Истоки: социокультурная среда экономической деятельности и экономического познания

Нужно отметить, что эту теорию не следует отождествлять с психологической теорией утилитаристов, в которой доминирующее положение занимает удовольствие. Согласно предлагаемой мной теории, мы стремимся к чему-то желаемому, а им может быть наше собственное удовольствие или удовольствие других людей или вообще что угодно, и наши действия таковы, что они, как мы полагаем, скорее всего приведут к достижению этого блага. Но это неточная формулировка, ибо точно сформулировать теорию мы сможем только после того, как введем понятие величины веры.

Назовем те вещи, которые человек прежде всего желает, «благами» и примем для начала, что они поддаются числовому измерению и сложению. Иными словами, если человек предпочитает час плавания часу чтения, он предпочтет два часа плавания одному часу плавания и одному часу чтения. Конечно, в данном случае это звучит нелепо, но только потому, что плавание и чтение не являются основными благами и мы не можем представить себе, что второй час плавания точно похож на первый, учитывая усталость и т. п.

Давайте сначала предположим, что наш субъект ни в чем не испытывает сомнений и имеет определенное мнение по всем вопросам. Тогда мы можем сказать, что он всегда будет выбирать тот образ действий, который, по его мнению, приведет к наибольшей сумме благ.

Следует подчеркнуть, что в этой статье благо и зло никогда не истолковываются в каком-либо этическом смысле, но просто обозначают то, чего данный человек желает или то, чего он стремится избежать.

Тогда встает вопрос, как нам следует изменить эту простую систему, чтобы учесть различные степени его веры. Я предлагаю ввести в качестве психологического закона положение, согласно которому поведение человека регулируется тем, что можно назвать математическим ожиданием; иначе говоря, если р – суждение, относительно которого у него есть сомнения, любые благо или зло для достижения которых, с его точки зрения, р является необходимым и достаточным условием, участвуют в его вычислениях, будучи помноженными на одну и ту же дробь, которая называется «степенью его веры в р ». Итак, мы определяем степень веры способом, предполагающим использование математического ожидания.

Мы можем сформулировать это по-другому. Допустим, что степень его веры в р равна m / n ; тогда его действие является тем, которое он выбрал бы, если бы должен был повторить его точно n раз, из которых в m случаях р было бы истинным, а в остальных случаях ложно. (Здесь, возможно, нужно предположить, что в каждом из n случаев он не помнит предыдущие случаи.)

Это также можно считать определением степени веры и можно легко показать, что оно эквивалентно предыдущему определению. Возьмем в качестве примера случай, который вполне мог бы иметь место. Я стою на развилке и не знаю, куда идти, но склоняюсь к тому, чтобы признать одну из этих двух дорог правильной. Поэтому я решаю пойти этой дорогой, следя за тем, не появится ли кто-нибудь, кого можно было бы спросить; если теперь я вижу в полумиле человека, идущего по полю, то сверну ли я со своей дороги, чтобы спросить его, будет зависеть от того, что является б?льшим неудобством – свернуть с дороги и пересечь поле или продолжать идти неверной дорогой, если она окажется таковой. Но это также зависит от того, насколько я уверен в своей правоте, и ясно, что чем больше я уверен, тем меньшее расстояние я готов преодолеть, чтобы проверить свое предположение. Я предлагаю, таким образом, использовать расстояние, которое я готов пройти, чтобы справиться о дороге, в качестве меры своей уверенности в этом предположении. Сказанное выше ясно показывает, как это можно сделать. Мы можем описать это следующим образом: пусть ущерб от преодоления х ярдов, чтобы справиться о дороге, это f ( x ), выгоды от достижения пункта назначения – это r , ущерб от достижения неправильного пункта – w . Тогда, если я готов пройти расстояние d , чтобы спросить, то степень моей веры в то, что я на правильной дороге, определяется как

p =1– f ( d ) /( r – w ).

Ибо таковым является действие, которое мне выгодно было бы предпринять, если бы я должен был действовать одинаковым образом n раз, из которых в np случаях я был бы на правильной дороге, а в остальных случаях – нет.

