе, функция полунепрерывна снизу в точке x₀ , если для всякого e > 0 найдётся такое d > 0, что из |x - x₀ | < d вытекает f (x₀ ) -— f (x ) < e (не по абсолютной величине!). Функция, полунепрерывная и снизу и сверху, непрерывна в обычном смысле. Ряд свойств П. ф. аналогичен свойствам непрерывных функций (см. Непрерывная функция ). Например: 1) если f (x ) и g (x ) П. ф. снизу, то и их сумма и произведение П. ф. снизу; 2) П. ф. снизу на отрезке достигает своего наименьшего значения. Для рядов П. ф. снизу верно, например, следующее утверждение: если u_n ³ 0 и все u_n (x ) П. ф. снизу, то сумма ряда å^¥ _n=1 u_n (x ) П. ф. снизу. П. ф. принадлежат к функциям первого класса по Бэра классификации .