Истоки: социокультурная среда экономической деятельности и экономического познания

13. Я уверен, что те, кто полагают, что, если мы не можем установить числовую вероятность, но не потому, что таковой не существует, но просто потому, что мы ее не знаем, на самом деле предполагают, что благодаря некоторому увеличению нашего знания эту вероятность будет можно установить, т. е. что наши выводы будут иметь числовую вероятность по отношению к несколько иным предпосылкам. Следовательно, если только читатель не слишком настаивает на том, что в любом из примеров, которые я разбирал в предыдущих положениях этой главы, теоретически возможно на основании имевшихся фактов установить числовое значение вероятности, нам остаются лишь две первые альтернативы, описанные в пункте 10: либо в некоторых случаях вероятности вовсе не существует; либо не все вероятности принадлежат к одному множеству величин, измеримых в одних и тех же единицах. Было бы затруднительно настаивать на том, что не существует каких-либо логических отношений, связывающих предпосылки и выводы в тех случаях, когда мы не можем установить числовое значение вероятности; и если это так, то проблема в действительности состоит в том, имеют ли эти логические отношения какие-либо характеристики, кроме измеримости, которые могли бы убедить нас в том, что к ним применимо понятие вероятности. Следовательно, предпочтение, которое мы отдаем одной из этих двух альтернатив – отчасти лишь вопрос определения. Иными словами, мы можем выделить среди вероятностей (в широком смысле этого слова) множество, если таковое существует, все элементы которого будут измеримы в одних и тех же единицах, и назвать их и только их вероятностями (в узком смысле этого слова). Ограничивать употребление слова «вероятность» таким образом привело бы, думаю, к большому неудобству. Как будет показано далее, поскольку можно найти несколько множеств, элементы каждого из которых будут измеримы в единицах, применимых к остальным элементам того же множества, наш выбор множества будет до некоторой степени произвольным. [691] Более того, различие между вероятностями, которые окажутся измеренными таким образом, и теми, которые измерению поддаваться не будут, не является принципиальным.

В любом случае я стремлюсь рассматривать вероятность в самом широком значении этого термина и не хотел бы ограничивать сферу его применения лишь некоторыми типами рассуждений. Если мнение о том, что не все вероятности могут быть измеримы, выглядит парадоксальным, то, возможно, это связано с тем, что этот термин употребляется не в том значении, которое ожидает читатель. Обыденное употребление термина, даже если и допускает намек на числовое измерение, всецело не исключает вероятности, которые такому измерению не поддаются. Предпринятые до сих пор неудачные попытки рассмотрения численно неопределенных вероятностей как неизвестных вероятностей показывают, как сложно удержать обсуждение в изначально намеченных рамках, если понятие изначально определено слишком узко.

14. В дальнейшем я буду настаивать на том, что существуют некие пары вероятностей, между членами которых невозможно никакое сравнение по величине; но что мы можем, говорить о некоторых паpax отношений вероятностей, из которых одна будет больше, а другая меньше, хотя и невозможно измерить разницу между ними, и что в особых случаях, о которых я буду говорить позже, сравнению по величине не может быть придано числовое значение. Я думаю, что результаты наблюдений, примеры которых были приведены выше в этой главе, согласуются с этой точкой зрения.

Говоря о том, что не все вероятности измеримы, я имею в виду, что невозможно в отношении любой пары выводов, о которых мы располагаем неким знанием, сказать, что степень нашей рациональной веры в одном находится в численном отношении к степени веры в другом; и говоря, что не все вероятности могут быть сравнимы по критерию «больше/меньше», я имею в виду, что не всегда можно сказать, что степень нашей рациональной веры в один исход равна, больше или меньше, степени нашей веры в другой исход.

Мы должны теперь рассмотреть философскую теорию количественных характеристик вероятности, которая объясняла и подтверждала бы выводы, к которым приводят рассуждения (если сказанное выше верно) из повседневной практики. Следует иметь в виду, что наша теория должна быть применима ко всем типам вероятностей, а не только к ограниченной группе, и что, если мы не принимаем определение вероятности, которое предполагает ее числовую измеримость, мы не можем в своих рассуждениях идти от различий в степени вероятности к числовым измерениям этих различий. Это тонкая и сложная проблема, я с большой осторожностью предлагаю ниже ее решение, однако я убежден в том, что нечто, напоминающее представленные здесь выводы, верно.