Общее благо, которое я получаю всякий раз, когда решаю не спрашивать, находясь на расстоянии d от человека, которого могу спросить,

= npr + n (1 – p ) w

= nw + np ( r – w ).

Общее благо, получающееся, когда я каждый раз решаю спросить,

= nr – nf ( x ). (Здесь я всегда иду правильно.)

Это будет больше, чем предыдущее выражение при условии, что

f ( x ) < ( r – w )(1 – p ),

таким образом, предельное расстояние d связано со степенью веры соотношением – f ( d ) = ( r – w )(1 – p ) или p =1 – f ( d ) /( r – w )., как утверждалось выше.

Нетрудно заметить, что этот способ измерения веры дает результаты, согласующиеся с обычными представлениями, по крайней мере с тем, что полная вера обозначается как 1, полная вера в противоречивое суждение – как 0, а равная вера в оба эти суждения – как 1/2. Далее, допускается возможность пари как средства измерить веру. Допуская пари относительно р , мы предоставляем субъекту возможный образ действия, позволяющий ему много получить, если р истинно, или много потерять, если р ложно. Если предположить, что пари заключается не на деньги, а на благо или потери, то он заключит пари при любом шансе большем, чем шанс, соответствующий степени его веры; по сути, его вера измеряется ставками, которые он сделает, однако это рассуждение может оказаться не совсем точным, если учесть отношение человека к переживаемому волнению и тот факт, что пари заключается на деньги, а не просто на благо или зло. Поскольку всеми признается, что деньги имеют падающую предельную полезность, очевидно, что если ставки выражены в деньгах, они должны быть как только возможно мелкими. Но и тогда измерение искажается из-за отношения человека к возможным потерям. Давайте теперь откажемся от того допущения, что благо можно непосредственно измерять и складывать, и попытаемся разработать теорию с минимально возможным числом допущений. Для начала предположим, как и раньше, что наш субъект обо всем имеет определенное мнение, тогда он станет действовать так, чтобы совокупные последствия, которые, как он считает, будет иметь его действие, были наилучшими из возможных. Если бы мы обладали властью Всевышнего и сумели убедить в этом нашего субъекта, мы могли бы предложить ему на выбор все возможные варианты течения событий с тем, чтобы он упорядочил их по степени предпочтения. Таким образом все возможные ситуации были бы упорядочены, но у нас не было бы возможности придать им числовые значения. Было бы бессмысленно утверждать, что разница между ценностью ? и ценностью ? равна разнице в ценности ? и ?. (Здесь и далее мы используем греческие буквы для обозначения различных возможных совокупностей событий – максимальных единых целостностей, между которыми выбирает наш субъект.)

Предположим далее, что субъект способен сомневаться; тогда мы могли бы установить степень его веры в различные суждения, предложив ответить на следующий вопрос. Предпочел бы он в любом случае состояние ? или ?, если р истинно, и состояние ?, если р ложно? Если бы он был полностью уверен в истинности р , он просто сравнил бы ? и ? и выбирал бы между ними, как если бы никаких условий не налагалось; но если бы он испытывал сомнения, его выбор не был бы столь простым. Я предлагаю установить аксиомы и определения, касающиеся принципов, которые определяют выбор такого рода. Это, конечно, весьма схематичное описание ситуации из реальной жизни, но, я думаю, в таком виде ее легче рассматривать.

Сначала нужно разрешить одно затруднение; суждения типа р из приведенного выше примера, используемые в качестве условий в данном выборе, могут быть такими, что субъект может желать, чтобы они были истинными или ложными. Это, как будет показано, усложняет нашу задачу, и нам приходится допустить, что имеются суждения, для которых это не так; мы будем называть их этически нейтральными. Говоря точнее, атомарное суждение р называется этически нейтральным, если две возможные ситуации, различающиеся только истинностью р , всегда имеют равную ценность; а неатомарное суждение р называется этически нейтральным, если все составляющие его атомарные аргументы, относящиеся к его истинности, [698] являются этически нейтральными.

