Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Повторного логарифма закон

Повто'рного логари'фма зако'н, одна из предельных теорем теории вероятностей, близкая по смыслу к закону больших чисел (см. Больших чисел закон ). П. л. з. указывает при определённых условиях точный порядок роста сумм независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых. Пусть, например, случайные величины X₁ , X₂ ,..., X_n ,... независимы и каждая из них принимает два значения: +1 или —1, каждое с вероятностью, равной ¹ /₂ , и пусть s_n = X₁ +... + X_n . Тогда с вероятностью, равной 1, при любом d > 0:

1) при всех n, бо'льших некоторого (зависящего от случая) номера N:

s_n < (1 + d)

2) для бесконечной последовательности номеров n:

s_n > (1 - d).

Название «П. л. з.» объясняется наличием в вышеприведённых выражениях множителя In In n. П. л. з. возник из задач т. н. метрической теории чисел (см. Чисел теория ). Первый результат, относящийся к П. л. з., был установлен в 1924 А. Я. Хинчиным . Дальнейшие существенные продвижения в изучении условий приложимости П. л. з. связаны с работами А. Н. Колмогорова (1929) и В. Феллера (1943).

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

Ю. В. Прохоров.