15. Так называемые уровни или степени знания, или вероятности, благодаря которым можно говорить, что одно больше, а другое меньше, в действительности возникают из порядка, в котором возможно их расположить. Например, достоверность, невозможность и вероятность, которая занимает промежуточное положение, составляют упорядоченную последовательность, в которой вероятность находится между достоверностью и невозможностью. Аналогично, может существовать вторая вероятность, которая будет располагаться между достоверностью и первой вероятностью. Поэтому когда мы говорим, что одна вероятность больше, чем другая, это определенно означает, что степень нашей рациональной веры в первом случае находится между достоверностью и степенью нашей рациональной веры во втором случае.

Основываясь на этой теории, нетрудно увидеть, почему сравнения по критерию «больше/меньше» не всегда возможны. Они существуют между двумя вероятностями, только когда они и достоверность находятся внутри одной и той же упорядоченной последовательности. Однако если существует более чем одна последовательность вероятностей, очевидно, что только те, которые принадлежат к одной и той же последовательности, подлежат сравнению. Если признак «больший», сопровождающий один из двух элементов [последовательности], возникает исключительно из относительного порядка элементов в последовательности, тогда сравнения по критерию «больше/меньше» должны всегда быть возможны между элементами, которые являются членами одной и той же последовательности, и никогда не будут возможны в противном случае. Некоторые вероятности несопоставимы по критерию «больше/меньше», потому что они лежат на различных, если так можно сказать, линиях между доказательством и опровержением, между достоверностью и невозможностью; и ни одна из двух вероятностей, которые находятся на разных линиях, не придает другой отношения «между», которое необходимо для количественного сравнения.

Если мы сравниваем вероятности двух суждений, при этом выводы обоих совпадают, а свидетельств в пользу одного больше, чем в пользу другого, потому что в суждения включены некоторые релевантные подтверждающие факты, то в этом случае кажется ясным, что между этими двумя суждениями существует некоторое отношение, которое указывает, что одно из них ближе к достоверности, чем другое. Можно привести в качестве примера несколько типов суждений, в которых существование такого отношения так же явственно, [как и в описанном случае]. Но мы не можем допустить его существования в каждом случае или при определении большей или меньшей вероятности для любой пары суждений.

16. Аналогичные примеры отнюдь не редки – в них в силу обычной небрежности фразы о количестве употребляются так же произвольно, как и в случае с вероятностью. Простейший пример – цвет. Когда мы описываем цвет одного объекта как более синий, чем цвет другого, или говорим, что в нем больше зеленого, мы не имеем в виду, что существуют количественные характеристики синего и зеленого, которыми цвет объекта наделен в большей или меньшей степени; мы имеем в виду, что цвет [объекта] занимает определенную позицию в порядке цветов и что он находится ближе к некоему стандартизированному цвету, чем цвет, с которым мы его сравниваем.

Другой пример – количественные числительные. Мы говорим, что число «3» больше, чем число «2», но мы не имеем в виду, что эти числа являются количествами, одно из которых по величине больше, чем другое. Одно число больше, чем другое потому, что оно занимает определенное место в общем порядке чисел; оно более удалено от исходной точки нуля. Одно число больше, чем другое, если второе находится между нулем и первым.

Но самую близкую аналогию дает случай подобия. Когда мы говорим о трех объектах: А, В и С, что В больше похоже на А, чем С, мы имеем в виду не то, что существует некое отношение, в котором В само по себе количественно больше, чем С, но то, что если три объекта размещены в порядке возрастания подобия, тогда В находится ближе к А, чем С. Здесь, как и в случае с вероятностью, существуют разные порядки подобия. Например, книга в голубом сафьяновом переплете больше похожа на книгу в красном сафьяновом переплете, чем если бы она [первая книга] была в голубом кожаном переплете; а книга в красном кожаном переплете больше похожа на книгу в красном сафьяновом переплете, чем если бы она была в голубом кожаном переплете. Но может и не быть сравнения между степенью подобия, которая существует между книгами в красном и голубом сафьяне, и той, которая существует между книгами в красном сафьяне и красной коже.