Мы начнем с определения веры степени 1/2 в этически нейтральное суждение. Субъект имеет веру степени 1/2 в такое суждение р , если у него нет предпочтений при выборе между (1) ?, если р истинно, и ?, если р ложно, или (2) ?, если р ложно, и ?, если р истинно, при этом его предпочтения касаются лишь ? и ?. Мы предполагаем в качестве аксиомы, что если это верно в отношении какой-то одной пары ?, ?, то это верно в отношении всех подобных пар. [699] Приблизительно это совпадает с определением веры степени 1/2 как такой, которая имеет следствием то, что при одинаковых ставках человеку безразлично, на что ставить в пари.

Веру степени 1/2, определенную указанным способом, можно следующим образом использовать для числового выражения ценности. Нам нужно объяснить, что означает, что разность между ценностью ? и ценностью ? равна разности между ценности ? и ценности ?, и мы определим это так: если р является этически нейтральным суждением, степень веры в которое равна 1/2, то субъект не имеет предпочтений при выборе между (1) ?, если р истинно, ?, если р ложно, или (2) ?, если р истинно, ?, если р ложно.

Это определение можно положить в основу системы измерения ценности следующим образом.

Назовем любое множество всех состояний, в равной мере предпочтительных данному, ценностью: мы предполагаем, что если состояние ? предпочтительнее ?, то любое состояние, ценность которого такая же, что и ценность ?, будет предпочтительнее любого состояния, имеющего ту же самую ценность, что и ?; и будем говорить, что ценность ? больше, чем ценность ?. Это отношение «больше, чем» позволяет упорядочить ценности. В дальнейшем мы будем использовать ? применительно как к состоянию, так и к его ценности.

Аксиомы

1. Существует этически нейтральное суждение р , степень веры в которое равна 1/2.

2. Если p, q являются такими суждениями и выбор ?, если р , ?, если не- p , эквивалентен выбору ?, если р , ?, если не- p , тогда выбор ?, если q , ?, если не- p , эквивалентен выбору ?, если q , ?, если не- q .

Теоремы .

Если ?? = ??,

то ?? = ??, ?? = ??, ?? = ??.

2а. Если ?? = ??, то ? > ? эквивалентно ? > ?, и ? = ? эквивалентно ? = ?.

Теорема : Если ?? = ?? и ?? = ??, то ?? = ??.

4. Если ?? = ??, ?? = ??, то ?? = ??.

5. (?, ?, ?). Е!(?х)(?х = ??).

6. (?, ?). Е!(?х)(?х = х?).

7. Аксиома непрерывности.

Эти аксиомы позволяют поставить ценности в однозначное соответствие с действительными числами, так что если ? 1 соответствует ? и т. д., то

?? = ??. ?.?1 – ?1 = ?1 – ?1.

В дальнейшем мы будем использовать ? также для обозначения соответствующего ему действительного числа ?1.

Определив таким образом способ измерения ценностей, мы можем теперь получить способ измерения веры вообще. Если достоверно, что выбор ? является нейтральным по отношению к выбору ?, если р истинно, и – ?, если р ложно, [700] мы можем определить степень веры субъекта в р как отношение разности между ? и ? к разности между ? и ?, которое, как мы должны предположить, является одинаковым для всех ?, ? и ?, удовлетворяющих указанным выше условиям. Это приблизительно совпадает с определением степени веры в р с помощью шансов, когда субъект ставит на р , учитывая, что пари заключается в терминах ценностных различий, определенных выше. Это определение применяется только к неполной вере и не охватывает достоверной веры; для веры степени 1 в р , ? достоверно является нейтральным в отношении ?, если р , и любого ?, если не- p .

Мы способны также дать определение очень полезной новой идеи – «степени веры в р при условии q ». Она не означает степень веры в суждение: «если р , то q » или в суждение: «из р следует q » или же степень веры в р , которую имел бы субъект или должен был бы иметь, если бы знал q . Она приблизительно выражает шансы, при которых он поставил бы на р при условии, что пари имело бы силу, только если q истинно. Такие условные пари часто заключались в XVIII в.

