Die Zahl, die aus der Kalte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird

Die größte Zahl des Universums

Die riesigen Dimensionen des Kosmos verleiteten Archimedes dazu, die, wie er meinte, größte Zahl, die es auf Erden gibt, zu berechnen. Denn Archimedes war der Ansicht, dass es vielleicht nicht sinnlos, wohl aber nutzlos sei, von größeren Zahlen zu sprechen als jener, die sich als Antwort auf die Frage ergibt, wie viele der allerkleinsten Teile der Welt im ganzen Universum Platz finden.

Die allerkleinsten Teile der Welt, das sind, so schreibt Archimedes, die Sandkörner. Dabei sollte man eher von einem Staubkorn sprechen, das er sich gedacht hat, denn er geht von folgendem Gedanken aus: Ein Mohnkorn umfasst nicht mehr als zehntausend Sandkörner. Und 25 Mohnkörner aneinandergereiht ergeben die Breite eines Fingers. Doch um ganz sicherzugehen, machte Archimedes das Mohnkorn so klein, dass 40 Mohnkörner aneinandergereiht nur eine einen Zentimeter lange Strecke ergeben. Stellt man sich das kleine Mohnkorn als einen Würfel mit einer Kantenlänge von einem Viertel Millimeter vor, besitzt dieser Würfel ein Volumen von rund 0,016 Kubikmillimetern. Archimedes machte es sogar noch kleiner: 0,01 Kubikmillimeter sollte es bloß groß sein. Zehntausend Sandkörner enthält dieses Korn. Darum hat das Sandkorn, der nach Archimedes allerkleinste Teil der Welt, ein Volumen von mickrigen 0,000001 Kubikmillimetern. Mit anderen Worten: In einen Kubikmillimeter passen eine Million Sandkörner.

Die größte Zahl des Universums ist nun die Sandzahl. Die Zahl der Sandkörner, die im Universum Platz finden.

Den Durchmesser des Kosmos schätzte Archimedes sehr großzügig ab, wobei er sich auf die – wie wir bereits wissen falschen – Daten des Aristarch über den Abstand der Erde von der Sonne berief. Nach Aristarchs Meinung ist die Sonne mehr als 19-mal weiter von der Erde entfernt als der Mond. Der von Aristarch vermutete Abstand zur Sonne ist also, aufgerundet, der Mondabstand von 400 000 Kilometern mal zwanzig: Das macht acht Millionen Kilometer. Sicher passt das Universum, so vermutete Archimedes, in einen Würfel, dessen Kante eine Million mal größer als der Abstand der Erde von der Sonne ist. Das wäre eine Kante mit acht Billionen Kilometer Länge. Noch größer ist ein Würfel, der zehn Billionen Kilometer als Kantenlänge hat. Von diesem ging Archimedes aus. Sein Volumen beträgt eine Sextilliarde Kubikkilometer, also 1039 Kubikkilometer, das bedeutet nach der Ziffer 1 folgen 39 Nullen.

In einen Kubikmillimeter passen eine Million, also 106 Sandkörner. Und weil eine Milliarde Kubikmillimeter, also 109 Kubikmillimeter, in einen Kubikmeter und genauso eine Milliarde Kubikmeter, also 109 Kubikmeter, in einen Kubikkilometer passen, lautet die Sandzahl des Archimedes 106 × 109 × 109 × 1039. Das ist 1063, in Worten: eine Dezilliarde.

Die genaue Größe der Sandzahl interessierte Archimedes aber gar nicht wirklich. Was er mit seiner Rechnung mitteilen wollte, war zweierlei:

Erstens: So wie die Griechen der Antike Zahlen schrieben – ihre Buchstaben waren zugleich Symbole der Zahlen –, war es ihnen verwehrt, riesige Zahlenungetüme zu bezeichnen. Archimedes hatte für den Zweck, eine Dezilliarde darstellen zu können, ein eigenes Zahlensystem geschaffen. Eine Myriade, vom griechischen mýrios, das „unzählig“ bedeutet, bezeichnet im archimedischen System zehntausend. Sodann potenzierte Archimedes die Myriaden und konnte damit, ohne Verwendung der Null, deren Wesen ihm eigenartigerweise verschlossen blieb, beliebig große Zahlen wenigstens in Worte fassen.