Эта иллюстрация заслуживает особого внимания, так как аналогия между порядками подобия и вероятности настолько велика, что ее понимание может существенно помочь понять идеи, которые я хочу здесь представить. Мы говорим, что одно суждение более вероятно, чем другое (т. е. что оно находится ближе к достоверности) подобно тому, как мы можем описать один объект как более похожий на стандартный объект сравнения, чем другой.

17. До сих пор ничего еще не было сказано о том, поддаются ли вероятности хоть какому-то численному сравнению. Верно, что в некоторых типах упорядоченных последовательностей наряду с порядком существуют измеримые дистанции между их членами, и что отношение одного из членов к началу координат может быть численно сравнено с отношением другого члена к той же точке. Но законность таких сравнений в каждом случае должна стать предметом особого рассмотрения.

Пока мы не дойдем до второй части этой книги, невозможно будет объяснить, как и в каком смысле в ряде случаев вероятности может быть придано числовое значение. Но эта глава будет более завершенной, если я кратко сформулирую выводы, к которым мы придем позже. Я покажу, что процесс исчисления вероятностей может быть определен с помощью таких характеристик, что его можно будет назвать сложением . Как следствие может иметь место ситуация, когда мы сможем сказать, что вероятность C равна сумме двух вероятностей A и B , т. е. C = A + B . Если в этом случае A и B равны, мы можем записать это выражение в виде C = 2 A и сказать, что C – это удвоенное A . Аналогично, если D = C + A , мы можем выразить D как равное 3 A , и т. д. Поэтому мы можем приписать смысл равенству P = n A , где P и A – отношения вероятности, а n – некоторое число. В таких условных измерителях достоверности соответствует единица. Следовательно, если P выражает достоверность, пользуясь обыденным языком, мы можем сказать, что величина вероятности A равна 1/ n . Далее будет также показано, что мы можем дать определение применимой к вероятностям процедуры, имеющей свойства арифметического умножения. Там, где числовое измерение возможно, мы можем производить алгебраические действия значительной сложности. Большое внимание, которое было уделено одному ограниченному классу исчисляемых вероятностей (не связано с реальной значимостью вероятностей этого типа, но вызвано теми математическими преобразованиями, которые можно над ними производить), отчасти объясняет распространенную веру в то, что все вероятности должны принадлежать к этому классу – доказательство ошибочности этой веры и составляет основной предмет этой главы.

18. Мы должны рассматривать количественные характеристики вероятности следующим образом. Мы можем представить некоторые множества вероятностей в виде упорядоченных последовательностей, о любой паре из которых можно сказать, что один ее элемент находится ближе к достоверности, чем другой и что суждение в одном случае является более доказательным, чем в другом и что один вывод более основателен, чем другой. Но мы можем лишь выстраивать эти упорядоченные последовательности в особых случаях. Если нам даны два различных суждения, нет никакого общего основания для того, чтобы их вероятности и достоверность могли бы быть упорядочены. В каждом конкретном случае нам приходится самим устанавливать существование такого порядка. Далее будет предпринята попытка объяснить, как и при каких обстоятельствах такие порядки могут быть установлены, и основная идея изложенной здесь теории – получение дополнительного обоснования. Сейчас же было показано, что утверждение о том, что в одних случаях порядок [последовательности] существует, а в других – нет, согласуется со здравым смыслом.

19. Вот каковы некоторые принципиальные свойства упорядоченных последовательностей вероятностей:

1. Каждая вероятность находится на отрезке между невозможностью и достоверностью; о ее степени, которая не идентична ни невозможности, ни достоверности, всегда будет правильно сказать, что она находится между ними. Таким образом, достоверность, невозможность и любая другая степень вероятности образуют упорядоченную последовательность. Это то же, что сказать, будто каждое суждение является доказательством, опровержением или занимает промежуточную позицию.

2. Отрезок, составленный из степеней вероятности, не всегда является сплошным. Иными словами, необязательно верно, что каждая пара вероятностей в одной и той же последовательности содержит вероятность, находящуюся между двумя этими элементами.