1) ?, если q истинно, и ?, если q ложно,

и 2) ?, если р истинно и q истинно, и ?, если р ложно и q истинно,

Каждое из наших определений сопровождалось аксиомой совместимости, и как только она нарушается, понятие соответствующей степени веры становится неправомерным. Здесь имеется некоторое сходство с понятием одновременности, о котором говорилось выше.

Я не разработал подробную математическую логику, поскольку, думаю, это было бы подобно вычислению результата с точностью до седьмого знака десятичной дроби, тогда как значим только результат с точностью до двух знаков. От моей логики нельзя ждать большего, чем то, как она может работать.

На основе этих определений и аксиом можно доказать основные законы вероятности для веры в суждение (степени веры находятся в диапазоне от 0 до 1):

1. Степень веры в р + степень веры в не- p = 1.

2. Степень веры в р при условии q + степень веры в не- p при условии q = 1.

3. Степень веры в ( р и q ) = степени веры в р ? на степень веры в q при условии р .

4. Степень веры в ( p и q ) + степень веры в ( p и не- q ) = степень веры в р .

Первые два прямо следуют из определений. Третье утверждение доказывается следующим образом.

Пусть степень веры в р = х , а в q при условии р = y . Тогда ? достоверно ? ? + (1 – x ) t , если р истинно, и ? – xt , если р ложно при любом t .

? + (1 – x ) t , если р истинно, ?

? + (1 – x ) t + (1 – y ) u , если ‘ p и q ’ истинно, и

? + (1 – x ) t – yu , если р истинно, q ложно; при любом u .

Выберем u такое, что ? + (1 – x ) t – yu = ? – xt , т. е. пусть u = t / y ( y ? 0).

То гд а ? достоверно ?

? + (1 – x ) t + (1 – y ) t / y , если р и q истинны,

? – xt в противном случае.

Если y = 0, пусть t = 0.

Тогда ? достоверно ? ?, если р истинно, и ?, если р ложно

? ? + u, если р истинно и q истинно; ?, если р истинно, а q ложно; ?, если р ложно

? ? + u, если рq истинно, ?, если pq ложно.

Тогда степень веры в pq = 0.

Четвертое утверждение следует из второго и третьего:

Степень веры в pq = степень веры в p ? степень веры в q при условии p , согласно (3). Сходным образом степень веры в pq = степени веры в p ? степень веры в не-q при условии р . Тогда их сумма равна степени веры в р , согласно (2).

Это – законы вероятности, которые, как мы доказали, являются необходимо истинными для любого совместимого множества степеней веры. Любое конкретное множество степеней веры, для которого они не выполняются, является несовместимым в том смысле, что нарушаются законы предпочтения вариантов выбора, например закон, согласно которому предпочтительность является транзитивным несимметричным отношением, и если ? предпочтительнее ?, то ? достоверно не может быть предпочтительнее ?, если р , и ?, если не- p . Если бы кто-то из-за своего психического состояния нарушил эти законы, его выбор зависел бы от того, в каком именно виде ему были предложены варианты, и выбор был бы нелепым. Какой-либо хитрец мог бы заключить с этим человеком пари на невыгодных для последнего условиях, и тот проиграл бы при любом исходе.

Таким образом, как мы видим, точное описание природы неполной веры показывает, что законы вероятности – это законы совместимости, распространение на неполную веру формальной логики и логики совместимости. В своем значении они не зависят ни от какой степени веры в суждение, которая однозначно определяется как рациональная вера; они просто выделяют множества мнений (beliefs), которые подчиняются этим законам, поскольку являются совместимыми.

Обладание верой любой конкретной степени подразумевает определенную меру последовательности (совместимости), а именно готовность заключать пари относительно какого-то данного суждения с одним и тем же соотношением (любых) ставок, при том что ставки измеряются в терминах первичных ценностей. Если ваши степени веры в разные суждения подчиняются законам вероятности, это подразумевает дополнительную меру совместимости, а именно совместимость между соотношениями ставок, которые делаются при заключении пари относительно разных суждений, и это препятствует заключению пари на невыгодных для вас условиях.

