Die Zahl, die aus der Kalte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird

Geheimnisse schmieden und lüften

Sofort stellt sich die Frage: Wie hat es der Circus geschafft, Smiley den Modul 221 und den Exponenten 11 mitzuteilen, ohne dass die Spione des Ostens davon Wind bekommen haben? Die Antwort lautet: Er hat sich gar nicht darum bemüht, diese beiden Zahlen geheim zu halten. Alle dürfen diese Zahlen kennen. Nicht nur Smiley, auch Karla, sein sinistrer Gegenspieler, der im fernen Russland die Fäden aller Geheimdienste des Sowjetreiches zu ziehen versteht. Und Karla weiß auch, was Smiley macht, um die Zahl seines Agenten mit Hilfe des Moduls 221 und des Exponenten 11 zu verschlüsseln, sie unkenntlich zu machen.

Smiley nämlich beginnt zu rechnen.

Das Rechnen des George Smiley ist auf den ersten Blick ein wenig eigenartig, weil er bei seinen Rechenergebnissen nur 221 Zahlen kennt. So viele, wie der Modul angibt. Nämlich die Zahlen

0, 1, 2, 3, 4, …, 216, 217, 218, 219, 220.

Bei jeder größeren Zahl zieht er so oft 221 ab, bis er schließlich wieder zu einer Zahl dieser Liste gelangt. So ersetzt er 221 durch 0, 222 durch 1, 223 durch 2, 224 durch 3 und so weiter. Bei der Zahl 1000 muss er 221 viermal abziehen, denn so häufig ist 221 ganzzahlig in 1000 enthalten. Mit der Subtraktion 1000 − 4 × 221 = 1000 − 884 gelangt er zu 116. Smiley schreibt dafür: 1000 ≡ 116. Statt der zwei Striche des gewöhnlichen Gleichheitszeichens = schreibt er das Zeichen ≡ mit drei Strichen. Gauß, der Erfinder dieses Symbols, sagte dazu, dass 1000 und 116, bezogen auf den Modul 221, kongruent sind.

Die Zahlen, so kann man es sich vorstellen, sind als Punkte auf einem Kreis eingetragen. 221 Punkte, bezeichnet mit 0, 1, 2, …, bis zu 220, liegen im gleichen Abstand voneinander auf dem Kreis. Sie bilden die Ecken eines regelmäßigen 221-Ecks. Und Smiley zählt und rechnet so, als ob er diese Punkte auf dem Kreis entlangläuft.

Smiley verschlüsselt die Zahl 7 des Agenten 007 auf folgende Weise: Er multipliziert 7 elf mal mit sich selbst – eben so oft, wie es der ihm vom Circus mitgeteilte Exponent verlangt – und ermittelt danach, zu welcher seiner 221 Zahlen seines Zahlensystems diese Potenz 711, also das elffache Produkt von 7 mit sich selbst, kongruent ist. Und diese Zahl funkt er zum Circus nach London. Nun ist 711 eine sehr große Zahl. Ihr Wert beträgt

7 11 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 1 977 326 743.

Der Modul 221 ist in ihr 8 947 179-mal enthalten. Subtrahiert man das 8 947 179-Fache des Moduls 221 von dem Zahlenmonster 711, bleibt der Rest 184. Das ist die Zahl, die Smiley an den Circus schicken sollte, weil sie die Geheimzahl 7 kodiert.

Das einzige Problem, dem sich Smiley gegenübersieht, ist: Sein Taschenrechner kann Zahlenmonster wie 1 977 326 743 nicht packen. Die Anzeige umfasst bloß acht Stellen. Bei der Aufforderung, größere Zahlen zu ermitteln, antwortet sein Rechner mit „Error“. Und so große Zahlen mit der Hand zu berechnen, ist für Smiley zu mühsam und auch zu gefährlich. Es darf sich ja beim Kodieren kein Rechenfehler einschleichen. Doch diese Schwierigkeit weiß er auf eine elegante Art zu umschiffen:

Er berechnet nicht direkt das Zahlenmonster 711, sondern zuerst nur die Potenzen 71 = 7, 72 = 7 × 7, 74 = 72 × 72 und 78 = 74 × 74. Die beiden erstgenannten kann er im Kopf ermitteln: 71 = 7 und 72 = 49. Bei der nächsten nimmt er den Taschenrechner zur Hand, erhält 74 = 49 × 49 = 2401 und verkürzt dieses Ergebnis gleich auf sein Zahlensystem: Der Modul 221 ist in 2401 zehnmal enthalten und die Subtraktion 2401 − 10 × 221 = 2401 − 2210 ergibt 191. Darum schreibt Smiley 74 ≡ 191. Für die Berechnung von 78 = 74 × 74 verwendet Smiley gleich den Rest 191: Diese Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 36 481. Der Modul 221 ist darin 165-mal enthalten. Zieht man 165 × 221 = 36 465 von 36 481 ab, verbleibt 16. Also schreibt Smiley 78 ≡ 16. Er hat damit die folgende Liste vor sich:

71 ≡ 7, 72 ≡ 49, 74 ≡ 191, 78 ≡ 16.