3. Одна и та же степень вероятности может находиться более чем на одном отрезке (т. е. может принадлежать более чем к одной последовательности). Отсюда, если B находится между A и C , а также между A ? и C? , из этого не следует, что A и A ? тоже находятся между другим элементом и достоверностью. То, что одна и та же вероятность может принадлежать более чем к одной последовательности, наблюдается и когда речь идет о подобии.

20. Различные последовательности вероятностей и их взаимные отношения могут быть наиболее простым образом изображены посредством диаграммы. Представим упорядоченную последовательность точками, лежащими на отрезке, все точки которого принадлежат одной последовательности. Из свойства 1 следует, что точки O и I , представляющие отношения невозможности и достоверности, находятся на каждом из отрезков, и что все отрезки полностью помещаются между этими точками. Из свойства 3 следует, что одна и та же точка может лежать более чем на одном отрезке. Следовательно, отрезки могут накладываться друг на друга и пересекаться. Из свойства 4 следует, что вероятность, представленная данной точкой, больше, чем другая, представленная любой точкой, к которой можно прийти, двигаясь от первой точки к точке невозможности, и меньше, чем та вероятность, которая представлена точкой, лежащей между первой точкой и точкой достоверности. Поскольку в этой диаграме существуют отдельные независимые траектории движения, там будут и некоторые пары точек, представляющие отношения вероятности таким образом, что мы не можем достичь одну, двигаясь от другой по некоей траектории всегда в одном и том же направлении. Эти свойства иллюстрируются прилагаемой диаграммой. O представляет невозможность, I – достоверность, A – численно измеримую вероятность, промежуточную между O и I; U, V, W, X, Y, Z – нечисловые вероятности, среди которых, однако, V меньше, чем численная вероятность A , а также меньше, чем W, X и Y. X и Y обе больше, чем W и больше, чем V , но они не сравнимы друг с другом или с A. V и Z обе меньше, чем W, X и Y , но не сравнимы друг с другом; U количественно не сравнима с любой из вероятностей V, W, X, Y, Z . Вероятности, которые являются численно сравнимыми, все будут принадлежать одной последовательности, и отрезок этой последовательности, который мы можем назвать числовым отрезком или ветвью, будет представлен в виде OAI .

21. Основные результаты, к которым мы пришли к настоящему моменту, сводятся к следующему:

1. Среди степеней вероятности или рациональной веры существуют разные множества, каждое из которых образует упорядоченную последовательность. Эти последовательности упорядочены благодаря отношениям «между». Если В находится между А п С, ABC образует последовательность.

2. Существует две степени вероятности Oui, между которыми располагаются все прочие вероятности. То есть, если А является вероятностью, OAI составляет последовательность. О представляет невозможность, а/ – достоверность.

5. Если вывод a заключает в себе отношение вероятности P к предпосылке h , или если, другими словами, предпосылка h влияет на взвод a с вероятностью P , это можно записать как aPh , а можно как a / h = P .

Перевод с англ. гл. 1, 2 И.А. Болдырева (первичный вариант создан участниками семинара по истории экономической мысли на философском факультете МГУ им. М.В. Ломоносова 2005 г. А. Игнатьевой, И. Изотовой, Д. Манченковым, И. Машковой и К. Подгрудковой), гл. 3 М.Л. Майофис, научное консультирование Л.Б. Макеевой

© Перевод на русский язык. Издательский дом ВШЭ, 2011

Франк П. Рамсей. Истина и вероятность (1926) [692]

Предисловие

В этом очерке теория вероятностей рассматривается как раздел логики – логики неполной веры и недемонстративного рассуждения; но здесь не подразумевается, что это единственный или даже наиболее важный аспект данного предмета изучения. Вероятность имеет основополагающее значение не только для логики, но также для статистики и физической науки, и мы не можем быть заранее уверены, что ее наиболее полезная интерпретация в логике будет также пригодна и в физике. В сущности, привычное разногласие между статистиками, по большей части принимающим частотную теорию вероятности, и логиками, в большинстве своем отвергающими ее, внушает мысль, что эти две школы в действительности говорят о разных вещах и что логики используют слово «вероятность» в одном смысле, а статистики – в другом. Поэтому выводы, к которым мы придем в отношении значения вероятности в логике, вовсе не предрешают вопроса о ее значении в физике.

1. Частотная теория

2. Теория м-ра Кейнса

3. Степени веры

4. Логика совместимости