Возможно, будет уместно сделать несколько замечаний в завершение этого раздела. Во-первых, в нем основной упор делался на пари, но это не будет казаться неуместным, если учесть, что вся наша жизнь в каком-то смысле и есть пари. Когда мы отправляемся на вокзал, мы делаем ставку на то, что поезда действительно ходят, и если бы у нас не было достаточной веры в это, нам следовало бы отклонить это пари и остаться дома. Выбор, который предоставляет нам Бог, всегда зависит от нашего представления о том, является ли истинным некоторое суждение. Во-вторых, я все время основывался на идее математического ожидания; неудовлетворенность, которая часто возникает в связи с ним, проистекает главным образом из неточного измерения благ. Ясно, что математическое ожидание в денежном выражении не является подходящим руководством к действию. Следует помнить при оценке моей теории, что в ней ценность действительно определяется с помощью математического ожидания в случае веры степени 1/2, и поэтому можно ожидать, что она (ценность) будет подходящим образом упорядочена и ее можно будет применять в случае и других степеней веры.

В-третьих, ничего не было сказано о степенях веры, когда число альтернатив бесконечно. По этому поводу я не могу высказать ничего полезного помимо сомнения в способности разума охватывать больше, чем конечное число альтернатив. Можно обсуждать вопросы, на которые может быть дано бесконечно много ответов, но чтобы обсуждать эти ответы, мы должны объединить их в конечное число групп. Эта трудность действительно возникает при обсуждении индукции, но и тогда, как мне кажется, нет необходимости этим заниматься. Мы можем обсуждать вопрос, можно ли на основании нашего опыта говорить о большой вероятности, что солнце взойдет завтра, при этом не задаваясь вопросом, как на основании этого опыта можно оценить вероятность того, что солнце будет вечно всходить каждое утро. По этой причине я не могу не признать неудовлетворительным обсуждение этой проблемы м-ром Ритчи; [701] действительно, мы можем согласиться с тем, что индуктивные обобщения необязательно имеют конечную вероятность, но отдельные ожидания, построенные на индуктивных основаниях, бесспорно, имеют для каждого из нас высокую вероятность. Все мы более уверены в том, что солнце взойдет завтра, чем в том, что при первом моем бросании двух костей выпадет 12, т. е. наша вера в это имеет степень больше – 35/36. Если индукция вообще нуждается в логическом оправдании, то лишь в связи с вероятностью такого рода события.

4. Логика совместимости

Можно согласиться с тем, что в каком-то смысле дело логики – сказать нам, каких мнений нам следует придерживаться, но при интерпретации этого утверждения возникают значительные трудности. Возможно, она говорит нам, что следует считать истинным, но об этом нам говорит наука в целом, а не только логика. Нельзя в этом случае найти и никакого оправдания неполной веры; в идеальном варианте самое лучшее – это иметь веру степени 1 во все истинные суждения и веру степени 0 во все ложные суждения. Но это слишком высокий эталон для смертных, и нам следует признать, что некоторая доля сомнения или даже ошибки по-человечески оправданна.

Полагаю, многие логики приняли бы в качестве описания их науки вступительные слова м-ра Кейнса к его «Трактату о вероятности»: «Часть нашего знания мы получаем непосредственно, другую же часть – путем рассуждения. Теория вероятности имеет отношение к этой, приобретаемой путем рассуждения части нашего знания, и рассматривает, в какой степени полученные таким образом выводы являются обоснованными или необоснованными» (см. с. 379 наст. изд.). Там, где м-р Кейнс говорит «теория вероятностей», другие сказали бы «логика». Иными словами, считается, что наши мнения можно разделить на те, которые мы получаем непосредственно в процессе восприятия или воспоминания, и те, которые мы получаем из первых путем рассуждения. Задача же логики состоит в том, чтобы принять первый класс мнений и подвергнуть критическому рассмотрению лишь выведение мнений второго класса из мнений первого.