Zweitens: Eine Dezilliarde ist, so meinte Archimedes, die größte Zahl des Universums. Nirgendwo in der Welt wird man es je mit einer größeren Anzahl zu tun haben. Aber in der Mathematik, so war Archimedes überzeugt, kommen noch viel größere Zahlen vor. Er selbst erwähnt in seiner Schrift über die Sandzahl das Zahlenungetüm 1080 000 000 000 000 000, in heutiger Schreibweise eine 1 gefolgt von 80 Billiarden Nullen – und auch diese ist aus mathematischer Sicht noch klein. Denn aus der Perspektive der Mathematik ist jede Zahl klein. Nur endlich viele können vor ihr genannt werden, wenn man von eins bis zu dieser Zahl zählt, aber unendlich viele sind immer noch ungenannt und warten darauf, gezählt zu werden.

Es mag reizvoll sein, eine ähnliche Abschätzung wie die des Archimedes durchzuführen, wobei wir nicht mehr Sandkörner und das viel zu kleine Sonnensystem des Aristarch, sondern die kleinstmögliche und die größtmögliche Länge benutzen, welche die moderne Physik gegenwärtig kennt: Wenn man die Gravitationskonstante, die seit Newton und Einstein das Referenzmaß der Schwerkraft ist, die Lichtgeschwindigkeit, seit Maxwell und Einstein das Referenzmaß aller elektrodynamischen Prozesse, und das Wirkungsquantum, seit Planck und Bohr das Referenzmaß der Quantentheorie, geeignet kombiniert, erhält man die sogenannte Plancksche Länge, die 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 016 162 Meter groß ist. Man schreibt dafür kurz 1,6162 × 10 –35 Meter, weil die erste von Null verschiedene Ziffer 1 erst an der 35. Stelle nach dem Komma auftritt. Wir berechnen nun, wie viele „Würfel“ mit einer „Kantenlänge“ von 10–35 Meter in ein Universum passen, das 50 Milliarden Lichtjahre als Ereignishorizont besitzt, also in einen „Würfel“ mit der „Kantenlänge“ von 100 Milliarden Lichtjahren. Weil 100 Milliarden Lichtjahre geringfügig weniger lang als 100 Milliarden mal 10 Billionen Kilometer, also 1011 × 1013 × 103 Meter sind, das sind 1011 + 13 + 3 = 1027 Meter, ist das der Wahrnehmung zugängliche All in einem Volumen von 1027 × 3, also von 1081 Kubikmeter enthalten. Der „Planck-Würfel“ mit einer „Kantenlänge“ von 10–35 Meter hat 10–35 × 3, also 10–105 Kubikmeter Rauminhalt. In das Universum passen folglich nicht mehr als 1081 + 105, das sind 10186 „Planck-Würfel“, eine Untrigintillion: Auf die Ziffer 1 folgen sage und schreibe 186 Nullen. Das ist, wenn man so will, die moderne „Sandzahl“.

Bei der Zeit kann man eine ähnliche Spielerei – mehr ist es in Wirklichkeit natürlich nicht – durchführen. Es gibt nicht nur eine Plancklänge, es gibt auch eine Planckzeit, die kleinste noch physikalisch sinnvolle Zeiteinheit, welche rund 5 × 10–44 Sekunden beträgt. Soweit wir wissen, ist das Universum vor 13,8 Milliarden Jahren entstanden, in Sekunden umgerechnet ist diese Zeitspanne etwas kürzer als 5 × 1017 Sekunden. Somit passen in die bisherige Geschichte des Weltalls höchstens 1017 + 44, das sind 1061 plancksche „Augenblicke“, zehn Dezillionen. Das ist erstaunlicherweise „nur“ ein Hundertstel der archimedischen Sandzahl.

Sobald man mit Zahlenungetümen zu rechnen beginnt, wird man richtig unbescheiden …