Zur Berechnung von 711 braucht er jetzt nur mehr 78 × 72 × 71 auszurechnen, weil die Summe 8 + 2 + 1 den Exponenten 11 ergibt. Smiley bedient sich gleich der entsprechenden Reste und bekommt für 16 × 49 × 7 das Ergebnis 5488. In ihm ist der Modul 221 ganzzahlig 24-mal enthalten. Aus der Subtraktion 5488 − 24 × 221 = 5488 − 5304 = 184 gewinnt Smiley nun das gleiche Ergebnis wie oben: Es ist 711 ≡ 184. Darum funkt Smiley zum Circus: „Es wäre schön, mit 184 zusammen Tee zu trinken.“

Keiner der sowjetischen Spione ahnt, dass sich hinter 184 just die Zahl 7 verbirgt. Nur der Circus in London kann es herausfinden. Aus seinem Tresor nimmt nämlich Toby Esterhase, jener Mann, der für das Dekodieren von Nachrichten zuständig ist, ein mit einem „Top Secret“-Stempel versehenes Papier heraus, auf dem der zum Modul 221 und zum Exponenten 11 gehörende „Geheimexponent“ steht. Nur der Circus kennt ihn, und er wird wie ein rohes Ei behandelt. Allein dem engsten Kreis der Zuverlässigsten ist er zugänglich. Der zum Modul 221 und zum Exponenten 11 gehörende Geheimexponent heißt 35.

Um Smileys Nachricht zu dechiffrieren, geht Toby Esterhase ganz ähnlich vor wie Smiley. Nur nimmt er jetzt die ihm zugesandte kodierte Zahl 184 zur Hand und multipliziert diese 35-mal mit sich selbst – so oft, wie es der Geheimexponent aus dem Tresor verlangt. Nun aber ist 18435 ein Zahlenmonster mit achtzig Stellen. Das überfordert den armen Esterhase ein wenig. Aber genauso wie Smiley weiß er sich zu helfen. Er berechnet der Reihe nach die Potenzen 1841, 1842, 1844, 1848, 18416, 18432, wobei er alle Ergebnisse immer gleich mit dem Modul 221 verkürzt. Also der Reihe nach: Zuerst ist 1841 = 184. Danach ergibt 1842 = 184 × 184 die Zahl 33 856. Der Modul 221 ist 153-mal in ihr enthalten. Toby Esterhase rechnet

33 856 − 153 × 221 = 33 856 − 33 813 = 43

und kommt so auf das Resultat 1842 ≡ 43. Nun zur nächsten Potenz: 1844 = 1842 × 1842 ermittelt Esterhase so, dass er den 1842 entsprechenden Rest 43 mit sich selbst multipliziert. Es ist 43 × 43 = 1849. Der Modul 221 ist achtmal darin enthalten. Toby Esterhase rechnet

1849 − 8 × 221 = 1849 − 1768 = 81

und kommt so auf das Resultat 1844 ≡ 81. Nun zur nächsten Potenz: 1848 = 1844 × 1844 ermittelt Esterhase so, dass er den 1844 entsprechenden Rest 81 mit sich selbst multipliziert. Es ist 81 × 81 = 6561. Der Modul 221 ist 29-mal darin enthalten. Toby Esterhase rechnet

6561 − 29 × 221 = 6561 − 6409 = 152

und kommt so auf das Resultat 1848 ≡ 152. Nun zur nächsten Potenz: 18416 = 1848 × 1848 ermittelt Esterhase so, dass er den 1848 entsprechenden Rest 152 mit sich selbst multipliziert. Es ist 152 × 152 = 23 104. Der Modul 221 ist 104-mal darin enthalten. Toby Esterhase rechnet

23 104 − 104 × 221 = 23 104 − 22 984 = 120

und kommt so auf das Resultat 18416 ≡ 120. Jetzt zur Potenz: 18432 = 18416 × 18416. Der 18416 entsprechende Rest 120 mit sich selbst multipliziert ergibt 14 400. Der Modul 221 ist 65-mal darin enthalten. Mit der Rechnung

14 400 − 65 × 221 = 14 400 − 14 365 = 35

findet Toby Esterhase das Ergebnis 18432 ≡ 35.

Nun ist er fast am Ziel. Denn zur Berechnung von 18435 braucht er jetzt nur mehr 18432 × 1842 × 1841 auszurechnen, weil die Summe 32 + 2 + 1 den Geheimexponenten 35 ergibt. Toby Esterhase bedient sich gleich der entsprechenden Reste und bekommt für 35 × 43 × 184 das Ergebnis 276 920. In ihm ist der Modul 221 ganzzahlig 1253-mal enthalten. Aus der Subtraktion

276 920 − 1253 × 221 = 276 920 − 276 913 = 7

entdeckt Toby Esterhase, welche Zahl ihm George Smiley eigentlich senden wollte: Es ist 18435 ≡ 7. Smiley möchte mit Agent 007 jenseits des Eisernen Vorhangs „Tee trinken“.

Toby Esterhase rechnet alles sorgfältig ein zweites Mal und ein drittes Mal nach. Denn jeder noch so kleine Fehler wäre fatal. Aber warum dieses Verfahren mit dem Geheimexponenten 35 so zauberhaft funktioniert, warum aus der kodierten Mitteilung 184 der Wunsch Smileys nach einem Treffen mit dem Agenten 007 dechiffriert werden kann, versteht Toby Esterhase nicht.15 Er macht einfach das, was ihm aufgetragen wurde. Für Englands Ruhm, wie er vorgibt. Für Bill Haydon, seinen unmittelbaren Chef, dem er treu ergeben ist. Und für seinen Ehrgeiz. Denn wenn er gewissenhaft alle Aufträge erledigt, darf er vielleicht einmal den Liftknopf drücken, der ihn im Circus zur höchsten Etage befördert, dorthin, wo Bill Haydon herrscht.

Nun ist geklärt, wie das zauberhafte Verschlüsselungsverfahren funktioniert. Aber eine Frage ist noch offen.