Логику как науку о рассуждении и выводе традиционно и справедливо подразделяют на дедуктивную и индуктивную, но различие и связь между этими двумя разделами можно понимать очень по-разному. Согласно м-ру Кейнсу, правильные дедуктивные и индуктивные рассуждения имеют существенное сходство; и тем и другим оправданием служат логические отношения между посылками и заключением, которые различаются только по степени. Как я уже объяснил, принять эту позицию я не могу. Я не понимаю, в чем состоят эти недоказательные логические отношения и как они могут оправдывать неполную веру. В случае доказательных логических рассуждений я могу согласиться с объяснением их правильности, которое было дано многими авторитетами и которое, как можно видеть, по существу одинаково у Канта, де Моргана, Пирса и Витгенштейна. Все эти авторы сходятся в том, что заключение формально правильного рассуждения содержится в его посылках, что отрицать заключение, принимая при этом посылки, значит противоречить себе; что формальная дедукция не увеличивает нашего знания, а лишь ясно показывает то, что нам известно в иной форме; и что мы все обязаны принять правильность заключения из опасения противоречить самим себе. Логическая связь, оправдывающая такой вывод, состоит в том, что смысл или содержание вывода заключено в посылках.

Но в случае индуктивного рассуждения этого не происходит даже в малейшей степени; его невозможно представить как похожее на дедуктивное рассуждение, но имеющее лишь более слабую степень; глупо утверждать, что смысл заключения частично включен в смысл посылок. Мы можем принимать посылки и совершенно отвергать заключение, не греша никакой непоследовательностью или противоречием.

Поэтому мне представляется, что мы можем разделить рассуждения на два радикально различающихся вида, которые, говоря словами Пирса, можно охарактеризовать как (1) «экспликативные, аналитические или дедуктивные и (2) амплиативные, синтетические или (в широком смысле) индуктивные». [702] Рассуждения второго типа в важном отношении стоят ближе к воспоминаниям и восприятиям, чем к дедуктивным рассуждениям. Мы можем рассматривать восприятие, память и индукцию как три основных способа получения знания; тогда как дедукция представляет собой лишь метод упорядочения нашего знания и устранения несовместимостей или противоречий.

Логика должна тогда распадаться четко на две части: (исключив аналитическую логику, теорию терминов и суждений) мы имеем малую логику, которая является логикой совместимости или формальной логикой, и большую логику, которая является логикой открытия или индуктивной логикой.

Как мы должны теперь заметить, это различие никоим образом не совпадает с различием между достоверной и неполной верой; мы видели, что для неполной веры так же существует теория совместимости, как и для достоверной веры, хотя в силу различных причин первая не так важна, как вторая. Теория вероятности – это, по сути, обобщение формальной логики, но в ходе обобщения разрушается один из наиболее важных принципов формальной логики. Если p и не- q несовместимы, так что q логически следует из р , тогда то, что р имплицирует q , является, по словам Витгенштейна, «тавтологией» и может рассматриваться как вырожденный случай истинного суждения, не предполагающего идею совместимости. Это позволяет нам считать (не вполне корректно) формальную логику, включая математику, объективной наукой, состоящей из объективно необходимых суждений. Таким образом, это дает нам не просто ?????? ??????, т. е. если мы утверждаем р , мы обязаны, чтобы быть последовательными, утверждать также q , но и ?????? ?????, [703] т. е. если р истинно, таковым должно быть и q . Но когда мы расширяем формальную логику, чтобы охватить неполную веру, эта прямая объективная интерпретация утрачивается; если мы верим в pq со степенью 1/3 и в pq со степенью 1/3, мы обязаны, чтобы быть последовательными, верить в не- p также со степенью 1/3. Это ?????? ??????, но нельзя утверждать, что если pq на 1/3 истинно и pq на 1/3 истинно, то не- p также должно быть на 1/3 истинно, ибо это было бы полной бессмыслицей. Здесь нет соответствующего ?????? ?????. Следовательно, в отличие от исчисления для совместимой полной веры, исчисление для объективной неполной веры нельзя напрямую истолковать как совокупность объективных тавтологий.

Этого, однако, можно достичь обходным путем; мы отмечали в начале этой статьи, что исчисление вероятностей может быть истолковано в терминах соотношения двух классов; теперь мы установили, что его также можно истолковать как исчисление для совместимой неполной веры. Поэтому было бы естественно ожидать наличия тесной связи между этими двумя интерпретациями, объясняющей возможность применять одно и то же математическое исчисление к двум настолько разным совокупностям явлений. Объяснение найти нетрудно; существует множество связей между неполной верой и частотой. Например, установленные в опыте частоты часто ведут к соответствующей неполной вере, а неполная вера ведет к ожиданию соответствующих частот в согласии с теоремой Бернулли. Но ни одна из этих связей не является той, которая нам нужна; неполная вера в общем случае не может быть однозначным образом связана с какой-либо действительной частотой, ибо при установлении такой связи рассматриваемое суждение всегда берется как частный случай некой пропозициональной функции. Выбор же пропозициональной функции является в известной мере произвольным, и соответствующая частота будет значительно варьировать в зависимости от этого выбора. С утверждениями некоторых сторонников частотной теории о том, что неполная вера означает неполную веру в суждение о частоте, нельзя согласиться. Но мы обнаружили, что сама идея неполной веры предполагает ссылку на гипотетическую, или идеальную частоту; если принять аддитивность благ, то вера степени m / n – это вера, приводящая к действию, которое было бы наилучшим, если при повторении его n раз в m случаях связанное с этой верой суждение оказалось бы истинным, или, в более кратком выражении, это вера, наиболее уместная для ряда гипотетических случаев, во всем остальном одинаковых, относительно которых рассматриваемое суждение истинно в пропорции m / n . Именно эта связь между неполной верой и частотой дает нам возможность использовать частотное исчисление в качестве исчисления для совместимой неполной веры. И в каком-то смысле мы можем утверждать, что эти две интерпретации представляют собой объективный и субъективный аспекты одного и того же внутреннего смысла, точно так же как формальная логика может быть объективно истолкована как совокупность тавтологий и субъективно – как законы непротиворечивого мышления.

Я думаю, мы убедимся в том, что этот подход к исчислению вероятностей устраняет разнообразные затруднения, которые до сих пор многих ставили в тупик. Во-первых, он позволяет оправдать аксиомы исчисления, которого совершенно недоставало таким теориям, как теория м-ра Кейнса. Ибо теперь ясно видно, что если неполная вера в одно суждение совместима с неполной верой в другое, они подчиняются этим аксиомам, но совершенно непонятно, почему им должны подчиняться таинственные логические отношения м-ра Кейнса. [704] Удивительным образом нам должны быть неведомы конкретные случаи этих отношений, и столь же удивительным образом оказываются познаваемыми их общие законы.

Во-вторых, теперь мы вполне можем обойтись без принципа индифферентности; мы не относим к формальной логике выяснение того, какими должны быть ожидания человека, относительно того, белый или черный шар он вытащит из урны; его исходные ожидания могут быть какими угодно, но только совместимыми; мы утверждаем лишь, что если у него есть некоторые ожидания, то, чтобы он был последовательным, его другие ожидания должны быть вполне определенными. Здесь просто вероятность согласуется с обычной формальной логикой, которая не занимается критическим анализом посылок, но только объявляет, что совместимыми с ними являются лишь некоторые заключения. Возможность исключить принцип индифферентности из формальной логики – это большое преимущество, ибо совершенно ясно, что нельзя установить чисто логические условия его обоснованности, как это пытается сделать м-р Кейнс. Я не хотел бы подробно рассматривать этот вопрос, поскольку это вылилось бы в буквоедство и бесконечное обсуждение произвольных дистинкций. Но любой, кто попытается с помощью методов м-ра Кейнса определить, какие, собственно, альтернативы следует считать равновероятными в молекулярной механике, например в фазовом пространстве Гиббса, очень скоро убедится, что это задача физики, а не чистой логики. Используя формулу умножения, как она применяется при определении обратной вероятности, мы можем, по теории м-ра Кейнса, свести все вероятности к соотношениям априорных вероятностей; поэтому для последних принцип индифферентности имеет первостепенную важность, но очевидно, что этот вопрос никак не касается формальной логики. Как можно на чисто логических основаниях разбить спектр на равновероятные части?